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        不畏浮云遮望眼 只緣“構造”在心頭
        ——幾種構造函數(shù)的方法在高考解題中的運用

        2022-12-04 20:34:23
        中學數(shù)學雜志 2022年7期
        關鍵詞:構造同構對數(shù)

        周 萍

        (江蘇省昆山經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)高級中學 215300)

        函數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容,近幾年間構造函數(shù)法在高考試題中屢次出現(xiàn).本文介紹幾種構造函數(shù)的方法來解決高考數(shù)學試題.

        1 用同構法構造函數(shù)

        1.1 簡單的函數(shù)構造

        點評通過觀察,這兩個方程相似,所以只需結合三角公式將第二個方程進行適當?shù)淖冃?,便可得出與第一個方程相同的形式,再構造函數(shù).

        例2(2021年南通一模)若alna>blnb>clnc=1,則下列關系正確的是( ).

        A.eb+clna>ec+alnb>ea+blnc

        B.ec+alnb>eb+clna>ea+blnc

        C.ea+blnc>ec+alnb>eb+clna

        D.ea+blnc>eb+clna>ec+alnb

        1.2 對稱法構造函數(shù)

        例3(2019年鄭州三模)已知f(x)在R上存在導函數(shù)f′(x),對任意x∈R,有f(x)-f(-x)=x3,在(0,+∞)上有2f′(x)-3x2>0,若f(m-2)-f(m)≥-3m2+6m-4,則實數(shù)m的取值范圍是( ).

        A.[-1,1] B.(-∞,1]

        C.[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

        1.3 ex與ln x型同構式構造函數(shù)

        此類同構式常用形式有xex和xlnx,即xex=eln xex,xlnx=(lnx)eln x;還有x+ex和x+ lnx,即x+ex=eln x+ex,x+lnx=eln x+lnx.

        A.[1,+∞) B.[e,+∞)

        例5(2020年新高考全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

        (1)略;(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

        點評同構式函數(shù)其實是復合函數(shù)的另一種改寫方式,只要復合函數(shù)能解決的問題,同構式基本可隨之解決.近幾年高考中的一些不等式恒成立求參數(shù)范圍問題、零點存在問題及不等式證明中,用同構式的方法屢次出現(xiàn).

        以上構造函數(shù)的方法主要可通過因式分解、移項、通分、除以同因式、兩邊取對數(shù)等手段,將方程或不等式“改頭換面”,使其變成結構相同的方程或不等式,亦或是復合函數(shù)形式等,進而構造出較易解決的新函數(shù).這就要求學生善于觀察題設中的函數(shù)形式,挖掘其本質,并熟悉常見的函數(shù)形式,抽絲剝繭,系統(tǒng)分析.

        2 用放縮法構造函數(shù)

        在高中壓軸題中,不等式的證明或者參數(shù)范圍的求解往往蘊含較復雜的形式,需要利用不等式的傳遞性,將原有形式進行放大或縮小,進而簡化求解過程.高中階段最常用的有三種放縮,其原理都是利用曲線的切線,將指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)放縮成一次函數(shù)形式.

        2.1 基于指數(shù)放縮ex≥x+1構造函數(shù)

        例6(2021年蘇州期初調研)已知函數(shù)f(x)=xeax-lnx,其中a>0.

        (1)略;(2)對于給定的常數(shù)a,若f(x)≥bx+1對x∈(0,+∞)恒成立,求證:b≤a.

        點評本題函數(shù)結構較復雜,所以先“同構”,使得變量統(tǒng)一成ax+lnx這一整體,再立足于指數(shù)放縮式ex≥x+1,得到eax+ln x≥ax+ lnx+1,最終達到消除變量的目的.

        2.2 基于對數(shù)放縮x-1≥ln x構造函數(shù)

        例7(2021年南京一模)設函數(shù)f(x)=ax+e-x(a>1).

        (1)求證:f(x)有極值點;

        (2)設f(x)的極值點為x0,若對任意正整數(shù)a都有x0∈(m,n),其中m,n∈Z,求n-m的最小值.

        點評本題中涵蓋除變量x外的某些參數(shù),受其結構和參數(shù)的影響,其處理步驟無法順利進行,所以采用對數(shù)放縮x-1≥lnx,簡化求解過程.

        2.3 基于三角放縮sin x≤x≤tan x構造函數(shù)

        例8(2021年八省聯(lián)考)已知函數(shù)g(x)= ex+sinx+cosx.

        (1)略;(2)若g(x)≥2+ax,求a.

        當x<0時,同理可得a≥2,故a=2.

        點評本題將三角放縮和指數(shù)放縮完美結合,化曲為直,使放縮這一構造函數(shù)的方法在導數(shù)不等式的求解中大放異彩.

        3 極值點偏移條件下的函數(shù)構造

        在“極值點偏移”條件下構造函數(shù),一般用于f(x)是連續(xù)函數(shù),在(x1,x2)上有唯一極值點x0,且在f(x1)=f(x2)成立的前提下,x1,x2與極值點x0之間不等關系的證明.處理這類問題主要有以下兩種方法.

        3.1 主元對稱化構造函數(shù)

        例9(2021年新高考卷)已知f(x)=x(1- lnx).

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