華小強，程永強，王宏強，王勇獻，張理論

(1. 國防科技大學 氣象海洋學院， 湖南 長沙 410073； 2. 國防科技大學 電子科學學院， 湖南 長沙 410073)

信號檢測是雷達、聲吶、通信等領域的基本問題，通常，信號檢測的性能與背景雜波協(xié)方差矩陣的估計性能緊密相關，雜波協(xié)方差矩陣的估計精度越高，檢測性能越好。在實際應用中，檢測背景常呈現(xiàn)較強的非均勻特性，極大地限制了協(xié)方差矩陣的估計性能，為信號檢測帶來了巨大的挑戰(zhàn)。一方面，能用來估計雜波協(xié)方差矩陣的均勻樣本數(shù)較少，研究表明，當樣本數(shù)大于等于數(shù)據維數(shù)的2倍時，檢測性能損失小于3 dB，而當樣本數(shù)小于2倍的數(shù)據維數(shù)時，信號檢測性能存在較大的損失；另一方面，用來估計雜波協(xié)方差矩陣的樣本中不可避免地存在干擾，使得協(xié)方差矩陣估計的穩(wěn)健性下降，嚴重影響了信號檢測的性能。小樣本、非均勻雜波下的信號檢測是一個難點問題，亟須提升信號檢測的性能。

為了提升小樣本、非均勻雜波下的信號檢測性能，通常有兩類方法：一類是利用背景雜波或結構矩陣的先驗信息來提升協(xié)方差矩陣的估計精度或魯棒性，如文獻[1]假設干擾服從多通道自回歸(autoregressive, AR)模型，并以此設計了兩種檢測器，仿真實驗驗證了檢測性能在小樣本條件下的優(yōu)勢；文獻[2]設計了一種魯棒的對稱泰勒M估計器，該估計器對干擾具有較好的魯棒性；文獻[3]假設雜波協(xié)方差矩陣具有Kronecker結構，根據此結構分析了信雜比(signal-to-clutter-noise ratio, SCNR)的損失和檢測性能提升的情況，并依據實驗驗證了此結構的優(yōu)勢。類似的方法還有假設矩陣具有托普利茲結構、低秩結構等[4-6]，這類方法能取得性能提升的關鍵是獲取合適的雜波先驗信息，然而，在實際應用中很難獲得雜波環(huán)境的統(tǒng)計特性等先驗信息，極大限制了此類方法的實用性。另一類方法不需要依據雜波協(xié)方差矩陣的統(tǒng)計特性等先驗信息，將樣本的相關性數(shù)據建模為一個托普利茲正定矩陣，在矩陣流形上度量目標信號與雜波對應矩陣間的區(qū)分性，以此實現(xiàn)信號檢測。這類方法以矩陣信息幾何理論為基礎，利用流形局部幾何結構的差異性來衡量目標與雜波間的區(qū)別，因此稱為矩陣信息幾何檢測器，主要有黎曼均值檢測器[7]、信息散度檢測器[8-13]等，該類檢測器已成功應用于飛機尾流檢測[14]、X波段雷達目標檢測[15]以及非高斯雜波下的信號檢測[16-18]，并被證明具有一定的性能優(yōu)勢。該類方法的性能和目標與雜波間的區(qū)分性、模型結構、數(shù)據特征等因素有關。

基于矩陣信息幾何檢測器的思想，本文提出一種流形濾波方法來提升目標與雜波間的區(qū)分性，將每一個樣本的相關性數(shù)據建模為一個正定矩陣，在矩陣流形上，利用樣本矩陣周圍的若干矩陣進行流形濾波，去除部分雜波信息。具體地，利用鄰近矩陣的加權幾何均值來代替矩陣，類似于歐氏空間中的平滑濾波思想，增強目標與雜波間的區(qū)分性，提高信雜比。在此基礎上，計算輔助樣本數(shù)據對應矩陣的幾何均值，比較待檢測樣本矩陣與幾何均值間的距離和檢測門限之間的大小，以實現(xiàn)對是否存在目標的判決。仿真實驗證明，相比于自適應匹配濾波(adaptive matched filter, AMF)和未進行流形濾波的幾何檢測器，該檢測方法在小樣本、非均勻雜波下具有明顯的性能優(yōu)勢。

1 矩陣信息幾何理論的基本知識

矩陣信息幾何[19]是在矩陣流形上采用微分幾何方法來研究矩陣類數(shù)據的信息處理問題的一門學科，是信息幾何理論[20-25]在實際應用中發(fā)展較快的一套理論體系，信息科學中的許多問題，如分類、參數(shù)估計等，都可以與矩陣流形的幾何結構建立起聯(lián)系，從而將信息處理問題轉化為矩陣流形上的幾何問題來研究，將問題幾何化，通過解決幾何問題來完成信息處理問題。目前，矩陣信息幾何理論一方面正在完善其理論體系，另一方面擴展其應用，在信息科學領域取得的一些成果都具有一定的開創(chuàng)性。下面將介紹與本文相關的一些矩陣信息幾何理論的基本概念，即Hermitian正定矩陣流形、幾何度量及其均值。

1.1 Hermitian正定矩陣流形的幾何

矩陣流形是矩陣信息幾何的研究基礎，對于一個n階復矩陣A∈n×n，如果AH=A，則A為Hermitian矩陣，所有的n×n階Hermitian矩陣構成集合Hn，即

Hn={A|A=AH}

(1)

對于矩陣A∈n×n，如果?x∈n且x≠0，二次型都滿足xHAx>0，則稱矩陣A為正定矩陣，記為A0。如果矩陣A滿足A∈Hn且A0，則稱矩陣A為Hermitian正定矩陣，所有的n×n階Hermitian正定矩陣構成集合即

(2)

(3)

其中，tr(·)表示矩陣的跡。相應的范數(shù)可定義為

(4)

[0,1]

(5)

基于式(5)的測地線，可計算R1和R2間中點，即均值G(R1,R2)：

(6)

G(R1,R2)表示連接R1和R2的測地線的中點，即到點R1和R2的距離相等的點。

1.2 矩陣流形上的度量及其均值

在矩陣流形上，度量兩點間距離的方法很多，不同的度量方法反映了流形不同的幾何結構，所度量出的差異性也不同。常用的度量方法有AIRM、對數(shù)歐幾里得度量(log-Euclidean metric, LEM)、對稱庫爾貝克-萊布勒散度(symmetric Kullback-Leibler divergence, SKLD)以及詹森-布雷格曼洛格德特散度(Jensen-Bregman LogDet divergence, JBLD)，這四種度量均滿足對稱性，即距離函數(shù)滿足δ(A,B)=δ(B,A)。其中，AIRM和LEM是測地線距離，滿足距離的性質；AIRM、SKLD和JBLD具有仿射不變性，即對于可逆矩陣M∈n×n，δ(MHAM,MHBM)=δ(A,B)。四種距離度量的定義如下：

(7)

(8)

(9)

其中，I表示單位矩陣。

(10)

不同的幾何度量確定了流形的不同幾何結構，在流形上利用不同的幾何度量所度量出兩點間的差異性不同，選取合適的幾何度量，可以得到較好的區(qū)分性。此外，基于不同的幾何度量，可以得到不同的幾何均值。

對于一組實數(shù)xi∈,i=1,2,…,K，其均值為K個數(shù)之和的平均，即實質上，代數(shù)均值是到K個數(shù)的距離平方和最小的值，可以表示為如下的優(yōu)化問題：

(11)

(12)

其中，αi是第i個矩陣對應的權值，d(·,·)表示兩矩陣間的幾何距離。

利用不同的幾何距離，可得到不同的幾何均值，四種幾何均值由以下推論給出。

推論1對于矩陣集{R1,R2,…,RK}，其對應的AIRM均值由以下迭代式給出：

(13)

推論2對于矩陣集{R1,R2,…,RK}，其對應的LEM均值由下式給出：

(14)

推論3對于矩陣集{R1,R2,…,RK}，其對應的SKLD均值由下式給出：

(15)

推論4對于矩陣集{R1,R2,…,RK}，其對應的JBLD均值由下式給出：

(16)

上述推論中，下標t表示迭代次數(shù)，εt表示迭代步長。

2 基于流形濾波的幾何檢測器

基于流形濾波的幾何檢測器的基本思想是將樣本的相關性數(shù)據建模為一個正定矩陣，在矩陣流形上通過濾波處理去除部分雜波信息，并利用局部幾何結構的差異性來區(qū)分目標與雜波，從而實現(xiàn)信號檢測。下面首先介紹流形濾波的基本原理，然后介紹基于流形濾波的幾何檢測原理。

2.1 流形濾波的基本原理

(17)

(18)

對于不同的幾何距離，濾波后的矩陣都不一樣。 對于權值wi，通常要求其滿足以下約束：

(19)

權值wi需考慮兩矩陣在流形上的差異性，本文取指數(shù)函數(shù)來定義相似性權值，并考慮歸一化，權值wi可定義為

(20)

在上述的濾波中，m和h是自由參數(shù)，m表示用來濾波的矩陣數(shù)目，m越大，用來濾波的矩陣數(shù)越多，濾波效果越好；h表示濾波控制參數(shù)，h越大，濾波矩陣的權值差異性越小，濾波效果越接近等權值的均值，濾波效果越差。

圖1 流形濾波前后雜波與目標信號間的區(qū)分性Fig.1 Discrimination between clutter and target signal before and after manifold filter

2.2 基于流形濾波的幾何檢測原理

基于流形濾波的幾何檢測器首先將樣本數(shù)據的相關性建模為正定矩陣，在矩陣流形上利用每個矩陣的鄰近矩陣進行加權濾波以去除部分雜波信息，提升雜波與目標間的區(qū)分性；然后，計算輔助樣本對應矩陣集的幾何均值，比較待檢測樣本矩陣與幾何均值間的距離和檢測門限之間的大小，從而實現(xiàn)信號檢測，其檢測原理如圖2所示。

圖2 基于流形濾波的幾何檢測原理Fig.2 Principle of geometric detectors based on manifold filter

對于樣本數(shù)據r=[r0,r1,…,rn-1]T，其相關性可通過建立AR模型來獲取，樣本數(shù)據r的相關性矩陣可表示為

(21)

(22)

其中，H0和H1分別表示只有雜波和含有目標信號的假設，γ是檢測門限。

3 仿真分析

為了驗證本文方法的有效性，通過仿真實驗來分析幾何均值的魯棒性、流形濾波前后的區(qū)分性變化以及檢測性能的優(yōu)勢，并與自適應檢測器進行比較。

3.1 幾何均值的魯棒性分析

為了驗證幾何均值對干擾的魯棒性，仿真產生40個服從均值為0、協(xié)方差矩陣為Σ的高斯分布的樣本數(shù)據，協(xié)方差矩陣Σ由式(23)計算得到。

(23)

(24)

圖3給出了不同干擾數(shù)對幾何均值的影響，從結果可以看出，干擾數(shù)對樣本協(xié)方差矩陣(sample covariance matrix, SCM)的影響最大，其誤差曲線的斜率最大，而干擾數(shù)對幾何均值的影響較小，其中，干擾數(shù)對JBLD均值的影響最小，AIRM和LEM均值的誤差接近，SKLD均值的誤差最大。這說明，幾何均值對干擾數(shù)的魯棒性強于SCM，在四種幾何均值中，JBLD均值的魯棒性最好，SKLD均值的魯棒性最差，而AIRM和LEM的魯棒性接近。

圖3 不同干擾數(shù)對幾何均值的影響Fig.3 Influence of different number of interferences on geometric means

(25)

圖4給出了不同樣本數(shù)對雜波矩陣估計性能的影響，從結果可以看出，在不同樣本數(shù)下，SCM的誤差比幾何均值的誤差大，這說明，利用幾何均值進行雜波矩陣估計，其估計性能受樣本數(shù)的影響較小。在四種幾何均值中，SKLD均值的誤差最小，而AIRM均值、LEM均值和JBLD均值的誤差比較接近，這說明利用SKLD均值作為雜波矩陣，其估計性能受樣本數(shù)的影響最小，而AIRM均值、LEM均值和JBLD均值受樣本數(shù)的影響比較接近。

圖4 不同樣本數(shù)對雜波矩陣估計性能的影響Fig.4 Influence of different number of sample on the performance of clutter matrix estimation

上述實驗分別驗證了幾何均值對不同干擾數(shù)的魯棒性以及不同樣本數(shù)對幾何均值的估計性能影響，實驗結果說明，幾何均值對干擾數(shù)的魯棒性強于SCM，其中，JBLD均值的魯棒性最好，其次是AIRM和LEM均值，SKLD均值的魯棒性是四種幾何均值中最差的。同時，利用幾何均值進行雜波矩陣估計的性能受樣本數(shù)的影響小于SCM，其中，SKLD均值受樣本數(shù)的影響最小。這些結果充分驗證了幾何均值對干擾數(shù)和樣本數(shù)的魯棒性。

3.2 目標與雜波間的區(qū)分性分析

為了驗證流形濾波前后目標與雜波間的區(qū)分性變化情況，仿真產生40個樣本數(shù)據，在第20個樣本數(shù)據中加入信雜比為20 dB的信號，將每一個樣本數(shù)據建模為一個正定矩陣，對每一個樣本矩陣，利用其左右各5個樣本矩陣計算幾何均值，然后，計算每個樣本矩陣與其對應幾何均值矩陣之間的幾何距離，并將其歸一化，得到歸一化檢測統(tǒng)計量。

圖5給出了不同幾何均值檢測器的歸一化統(tǒng)計量結果，其中，AIRM、LEM、SKLD、JBLD以及WAIRM、WLEM、WSKLD、WJBLD分別是流形濾波前后的檢測器。從結果可以看出，濾波后，雜波的歸一化檢測統(tǒng)計量相對變小，這說明，雜波與雜波之間的距離變得更小。此外，目標處的歸一化檢測統(tǒng)計量為1，相對于雜波的歸一化檢測統(tǒng)計量來說，濾波后，目標與雜波間的距離變得更大。這也說明，濾波后，雜波與雜波相距更近，而目標與雜波相距更遠，目標與雜波間的區(qū)分能力變強，信雜比提升。

(a) AIRM均值(a) AIRM mean

為了進一步分析目標信號與雜波間的區(qū)分性，利用流形上的局部幾何結構描述方法，即各向異性因子。對于流形上的任一點P，其各向異性因子定義為

(26)

各向異性因子A(P)描述了矩陣流形上點P處的局部各向異性，不同位置處的各向異性不同，各向異性因子的大小與所利用的幾何距離度量方法有關。對于矩陣流形上兩點間的局部幾何結構的差異，考慮到不同度量方法帶來的量綱差異，利用式(27)來定義矩陣流形上兩點P1和P2間的區(qū)分能力描述子：

(27)

式(27)定義的區(qū)分能力通過兩各向異性因子之商，可以消除量綱的影響，同時，假設點P1表示含目標信號，點P2只包含雜波，則兩點間的區(qū)分能力描述子L(P1,P2)越大，P1和P2之間的區(qū)分性越好。仿真產生了100組樣本數(shù)據，每組樣本數(shù)據包含13個樣本，在第13個樣本數(shù)據中加入信雜比為20 dB的目標信號，利用前12個樣本數(shù)據對應的矩陣計算幾何均值，計算兩矩陣間的區(qū)分能力描述子L(P1,P2)，結果如圖6所示。

圖6 不同幾何度量在濾波前后的區(qū)分能力Fig.6 Discrimination ability of different geometric measures before and after manifold filter

從圖6的結果可以看出，流形濾波之后，目標與雜波間的區(qū)分能力描述子的值變大，這說明，目標與雜波間的區(qū)分性變強，這進一步驗證了本文算法的有效性。

3.3 檢測性能分析

為了驗證基于流形濾波的幾何檢測器的性能優(yōu)勢，分別在高斯和非高斯雜波下仿真產生1 000組樣本數(shù)據，每組樣本數(shù)據中包含K個僅含雜波的輔助數(shù)據和1個含有目標信號的樣本數(shù)據，樣本數(shù)據的維數(shù)為n，在實驗中，取n=8。計算輔助數(shù)據對應矩陣的幾何均值，然后計算目標樣本數(shù)據對應矩陣與幾何均值間的幾何距離，并與檢測門限進行對比，分別給出K=n和K=1.5n條件下不同幾何檢測器的檢測性能曲線，如圖7～10所示。

(a) 高斯雜波，K=n(a) Gaussian clutter，K=n

(a) 高斯雜波，K=n(a) Gaussian clutter，K=n

(a) 高斯雜波，K=n(a) Gaussian clutter，K=n

(a) 高斯雜波，K=n(a) Gaussian clutter，K=n

從圖中結果可以看出，當K=n時，由于利用SCM進行雜波協(xié)方差矩陣的估計性能較差，AMF算法基本失效，而幾何檢測器的性能較好，濾波后的檢測器性能均優(yōu)于未濾波的幾何檢測器。當K=1.5n時，幾何檢測器的性能同樣優(yōu)于AMF的性能。此外，可以看出，隨著輔助樣本數(shù)K的增加，幾何檢測器的性能變好，并且，高斯雜波下的性能比非高斯雜波下的性能要好，這些結果充分驗證了基于流形濾波的幾何檢測器的性能優(yōu)勢。

4 結論

本文針對小樣本、非均勻雜波下的信號檢測問題，提出了一種基于流形濾波的矩陣信息幾何檢測器，該檢測器將信號檢測問題轉化為矩陣流形上的幾何問題。該檢測方法將樣本數(shù)據的相關性建模為一個正定矩陣，在矩陣流形上通過加權平滑濾波的方法去除部分雜波信息，增強雜波與目標信號檢測的區(qū)分性，從而提升信雜比。此外，通過比較待檢測樣本矩陣與輔助數(shù)據對應矩陣的幾何均值之間的距離與檢測門限的大小以實現(xiàn)信號檢測。仿真實驗分析表明，幾何均值對干擾數(shù)和樣本數(shù)具有較強的魯棒性，同時，通過流形濾波可使得雜波間的距離更小，而目標信號與雜波間的距離更大，并依據檢測性能曲線驗證了基于流形濾波的幾何檢測器的性能優(yōu)勢。