江蘇省南通市海門區(qū)東洲中學(xué)(226100)陳金晶

對(duì)典型試題,尤其是涉及核心知識(shí)內(nèi)容的典型試題的剖析和思考更是必不可少的,通過對(duì)典型試題的多解探究,展開問題的來龍去脈和知識(shí)間的縱橫聯(lián)系,讓學(xué)生站在一定的高度去思考問題,突出數(shù)學(xué)本質(zhì),使學(xué)生的思維得到升華,使知識(shí)達(dá)到融會(huì)貫通.唯有如此,無論考題的構(gòu)思多么新穎,學(xué)生也能達(dá)到以不變應(yīng)萬變.以下就一道2021 年中考數(shù)學(xué)試題從解法、拓展等幾方面進(jìn)行探究,供參考.

1 試題呈現(xiàn)

2021 年江蘇省連云港市中考第16 題:如圖1,BE是ΔABC的中線,點(diǎn)F在BE上,延長AF交BC于點(diǎn)D,若BF=3FE,則=____.

2 試題評(píng)析

該試題考查相似三角形的判斷和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、等底同高三角形的性質(zhì)及等量代換等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證、數(shù)形結(jié)合能力及化歸轉(zhuǎn)化思想,是一道凸顯數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的優(yōu)質(zhì)試題.

圖1

圖2

3 解法探究

分析1過點(diǎn)E作EG//DC交AD于G,可得ΔAGE∽ΔADC,從而推得DC與GE的關(guān)系;再根據(jù)ΔGFE∽ΔDFB,推得DB與GE,最后借助中間量GE得到所求的結(jié)論.

圖3

圖4

4 方法點(diǎn)評(píng)

上述三種解法中,解法1 通過作平行線(輔助線),兩次運(yùn)用三角形相似,并運(yùn)用等量代換,得到線段關(guān)系后求得結(jié)論,該解法屬于解決試題的常規(guī)方法;解法2 通過作平行線(輔助線),并且設(shè)參,兩次平行線分線段成比例定理,且運(yùn)用等量代換,建立關(guān)于參數(shù)的等式后求得結(jié)論;解法3 利用三角形中線性質(zhì)和三角形的面積等知識(shí),設(shè)參后,將面積的等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為參數(shù)的等式關(guān)系求得結(jié)論.相比而言,方法1易于入手,方法2 設(shè)參通過參數(shù)的表達(dá)和運(yùn)算能減少一些推理的量度,方法3 思維能力要求較高.總之,三種方法各具特色,無論運(yùn)用哪一種方法都須有扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)和推理論證的基本功已經(jīng)良好的數(shù)學(xué)思維能力.

5 問題推廣

將上述試題中的條件“BF=3FE”一般化,可推廣為:

由于重心是三角形三條中線的交點(diǎn),若將條件“BE是ΔABC的中線”變?yōu)橐话氵^重心的直線,我們看得到“直線過重心”的一般性結(jié)論.

圖5

圖6

以上我們從多個(gè)角度探究了試題,這也啟示我們:在變換幾何教與學(xué)的過程中,要注重對(duì)圖形生成過程的認(rèn)識(shí)與理解,加強(qiáng)圖形語言和符號(hào)語言的培養(yǎng).同時(shí),在解決問題時(shí),盡可能找到各種方法的內(nèi)在聯(lián)系,將對(duì)思維的引導(dǎo)放在主導(dǎo)地位.