廣東省中山市溪角初級(jí)中學(xué)(528471)謝衛(wèi)華

1 課前準(zhǔn)備,相關(guān)歷史素材介紹

1.1 古巴比倫泥版上的三角形分割問(wèn)題

在古代兩河流域,中位線知識(shí)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活中的土地或財(cái)產(chǎn)分割.古巴比倫時(shí)期的數(shù)學(xué)泥版MLC1950(圖1)上載有以下問(wèn)題:三角形的高為50,用平行于底邊的直線將其分割成高分別為30 和20 的小三角形和梯形,小梯形的面積為320,求原來(lái)的三角形以及分割得到的小三角形的底邊.這其實(shí)是現(xiàn)代的“平行線分線段成比例定理”的應(yīng)用,用中位線來(lái)分割三角形,不過(guò)是其中特殊的問(wèn)題而已.

而在同時(shí)期的數(shù)學(xué)泥版YBC4608(圖2)上,記載著六兄弟分割三角形土地的問(wèn)題,三角形的面積和高已知,三角形是用平行于底邊且間距相等的直線來(lái)分割的.古人已經(jīng)知道,分割三角形的這些平行線段的長(zhǎng)度是按照等差數(shù)列遞增的.三角形中位線等于底邊的一半,這一性質(zhì)已經(jīng)為古人所熟知.

圖1

圖2

圖3

1.2 《幾何原本》中的有關(guān)命題

公元前3 世紀(jì),古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中并沒(méi)有直接討論中位線的性質(zhì),但卷六給出了更一般的命題(命題VⅠ.2):“將三角形兩腰分割成成比例的線段,則分點(diǎn)連線段平行于三角形的底邊.”歐幾里得證明該定理的方法是:將線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形面積之間的關(guān)系,再將三角形面積之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線的位置關(guān)系.這種方法同樣適用于三角形中位線定理.如圖3,在ΔABC中,AD=DB,AE=EC.連結(jié)BE和DC,因AD=DB,AE=EC,故SΔEAD=SΔEDB,SΔEAD=SΔCED.于是得SΔCED=SΔEDB,故知DE//BC.另一方面,因?yàn)镾ΔEBC=SΔABE=2SΔBDE,而ΔEBC和ΔBDE是等高的,所以BC=2DE.

1.3 劉徽對(duì)三角形面積公式的推導(dǎo)

中國(guó)漢代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》方田章載有如下問(wèn)題:“今有圭田廣十步,正從二十一步.問(wèn):為田幾何? ”“又有圭田廣五步二分步之一,從八步三分步之二.問(wèn):為田幾何? ”書(shū)中給出的三角形面積公式是:“術(shù)曰:半廣以乘正從.”這里,“廣”就是三角形的底邊,“正從”就是三角形的高.術(shù)文說(shuō)的就是:三角形的面積等于底邊的一半乘以高.

圖4

圖5

劉徽(3 世紀(jì))注釋說(shuō):“半廣知,以盈補(bǔ)虛為直田也.亦可半正從以乘廣.按半廣乘從,以取中平之?dāng)?shù),故廣從相乘為積步.”這里,劉徽是通過(guò)割補(bǔ)的方法來(lái)推導(dǎo)三角形面積公式的:取三角形兩腰的中點(diǎn),過(guò)中點(diǎn)作底邊的垂線,將垂線外側(cè)的小三角形補(bǔ)到上方的相應(yīng)位置(圖4),得到一個(gè)矩形,該矩形的面積等于原來(lái)的三角形的面積,它的長(zhǎng)等于原三角形的高,它的寬等于原三角形底邊的一半,即三角形面積等于半底乘以高.劉徽的第二種方法是:連結(jié)兩腰中點(diǎn)(中位線),過(guò)頂點(diǎn)作中位線的垂線,將中位線上方的小三角形分割成兩個(gè)小直角三角形,分別將它們補(bǔ)到相應(yīng)位置(圖5),得到一個(gè)矩形,矩形的長(zhǎng)為原三角形的底邊長(zhǎng),寬為原三角形高的一半,故三角形的面積等于底乘以半高.

從三角形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程可以看出,中國(guó)古代數(shù)學(xué)家知道中位線與底邊的位置關(guān)系和大小關(guān)系.事實(shí)上,在圖5中,將中位線上方的兩個(gè)小直角三角形分別補(bǔ)到相應(yīng)位置時(shí),所得到的四邊形是矩形(因?yàn)橐唤M對(duì)邊平行且相等),故中位線與底邊平行,且等于底邊之半.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)相關(guān)歷史知識(shí)的介紹,讓學(xué)生感知中位線定理的歷史文化內(nèi)涵.同時(shí)提前掌握一些知識(shí)為本節(jié)課作鋪墊.由于這個(gè)知識(shí)內(nèi)容比較多,對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也有一定的難度,所以把知識(shí)的閱讀放在課前,給學(xué)生充足的時(shí)間,讓學(xué)生思考、消化.

2 教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定

(1)使學(xué)生理解三角形中位線的概念,經(jīng)歷三角形中位線概念形成和性質(zhì)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程.明確三角形中位線與三角形中線的不同.

(2)使學(xué)生掌握三角形中位線定理.在經(jīng)歷探索三角形中位線定理的過(guò)程中,學(xué)會(huì)輔助線的添加方法,同時(shí)體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

(3)使學(xué)生會(huì)用三角形中位線定理進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力和邏輯推理論證的表達(dá)能力.

(4)通過(guò)相關(guān)知識(shí)的介紹,感知數(shù)學(xué)定理的歷史文化內(nèi)涵.同時(shí)體驗(yàn)知識(shí)來(lái)源于實(shí)踐、應(yīng)用于生活.

3 改編歷史問(wèn)題,引出中位線概念

在一塊由考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)的古巴比倫泥版記載著這樣一個(gè)有趣的故事:在巴比倫兩河流域,有四位兄弟本來(lái)相安無(wú)事的生活著,直到一天他們父親的去世打破了這一平靜,大家為了分割父親留下的一塊土地而爭(zhēng)論不休,誰(shuí)都不肯吃虧.土地為三角形形狀,請(qǐng)同學(xué)們利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)方法幫助這四位兄弟解決矛盾,回歸平靜的生活,同時(shí)也要對(duì)自己設(shè)計(jì)的方法有所說(shuō)明,來(lái)說(shuō)服四兄弟停止?fàn)幷?

學(xué)生活動(dòng)學(xué)生思考,動(dòng)手操作,比較容易得出圖6、圖7兩種情況.在老師的追問(wèn)下也一定會(huì)出現(xiàn)圖8 的情況.

圖6

圖7

圖8

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生感知“三角形中線均分三角形面積”這一性質(zhì)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用,感知數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,為中位線概念的引出和區(qū)分中線和中位線作鋪墊.

當(dāng)學(xué)生無(wú)法用邏輯推理的方法證明圖8 中4 個(gè)三角形面積相等時(shí),老師追問(wèn)還可以用什么方法來(lái)說(shuō)明?

學(xué)生:度量法、疊合法.(此時(shí)可讓學(xué)生動(dòng)手操作來(lái)驗(yàn)證)

師:讓我們?cè)賮?lái)觀察第三種設(shè)計(jì)方案,DE這條線段實(shí)質(zhì)是連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段,我們把這樣的線段稱為三角形的中位線.它也是三角形中重要的線段,也是我們今天所學(xué)的主要內(nèi)容.

從而引出三角形中位線的定義:連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段.

提出思考一個(gè)三角形有幾條中位線? 三角形中位線與中線有什么區(qū)別?

三角形有三條中位線.

不同點(diǎn):中線是頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)的線段;中位線是相鄰兩邊中點(diǎn)構(gòu)成的線段.

共同點(diǎn):它們都是一條線段,分別有三條.

師:上面我們是經(jīng)過(guò)度量、疊合得出圖8 中四個(gè)三角形的面積相等的.實(shí)際測(cè)量和疊合法也是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法,而且有理論依據(jù),是可行的,但操作和測(cè)量畢竟會(huì)產(chǎn)生一定的誤差,所以還是要通過(guò)嚴(yán)密的邏輯論證來(lái)進(jìn)行證明.

4 探索新知,大膽猜想

拿出疊合法驗(yàn)證時(shí)剪下的4 個(gè)三角形紙片,讓學(xué)生拼圖得到一個(gè)平行四邊形,引導(dǎo)學(xué)生相互討論,發(fā)現(xiàn)DE與BC的數(shù)量和位置關(guān)系.

得出猜想:DE//BC,DE=BC.(學(xué)生口述,教師板書(shū))

引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言描述,得出三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半.

設(shè)計(jì)意圖培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想及語(yǔ)言表達(dá)能力.

5 合作交流,證明新定理

思考如何證明這個(gè)猜想?

已知:ΔABC中,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)(如圖9).

求證:DE//BC,DE=

從拼圖可得證明方法1:延長(zhǎng)DE至F,使DE=EF,連結(jié)CF,用邊角邊公理證得ΔADE∽=ΔCFE,可推出AD//CF,AD=FC.又AD=DB,推出DB//FC,DB=FC.推出四邊形DBCF是平行四邊形.推出DF//BC,DF=BC,又DE=EF,推出DE//BC,DE=

巡堂觀察看學(xué)生中有沒(méi)有不同的證明方法,如果有就展示,沒(méi)有就引導(dǎo)學(xué)生思考:利用平行四邊形的判定和性質(zhì)得出第二(圖10-1)、第三種(圖10-2)證明方法.

圖9

圖10-1

圖10-2

師:課前我們學(xué)習(xí)了三角形中位線有關(guān)的歷史知識(shí),你們能有什么啟發(fā),能想到不同的證明方法嗎? 從劉徽得出三角形面積公式中,學(xué)生不難得出第4 種(圖11)證明方法.

圖11

圖12

師:如果點(diǎn)F是線段上任意一點(diǎn),能得出相應(yīng)的結(jié)論嗎?

設(shè)計(jì)意圖證明方法的拓展有利于發(fā)散學(xué)生的思維,也能讓學(xué)生深刻理解到三角形問(wèn)題與平行四邊形問(wèn)題中相互的轉(zhuǎn)化思想.

方法點(diǎn)撥:

要證明一條線段的長(zhǎng)等于另一條線段長(zhǎng)度的一半,方法通常有兩種:

(1)將較短的線段延長(zhǎng)一倍;

(2)截取較長(zhǎng)線段的一半進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

要證明兩線段平行,方法通常有兩種:利用三線八角或者平行四邊形.

設(shè)計(jì)意圖方法的總結(jié)有利于學(xué)生形成自己的經(jīng)驗(yàn).

6 知識(shí)運(yùn)用,形成經(jīng)驗(yàn)

圖13

圖14

圖15

(1)如圖13,已知D、E、F分別是ΔABC的三邊的中點(diǎn),試說(shuō)明:SΔAEF=SΔEBD=SΔDFE=SΔFDC.

(2)如圖14,四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn),四邊形EFGH的周長(zhǎng)是26cm,則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是____.

(3)如圖15,在四邊形ABCD中,E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),求證:四邊形EFGH是平行四邊形.

設(shè)計(jì)意圖第1 題重回引例讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展起源于人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際需求,從得到的新知識(shí)解決之前無(wú)法解決的問(wèn)題讓學(xué)生獲得成功感.再增加2 道題讓學(xué)生形成解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).

7 知識(shí)小結(jié),經(jīng)驗(yàn)提升

通過(guò)今天的學(xué)習(xí)你對(duì)三角形的中位線是否有了深刻的認(rèn)識(shí),能談?wù)勀愕南敕▎?

要解決幾何問(wèn)題,要審好題,明白什么是已知條件,什么是要求的,能聯(lián)系到已學(xué)什么知識(shí).

今天所學(xué):中點(diǎn)+中點(diǎn)=聯(lián)想中位線,中點(diǎn)+一半=聯(lián)想中位線;證明一條線段是另一條線段兩倍時(shí)輔助線的作法.

8 布置作業(yè),鞏固經(jīng)驗(yàn)

課本第50 頁(yè)的第5 題.

自己查找有關(guān)三角形中位線定理證明的歷史資料.

設(shè)計(jì)意圖知識(shí)的小結(jié)、作業(yè)的布置有利于經(jīng)驗(yàn)的提升與鞏固.相關(guān)歷史資料的查找有利于學(xué)生了解到更多歷史文化,從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課的德育價(jià)值.

9 教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

沒(méi)有學(xué)生參與的教學(xué)活動(dòng)是低效的教學(xué)活動(dòng).為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性,本節(jié)課結(jié)合八年級(jí)學(xué)生具有好奇、好動(dòng)的年齡特點(diǎn).融入數(shù)學(xué)史從解決歷史問(wèn)題分田地引入,第一時(shí)間吸引學(xué)生的注意力,激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.本節(jié)課改變了以往只重視定理的運(yùn)用的作法.本節(jié)課重點(diǎn)在于中位線定理的探索和證明.設(shè)計(jì)四兄弟分田地,讓學(xué)生在解決問(wèn)題情境中發(fā)現(xiàn)中位線,在度量、疊合、拼圖中猜想得出中位線定理.從拼圖和歷史閱讀材料中得到證明的思路.證明方法的拓展,解題方法的總結(jié),開(kāi)闊了學(xué)生的視野,積累了經(jīng)驗(yàn).也讓學(xué)生體會(huì)到了從特殊到一般的研究方法和三角形、四邊形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化思想.數(shù)學(xué)史融入課堂能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,能為新課提供知識(shí)的鋪墊,也能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)家們?yōu)榱俗非笾R(shí)的不懈努力和奉獻(xiàn)精神,從而激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)科學(xué),敢于創(chuàng)新的精神,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心和自豪感.對(duì)于八年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō),對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)史閱讀起來(lái)還是有一定的困難,因此本節(jié)課的設(shè)計(jì)是,課前給學(xué)生閱讀三個(gè)有關(guān)中位線的數(shù)學(xué)歷史,課后安排學(xué)生查找三角形中位線證明的有關(guān)方法,這樣設(shè)計(jì)可以減輕學(xué)生課堂上閱讀的困難,也能給足夠的時(shí)間讓學(xué)生思考、消化.