周煒，羅柏瑤，唐進(jìn)元

（1.湖南科技大學(xué)難加工材料高效精密加工湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南湘潭 411201；2.中南大學(xué)高性能復(fù)雜零件制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410083）

機(jī)械加工過程在零件表面生成的幾何形貌包含諸多波長(zhǎng)成分。雖未見嚴(yán)格定義，但通常將波距在1 mm 以下的表面輪廓成分界定為粗糙度[1]。界面之間諸如力與運(yùn)動(dòng)的傳遞，皆是通過粗糙度微凸體之間的接觸來實(shí)現(xiàn)，粗糙度對(duì)機(jī)械零件表面接觸[2-3]與疲勞性能[4-5]的影響不言而喻。為實(shí)現(xiàn)定量描述與評(píng)判，提出了許多粗糙度參數(shù)以作表征[6]。有效地建立粗糙度參數(shù)與接觸疲勞性能之間的關(guān)聯(lián)，對(duì)指導(dǎo)微觀幾何結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及其創(chuàng)成大有裨益。

有別于光滑界面幾何的確定與規(guī)則性，粗糙度形貌具有隨機(jī)與無序特征，這給微觀尺度形性關(guān)聯(lián)研究提出了挑戰(zhàn)。一方面，粗糙度參數(shù)眾多，哪些表征參數(shù)與接觸疲勞性能相關(guān)尚未形成定論。另一方面，同一表征參數(shù)下接觸疲勞性能不是一個(gè)確定值，而是在一定范圍之內(nèi)變化，呈現(xiàn)出較大分散性[7]，這種分散程度取決于粗糙度形貌的隨機(jī)特征。因此，研究粗糙度隨機(jī)特征與接觸疲勞性能分散性大小之間的關(guān)聯(lián)機(jī)制，揭示對(duì)接觸疲勞性能分散性起主導(dǎo)作用的粗糙度結(jié)構(gòu)特征，對(duì)于提升抗接觸疲勞設(shè)計(jì)的一致性，具有有益參考價(jià)值。

在粗糙度形貌建模方面，試驗(yàn)測(cè)試手段提供了一種可靠解決方案[8]，不過限于試驗(yàn)成本和形貌樣本的不可控性，從理論上尋求更為高效的重構(gòu)方法意義顯見。分形理論[9]和Motif 方法[10]從不同視角帶來了研究契機(jī)，但相關(guān)理論尚待完善，因此應(yīng)用受到局限。相較而言，將粗糙度視為平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)理論與方法[11-12]發(fā)展成熟且直觀簡(jiǎn)明，基于此的粗糙表面性能分析正方興未艾，對(duì)粗糙度參數(shù)之間[13-14]、粗糙度與接觸疲勞性能之間[15-16]關(guān)聯(lián)進(jìn)行了有益探索。

得益于摩擦學(xué)測(cè)算手段的進(jìn)步，粗糙表面性能預(yù)測(cè)取得了長(zhǎng)足進(jìn)展[2-3]，但在亞表面疲勞損傷機(jī)制研究方面尚未形成有效共識(shí)。盡管這方面研究工作并不鮮見[17]，但大多聚焦于宏觀幾何[18]與裂紋[19]、加工紋理[20]與傷痕[21]、材料組織結(jié)構(gòu)[22]等方面。粗糙度與亞表面裂紋擴(kuò)展損傷的關(guān)聯(lián)規(guī)律還不明晰，特別是粗糙度的隨機(jī)特征如何映射于疲勞裂紋演化過程中的分散性尚不明確。

針對(duì)工程中常見曲面接觸零件，如齒輪、軸承和輪軌等，暫不考慮摩擦作用，研究粗糙度隨機(jī)效應(yīng)下亞表面裂紋擴(kuò)展分散性。為此，借助FFT粗糙表面重構(gòu)方法對(duì)不同統(tǒng)計(jì)分布下的粗糙度形貌進(jìn)行仿真，應(yīng)用彈性接觸數(shù)值計(jì)算方法對(duì)仿真形貌樣本開展粗糙曲面接觸分析，再以計(jì)算所得接觸壓力分布為輸入，基于線彈性接觸力學(xué)和擴(kuò)展有限元法計(jì)算亞表面裂紋在不同曲率半徑和外載下的擴(kuò)展路徑與壽命，探究粗糙度統(tǒng)計(jì)分布參數(shù)與裂紋擴(kuò)展分散性的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

1 方法與原理

1.1 粗糙度形貌重構(gòu)

工程表面粗糙度形貌近似滿足如下高斯高度分布與冪指數(shù)衰減型自相關(guān)分布，即：

式中：z 為粗糙度采樣高度；μ、σ 和 φ分別為采樣高度序列[z]均值、標(biāo)準(zhǔn)偏差和概率密度分布函數(shù)；R、τ、λ和β 分別為自相關(guān)性、滯后距離、高通濾波常數(shù)和相關(guān)長(zhǎng)度?？紤]到自相關(guān)分布衰減時(shí)的波動(dòng)，將R衰減為原點(diǎn)值1/10時(shí)的滯后距離定義為相關(guān)長(zhǎng)度（又稱衰減長(zhǎng)度），此時(shí)λ=-2.3?？梢?，粗糙度形貌主要取決于標(biāo)準(zhǔn)偏差σ 和相關(guān)長(zhǎng)度β。

為重構(gòu)出給定統(tǒng)計(jì)分布（σ，β）下的粗糙度形貌，由偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器生成標(biāo)準(zhǔn)偏差為σ 的高斯白噪聲[ε]，對(duì)高斯白噪聲和濾波系數(shù)[h]進(jìn)行卷積，得到高度序列[z]，即：

式中H 為h的傅里葉變換。

自相關(guān)分布R（τ）可由[z]計(jì)算得到，即

為確定H，對(duì)R做傅里葉變換，有

式中ω =-T/2+1,···,T/2-1。

由式（2）和式（4），可得

式中γ 為高斯白噪聲功率譜密度所確定的常數(shù)。

1.2 粗糙曲面接觸分析

粗糙曲面接觸如圖1所示，其可等效為剛性平面與一等效粗糙曲面之間接觸，如圖2所示。

7.2.8 疼痛的評(píng)價(jià) 可以采用Wong‐Baker疼痛評(píng)價(jià)圖譜［18‐19］，或視覺模擬評(píng)分（VAS）。

圖1 粗糙曲面接觸示意圖

圖2 剛性平面與等效粗糙曲面接觸示意圖

假設(shè)兩接觸體曲率半徑分別為ρ1和ρ2，粗糙度分別為σ1和σ2，彈性模量分別為E1和E2，泊松比分別為ν1和ν2，則等效粗糙曲面綜合曲率半徑ρ和彈性模量E*為：

為求得等效粗糙曲面上接觸壓力分布，利用半無限大平面彈性理論，由Flamant 壓力-位移關(guān)系建立接觸控制方程。對(duì)于圖3所示矩形壓力單元p，在距x′處一點(diǎn)產(chǎn)生彈性位移uz為

圖3 壓力-位移關(guān)系示意圖

式中：Δx 為壓力單元寬度；c 為定義相對(duì)位移的任意常數(shù)。

假定剛性平面與等效粗糙曲面初始間隙為d，在外載W 作用下兩物體相互靠近發(fā)生干涉δ。依據(jù)接觸不可穿透條件，則

此外，接觸壓力滿足力平衡條件，有

1.3 裂紋擴(kuò)展計(jì)算

圖4 應(yīng)力計(jì)算模型示意圖

以粗糙曲面接觸壓力分布為輸入，亞表面應(yīng)力場(chǎng)根據(jù)圖4所示模型計(jì)算可得：

由于正應(yīng)力與切應(yīng)力共存，亞表面裂紋為I型、II型復(fù)合型裂紋。依據(jù)最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則，裂紋沿最大周向拉應(yīng)力方向擴(kuò)展至失穩(wěn)斷裂，擴(kuò)展角度? 和等效應(yīng)力強(qiáng)度因子Keq分別為：

式中：應(yīng)力強(qiáng)度因子KI、KII由裂尖應(yīng)力場(chǎng)經(jīng)相互作用積分確定。

應(yīng)用Paris公式，得到裂紋擴(kuò)展速率與應(yīng)力強(qiáng)度因子幅度關(guān)系為

式中：a為裂紋長(zhǎng)度；N 為裂紋擴(kuò)展壽命；C、m為試驗(yàn)確定系數(shù)；對(duì)于接觸下的脈動(dòng)循環(huán)加載，ΔKeq= Kmax。

2 結(jié)果與討論

2.1 裂紋擴(kuò)展計(jì)算程序驗(yàn)證

基于上述原理與方法，利用Fortran 語言開發(fā)了二維裂紋擴(kuò)展計(jì)算的擴(kuò)展有限元程序包，利用已報(bào)道文獻(xiàn)結(jié)果作對(duì)比驗(yàn)證。有關(guān)計(jì)算模型與參數(shù)參看NASA報(bào)告[23]，所得裂紋擴(kuò)展路徑與擴(kuò)展壽命對(duì)比見圖5。其中，F(xiàn)RANC- P1、FRANC-P2、FRANC-P3為不同初始裂紋位置下NASA 報(bào)告裂紋擴(kuò)展路徑以及對(duì)應(yīng)初始裂紋位置下，NASA 模型導(dǎo)入FRANC軟件計(jì)算所得裂紋擴(kuò)展壽命。pgm-P1、pgm-P2和pgm-P3為相同初始裂紋位置下，本文所開發(fā)程序計(jì)算所得裂紋擴(kuò)展路徑與擴(kuò)展壽命?？梢?，兩者吻合較好，驗(yàn)證了本文所開發(fā)程序用于I型、II型復(fù)合型裂紋擴(kuò)展計(jì)算的有效性。

圖5 裂紋擴(kuò)展計(jì)算對(duì)比

2.2 裂紋擴(kuò)展變化規(guī)律

由于隨機(jī)效應(yīng)，同一統(tǒng)計(jì)分布（σ，β）下粗糙度形貌千變?nèi)f化，由其求解所得接觸壓力分布也呈現(xiàn)隨機(jī)變化，這將導(dǎo)致后續(xù)預(yù)測(cè)的亞表面裂紋擴(kuò)展過程彼此存在差異，即裂紋擴(kuò)展過程表現(xiàn)出分散性。為研究粗糙度統(tǒng)計(jì)分布參數(shù)對(duì)裂紋擴(kuò)展分散性的影響，同一統(tǒng)計(jì)分布（σ，β）下隨機(jī)重構(gòu)5個(gè)粗糙度形貌樣本，由剛性平面與粗糙曲面接觸模型計(jì)算各樣本的接觸壓力分布，再以接觸壓力分布為輸入，由前述裂紋擴(kuò)展計(jì)算程序包計(jì)算各樣本的裂紋擴(kuò)展路徑與壽命。圖6展示了σ=0.1，β=50時(shí)的其中兩個(gè)形貌樣本及其所得接觸壓力分布。裂紋擴(kuò)展計(jì)算模型如圖7所示，其中初始裂紋長(zhǎng)度和深度分別為0.1 mm和0.5 mm。計(jì)算參數(shù)如下：彈性模量為2.11×105MPa；泊松比為0.3；Paris指數(shù)m=2.954；Paris系數(shù)C =3.124×10-13。

圖7 裂紋擴(kuò)展計(jì)算模型

不同曲率半徑下，外載W =0.5 N/μm，相關(guān)長(zhǎng)度β =50，標(biāo)準(zhǔn)偏差σ =0.1、1及光滑曲面下裂紋擴(kuò)展路徑與壽命見圖8，其中max 和min 表示相同統(tǒng)計(jì)分布下5個(gè)形貌樣本計(jì)算結(jié)果的最大和最小值。相比于光滑曲面，標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，裂紋擴(kuò)展路徑和壽命越分散。整體而言，裂紋擴(kuò)展越深、橫向擴(kuò)展越廣，則發(fā)生斷裂時(shí)材料脫落的區(qū)域越大，與之對(duì)應(yīng)的壽命也越長(zhǎng)。曲率半徑ρ= 5000μm 時(shí)，裂紋擴(kuò)展路徑深度和廣度都最大，其平均壽命最長(zhǎng)，但此時(shí)壽命分散性也最大。曲率半徑ρ= ∞時(shí)，裂紋擴(kuò)展路徑最淺、橫向分布也最窄，其平均壽命最小。可見，曲率半徑對(duì)裂紋擴(kuò)展有很大影響，這種影響還體現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)偏差與裂紋擴(kuò)展關(guān)聯(lián)之上。隨著曲率半徑增大，標(biāo)準(zhǔn)偏差引起的裂紋擴(kuò)展路徑分散程度加劇。不同曲率半徑下，標(biāo)準(zhǔn)偏差對(duì)裂紋擴(kuò)展深度與廣度的影響規(guī)律亦有所不同。在ρ= 500 μm 和ρ= 5000μm時(shí)，增大標(biāo)準(zhǔn)偏差使得裂紋擴(kuò)展路徑變淺、橫向變窄。在ρ= ∞時(shí)，增大標(biāo)準(zhǔn)偏差則使得裂紋擴(kuò)展路徑變深、橫向變廣?？梢灶A(yù)見，當(dāng)曲率半徑增至一定程度，增大標(biāo)準(zhǔn)偏差將使得裂紋擴(kuò)展路徑分布在較光滑曲面結(jié)果更深、橫向更廣的區(qū)域內(nèi)。

圖8 裂紋擴(kuò)展隨標(biāo)準(zhǔn)偏差分布

此外，在ρ= 500μm 時(shí)，增大標(biāo)準(zhǔn)偏差使得裂紋擴(kuò)展平均壽命減小，粗糙曲面裂紋擴(kuò)展平均壽命明顯小于光滑曲面結(jié)果。隨著曲率半徑增大，增大標(biāo)準(zhǔn)偏差使得裂紋擴(kuò)展平均壽命增大，且粗糙曲面裂紋擴(kuò)展平均壽命將大于光滑曲面結(jié)果。

不同曲率半徑下，外載W =0.5 N/μm，標(biāo)準(zhǔn)偏差σ =0.5，相關(guān)長(zhǎng)度β =0（高斯白噪聲）、50、100下裂紋擴(kuò)展路徑與壽命見圖9。相關(guān)長(zhǎng)度與裂紋擴(kuò)展路徑和壽命之間沒有表現(xiàn)出顯著關(guān)聯(lián)。曲率半徑ρ =500μm 和ρ=5000μm 時(shí)，3種相關(guān)長(zhǎng)度下裂紋擴(kuò)展路徑分布范圍大體一致，裂紋擴(kuò)展平均壽命按β =100、β = 0和β =50的次序遞減。與此不同，在ρ=∞時(shí)，相關(guān)長(zhǎng)度β =50明顯較其它相關(guān)長(zhǎng)度下裂紋擴(kuò)展更深、橫向更寬廣，裂紋擴(kuò)展平均壽命也最長(zhǎng)。裂紋擴(kuò)展壽命分散性在ρ=5000μm 時(shí)仍呈現(xiàn)最大，在ρ=∞時(shí)最小。

圖9 裂紋擴(kuò)展隨相關(guān)長(zhǎng)度分布

不同曲率半徑下，標(biāo)準(zhǔn)偏差σ =0.5，相關(guān)長(zhǎng)度β =50，外載W =0.1、0.5和1 N/μm 下裂紋擴(kuò)展路徑與部分壽命見圖10，其中W =0.1N/μm 時(shí)因裂紋擴(kuò)展速率較慢未給出其壽命?？梢郧宄乜吹?，外載越大，裂紋擴(kuò)展分散性明顯減小，且裂紋擴(kuò)展深度和廣度都越小、裂紋擴(kuò)展平均壽命越短。

圖10 裂紋擴(kuò)展隨外載分布

2.3 討論

由于粗糙度形貌具有隨機(jī)與無序特征，在其統(tǒng)計(jì)分布相同條件下，基于不同形貌樣本計(jì)算所得裂紋擴(kuò)展結(jié)果分散在一定范圍之內(nèi)，如圖11所示，其定量比較列見表1。相比于裂紋擴(kuò)展壽命，裂紋擴(kuò)展路徑分散程度更小。由前述討論可知，這種分散性受曲率半徑和外載的綜合作用。曲率半徑ρ=∞時(shí)，曲面局部可視為平面，粗糙度的分散性效應(yīng)被真實(shí)地體現(xiàn)，不受曲面影響。隨著曲率半徑減小，粗糙度作用被曲面逐漸稀釋，裂紋擴(kuò)展隨之表現(xiàn)出不同分散程度。較ρ= 5000μm 而言，ρ= 500μm 時(shí)曲面曲率很大，粗糙度效應(yīng)被充分稀釋，因此裂紋擴(kuò)展分散性較小。相反，當(dāng)曲率半徑增大到一定程度，如ρ= 5000μm，粗糙曲面分散效應(yīng)明顯增強(qiáng)。此外，ρ= 5000μm 時(shí)得到了具有最長(zhǎng)擴(kuò)展壽命的形貌樣本，這表明對(duì)于一定粗糙度形貌，可能存在最佳曲率半徑，使得裂紋擴(kuò)展壽命最長(zhǎng)。

表1 分散性大小對(duì)比

圖11 裂紋擴(kuò)展分散性

圖11還展示了粗糙與光滑曲面計(jì)算結(jié)果對(duì)比。不難發(fā)現(xiàn)，部分形貌樣本裂紋擴(kuò)展壽命高于了光滑曲面結(jié)果，這強(qiáng)調(diào)了基于裂紋擴(kuò)展壽命開展形貌優(yōu)化設(shè)計(jì)的可能。但遺憾的是，粗糙度形貌的隨機(jī)和無序特性嚴(yán)重妨害了上述作用機(jī)制的探究，使得至今尚未形成相關(guān)的明確結(jié)論。從隨機(jī)過程理論出發(fā)，可將大多數(shù)粗糙度形貌參數(shù)與其統(tǒng)計(jì)分布參數(shù)關(guān)聯(lián)起來[24]，由此可進(jìn)一步討論粗糙度形貌參數(shù)對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響。理論上，對(duì)于高斯分布表面，Ra和Rq分別以0.8和1的比例系數(shù)正比于標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，這意味著減小這些形貌參數(shù)可以減小裂紋擴(kuò)展的分散性。一個(gè)類似于剛剛討論的問題是，部分大粗糙度樣本的壽命為何長(zhǎng)于小粗糙度的樣本值？這也有待深入研究以揭示其內(nèi)在關(guān)聯(lián)。由于相關(guān)長(zhǎng)度決定了空間參數(shù)[25]，如RSm、RS，這些空間形貌參數(shù)與裂紋擴(kuò)展亦無法呈現(xiàn)出簡(jiǎn)明關(guān)系，這也是當(dāng)前對(duì)空間形貌參數(shù)的作用沒有形成一致結(jié)論的原因之一。無論如何，增大外載有利于減小上述分散性，但裂紋擴(kuò)展壽命也隨之減小。分散性大小對(duì)比見表1。

3 結(jié)論

1）粗糙度形貌的隨機(jī)與無序特征導(dǎo)致其亞表面裂紋擴(kuò)展呈現(xiàn)分散性，且裂紋擴(kuò)展路徑比壽命分散性小。裂紋擴(kuò)展分散性隨粗糙度標(biāo)準(zhǔn)偏差增大而增大，與粗糙度相關(guān)長(zhǎng)度無顯著關(guān)聯(lián)，這表明減小Ra、Rq可以減小裂紋擴(kuò)展的分散程度，但無法通過簡(jiǎn)單增減粗糙度空間參數(shù)來限制其分散性。

2）曲率半徑對(duì)亞表面裂紋擴(kuò)展深度、廣度及其分散性都有很大影響。ρ=500μm 時(shí)，粗糙度效應(yīng)被曲面作用充分稀釋，裂紋擴(kuò)展分散性較小。隨著曲率半徑增大，裂紋擴(kuò)展分散性呈增強(qiáng)趨勢(shì)。對(duì)于給定粗糙度形貌，可能存在最佳曲率半徑，使得裂紋擴(kuò)展壽命最長(zhǎng)。

3）增大外載可以減小裂紋擴(kuò)展分散性，但同時(shí)減小了裂紋擴(kuò)展壽命。