甘肅省通渭縣第二中學(743300)吳昱 王宗藩

1 引言

2020 年1 月,教育部頒布《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》(教學[2020]1 號),也稱“強基計劃”,旨在選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生.數(shù)學學科是強基計劃的首選科目.因此,“強基計劃”必然對基礎教育改革產生影響,如何在高中數(shù)學的常態(tài)教學中,培養(yǎng)有志于參加強基計劃招生的學生,就成為數(shù)學教師思考的新課題.北京師范大學教育學部喬錦忠博士認為:“無論是優(yōu)質學校,還是普通學校都要加強基礎學科課程、課例和教學法的研究,盡快開發(fā)出能指導廣大師生按照新要求開展教學實踐活動的范例[1],”數(shù)學探究活動就是一種綜合實踐活動,是新時代數(shù)學教育倡導的重要主題,具體表現(xiàn)為:“發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題,猜測合理的數(shù)學結論,提出解決問題的思路和方案,通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結論[2].”根據(jù)學生已學過的知識內容,適時地布置具有實踐性、綜合性、探究性的開放性作業(yè),并給予一定程度的點撥、輔導,有利于學生學習方式的轉變和科研意識的養(yǎng)成,是基礎教育階段培養(yǎng)數(shù)學拔尖人才的有效舉措.圍繞某一主題,若能借助信息技術開展數(shù)學實驗進行探究活動,不僅使他們獲得“四基”、提升“四能”,發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng),而且提高了實踐能力,創(chuàng)新意識以及信息技術素養(yǎng).

圖1

算術、幾何、調和、平方平均數(shù)在中學數(shù)學中都會涉及,而且在不同版本教材的“基本不等式”內容中都有不同程度的呈現(xiàn),如蘇教版教材在章末復習題中“探究·拓展”欄目給出了四類平均數(shù)大小的梯形模型:“如圖1,ABDC為梯形,其中AB=a,CD=b,設O為對角線的交點,GH表示平行于兩底且與它們等距離的線段(即梯形的中位線),KL表示平行于兩底且使梯形ABLK與梯形KLDC相似的線段,EF表示平行于兩底且過點O的線段,MN表示平行于兩底且將梯形ABDC分為面積相等的兩個梯形的線段[3]”.

調和平均數(shù)有現(xiàn)實背景,如汽車從甲地到乙地行駛的速度為a,從乙地到甲地行駛的速度為b,則汽車從甲地到乙地,又從乙地返回到甲地的平均速度是調和平均數(shù).另外,“概率與統(tǒng)計”內容中的“標準差”其實就是n個“距離”(絕對離差)的平方平均數(shù).

問題:在四類平均數(shù)有序性的基礎上,分別計算它們由大到小的遞差、遞商以及不能輕易判斷大小關系的兩組不同平均數(shù)的和或積,能否發(fā)現(xiàn)恒成立的不等關系?

下面立足于數(shù)學研究的實驗歸納和演繹論證兩個側面,先利用“幾何畫板”對提出的問題進行實驗探究,再將探究結果用基本不等式予以證明.

2 實驗設想

利用“幾何畫板”作出表示四類平均數(shù)大小關系的半圓模型,將代數(shù)問題幾何化,借助軟件“度量”、“計算”、“動畫”等功能開展數(shù)學實驗,發(fā)現(xiàn)變化中的不變性,提出猜想,最后嘗試證明.

3 實驗準備

圖2

不等式中的四個代數(shù)式從左到右依次稱為兩個正數(shù)a,b的調和、幾何、算術、平方平均數(shù).在算術平均數(shù)為定值的情況下,隨著|a-b|的增大,平方平均數(shù)也增大,而調和、幾何平均數(shù)在減小.

4 實驗結果及論證

4.1 四類平均數(shù)由大到小“遞差”的探究

圖3

可見,“基本不等式”中涉及的算術、幾何平均數(shù)的差最大,而幾何、調和平均數(shù)的差最小.

4.2 四類平均數(shù)有關“和”的結論

由實驗一的結論,可得到如下兩個恒成立的不等式:

即較大的平方平均數(shù)與較小的調和平均數(shù)的和不小于夾在它們之間的算術、幾何平均數(shù)的和;兩個正數(shù)的平方平均數(shù)與幾何平均數(shù)的和不大于它們自身的和.

4.3 四類平均數(shù)“積”的探究

四類平均數(shù)中,調和平均數(shù)最小,平方平均數(shù)最大,那么,這二者的積與夾在它們之間的算術、幾何平均數(shù)的積,孰大孰小?

圖4

圖5

4.4 四類平均數(shù)“商”的探究

四類平均數(shù)由大到小的“相互數(shù)量之比”有又有什么變化規(guī)律?

圖6

在如圖7 的“鄭爽弦圖”中,正方形EFGH(外大方)的面積與其內部8 個直角三角形的面積(朱實)之比不小于正方形ABCD的面積(弦實)與其內部4 個直角三角形面積之比的算術根.

圖7

5 結束語

信息技術是一種認知工具,延伸了大腦的思維,改進了數(shù)學學習的方式.它強大的作圖、度量、計算、動畫、數(shù)據(jù)處理工具,使抽象的數(shù)學知識得到形象化的、動態(tài)的表示,成為“可視化”的對象,借助信息技術進行“數(shù)學實驗”,使學生感受到數(shù)學知識的形成過程,“看出”概念之間的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)一些新的結論,體現(xiàn)了數(shù)學研究從實驗歸納到演繹論證的過程.因此,信息技術是為學生開啟數(shù)學之門并進行數(shù)學研究的金鑰匙.給學生布置探究性課題,教師必須胸有成竹.本案例的幾何畫板操作并不復雜,只要適時點撥,講清楚實驗的基本思路,學生是完全能夠獨立完成探究內容的.另一方面,探究結果的證明除了應用不等式的性質及必要的代數(shù)運算,關鍵步驟還是基本不等式的運用,所以是學生學習了“基本不等式”之后開展探究活動的一個案例.