任會(huì)蘭，榮 譽(yù)，許香照

（北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081）

在軍事防護(hù)和土木工程領(lǐng)域，混凝土作為一種典型的建筑材料扮演著極其重要的角色，更好地理解混凝土材料在沖擊作用下的力學(xué)特性對(duì)結(jié)構(gòu)的安全設(shè)計(jì)具有重要的意義[1-4]。隨著計(jì)算機(jī)性能的提高和數(shù)值方法的飛速發(fā)展，數(shù)值模擬已經(jīng)成為一種重要的研究手段，而材料模型的選取又會(huì)對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果產(chǎn)生巨大的影響[5-6]。因此，發(fā)展一個(gè)更有效和準(zhǔn)確的混凝土材料模型對(duì)預(yù)測(cè)其在沖擊載荷下的力學(xué)特性和破環(huán)行為至關(guān)重要。

近些年來(lái)，Holmquist-Johnson-Cook 模型（HJC 模型）[7]作為最常用的混凝土材料模型之一，憑借較少的材料參數(shù)和相對(duì)簡(jiǎn)單的理論基礎(chǔ)，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于預(yù)測(cè)混凝土受到彈體侵徹和爆炸等沖擊載荷下的力學(xué)響應(yīng)和破壞模式[8-11]。這是因?yàn)镠JC 模型是由Holmquist 等[7]通過(guò)對(duì)金屬Johnson-Cook 模型進(jìn)行改進(jìn)提出的一個(gè)動(dòng)態(tài)損傷材料模型，可以較好地描述混凝土材料在大應(yīng)變、高應(yīng)變率和高壓下的壓縮力學(xué)行為，并考慮了壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的損傷累積、應(yīng)變率效應(yīng)和壓力-體積應(yīng)變關(guān)系。Iqbal 等[12]采用HJC 模型開展了彈體侵徹預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土靶的數(shù)值模擬，并對(duì)破壞區(qū)域和彈道極限進(jìn)行了預(yù)測(cè)，后者的誤差小于11%。戴湘暉等[13]通過(guò)HJC 模型對(duì)彈體侵徹多層鋼筋混凝土薄靶問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)彈體速度和動(dòng)能等數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

然而，HJC 模型也存在以下3 點(diǎn)缺陷：（1）采用理想彈塑性模型來(lái)考慮混凝土材料的拉伸力學(xué)行為，也未考慮拉伸應(yīng)力狀態(tài)下的損傷累積和應(yīng)變率效應(yīng)，導(dǎo)致HJC 模型不能很好地預(yù)測(cè)開坑和剪切沖塞等以拉伸失效為主的破壞模式；（2）未考慮第三偏應(yīng)力不變量J3對(duì)強(qiáng)度面的影響，導(dǎo)致偏平面由低壓下三角形向高壓下圓形過(guò)渡時(shí)，HJC 模型不能描述壓縮子午線上剪切強(qiáng)度的減??；（3）未考慮混凝土材料的應(yīng)變硬化行為，導(dǎo)致HJC 模型不能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)圍壓下混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。因此，研究者們針對(duì)上述缺陷對(duì)HJC 模型進(jìn)行了一些改進(jìn)[14-19]。Polanco-Loria 等[14]通過(guò)引入洛德角和拉伸-壓縮子午線比考慮了J3對(duì)強(qiáng)度面的影響，并對(duì)HJC 模型的應(yīng)變率效應(yīng)項(xiàng)進(jìn)行了微小的改進(jìn)。隨后，使用改進(jìn)后的模型開展了彈體侵徹鋼筋混凝土靶體的二維數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)該模型可以較好地預(yù)測(cè)彈體剩余速度，誤差小于8%。Liu 等[15]將TCK 模型[20]中的拉伸連續(xù)損傷模型引入HJC 模型中來(lái)描述混凝土材料的拉伸損傷行為，并發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的模型可以較好地反映侵徹問(wèn)題中混凝土的壓縮和拉伸破壞情況。Islam 等[16]改進(jìn)并簡(jiǎn)化了HJC 模型的狀態(tài)方程和應(yīng)變率效應(yīng)項(xiàng)，減少了模型所需的材料參數(shù)，并發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的模型可以較好地模擬混凝土在高壓和高應(yīng)變率下的力學(xué)特性以及彈丸沖擊下的損傷行為。Kong 等[17]采用分段函數(shù)對(duì)HJC 模型的強(qiáng)度面進(jìn)行了改進(jìn)，解決了強(qiáng)度面在壓力零點(diǎn)處不連續(xù)的問(wèn)題，并考慮了J3對(duì)強(qiáng)度面的影響。隨后，引入了非線性的拉伸損傷模型來(lái)描述混凝土材料的拉伸應(yīng)變軟化行為，并改進(jìn)了混凝土材料的動(dòng)態(tài)增強(qiáng)因子，數(shù)值模擬結(jié)果表明，改進(jìn)后的模型可以真實(shí)地反映侵徹過(guò)程中拉伸失效引起的開坑和剪切沖塞等破壞現(xiàn)象。雖然這些改進(jìn)的HJC 模型在預(yù)測(cè)混凝土材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)行為和拉伸破壞行為方面表現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢(shì)，但對(duì)混凝土材料在壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變硬化和軟化行為以及體積膨脹特性仍不能較好地預(yù)測(cè)和描述。

此外，還有一些常用的、改進(jìn)的和新提出的混凝土材料模型受到了研究者們的廣泛關(guān)注[21-27]，例如Karagozian & Case 模型（K&C 模型）[28]、Riedel-Hiermaier-Thoma 模型（RHT 模型）[29]、Kong-Fang 模型[30]等。上述3 個(gè)模型被廣泛用于分析混凝土結(jié)構(gòu)在爆炸和侵徹等沖擊載荷下的力學(xué)響應(yīng)和破壞模式，并都考慮了應(yīng)變率效應(yīng)、第三偏應(yīng)力不變量J3、塑性損傷和壓力-體積應(yīng)變關(guān)系對(duì)破壞強(qiáng)度面的影響，其中Kong-Fang 模型結(jié)合了HJC 模型、K&C 模型和RHT 模型的優(yōu)點(diǎn)，可以更好地預(yù)測(cè)混凝土結(jié)構(gòu)的局部和全局動(dòng)態(tài)響應(yīng)、斷裂以及失效。然而，這3 個(gè)模型還有一些需要改進(jìn)的地方。例如，K&C 模型根據(jù)單軸壓縮強(qiáng)度自動(dòng)生成的材料參數(shù)，不能準(zhǔn)確地描述高壓和高應(yīng)變率下的破壞強(qiáng)度面，也不適用于高強(qiáng)度和超高強(qiáng)度混凝土。RHT 模型采用線性模型來(lái)描述拉伸軟化行為，這種假設(shè)過(guò)于簡(jiǎn)單且不符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。同時(shí)，RHT 模型還具有比其他材料模型更多的材料參數(shù)，不容易進(jìn)行標(biāo)定。Kong-Fang 模型沒(méi)有考慮壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變硬化行為，這與實(shí)驗(yàn)觀察到的高圍壓下的壓縮應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，在峰值應(yīng)力點(diǎn)之前存在著一定的差異。

綜上所述，本文中提出一種改進(jìn)的混凝土塑性損傷材料模型，并將其嵌入到有限元軟件LS-DYNA中進(jìn)行二次開發(fā)。隨后，開展單個(gè)單元在不同加載條件下的數(shù)值模擬，并將改進(jìn)模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和經(jīng)驗(yàn)公式得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行對(duì)比分析。最后，開展彈體貫穿鋼筋混凝土靶體的數(shù)值模擬，將改進(jìn)模型和HJC 模型得到的數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證，并對(duì)靶體破壞模式和彈體剩余速度進(jìn)行分析。

1 混凝土材料模型

大量實(shí)驗(yàn)表明，混凝土材料在峰值應(yīng)力點(diǎn)前后分別具有明顯的應(yīng)力隨應(yīng)變?cè)龃蠛蜏p小的現(xiàn)象，而現(xiàn)有的混凝土材料模型不能很好地描述這種應(yīng)變硬化和軟化行為。因此，為了更準(zhǔn)確地描述混凝土材料在沖擊載荷下的力學(xué)響應(yīng)，本文中提出了一種改進(jìn)的混凝土塑性損傷材料模型，并考慮了混凝土材料的狀態(tài)方程、應(yīng)變率效應(yīng)、洛德角效應(yīng)、塑性損傷累積、應(yīng)變硬化/軟化函數(shù)以及塑性流動(dòng)。

1.1 狀態(tài)方程

在高壓和高應(yīng)變率狀態(tài)下，混凝土材料的壓力-體積應(yīng)變關(guān)系（即狀態(tài)方程）將會(huì)對(duì)其力學(xué)性能產(chǎn)生重要的影響。因此，改進(jìn)的混凝土材料模型采用Holmquist 等[7]提出的狀態(tài)方程，可以分為彈性區(qū)域、過(guò)渡區(qū)域和壓實(shí)區(qū)域，如圖1 所示。

圖1 狀態(tài)方程示意圖Fig. 1 Schematic diagram of equation of state

當(dāng)壓力p＜pcrush時(shí)，狀態(tài)方程位于彈性區(qū)域，μcrush和pcrush分別為混凝土內(nèi)部開始出現(xiàn)孔洞塌陷時(shí)的壓碎體積應(yīng)變和壓碎應(yīng)力。該區(qū)域的壓力-體積應(yīng)變關(guān)系呈線性，且拉伸狀態(tài)下壓力閾值為-ft(1-D)，其中ft為準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸強(qiáng)度，D為總損傷，則壓力可以表示為：

式中：K為彈性體積模量；μ=ρ/ρ0-1 為體積應(yīng)變，ρ 和ρ0分別為當(dāng)前密度和初始密度。

當(dāng)pcrush＜p＜plock時(shí)，狀態(tài)方程位于過(guò)渡區(qū)域，混凝土內(nèi)部出現(xiàn)一些裂紋擴(kuò)展和孔洞壓實(shí)的現(xiàn)象，μlock和plock分別為壓實(shí)體積應(yīng)變和壓實(shí)壓力。該區(qū)域的體積應(yīng)變-壓力關(guān)系在加載和卸載過(guò)程中仍遵循線性關(guān)系，則壓力的表達(dá)式為：

式中：Kav=(1-Dc)K+DcK1為平均體積模量，由壓實(shí)損傷Dc對(duì)K和K1插值進(jìn)行確定；μe=μ-μp為彈性體積應(yīng)變；μp為塑性體積應(yīng)變。有：

式中：dμp為塑性體積應(yīng)變?cè)隽浚琩μ為總體積應(yīng)變?cè)隽?，Kh=(plock-pcrush)/μlock為塑性硬化模量。值得注意的是，在卸載過(guò)程中沒(méi)有塑性體積應(yīng)變?cè)隽慨a(chǎn)生，即彈性體積應(yīng)變?cè)隽繛榭傮w積應(yīng)變?cè)隽俊?/p>

當(dāng)p＞plock時(shí)，狀態(tài)方程位于壓實(shí)區(qū)域，混凝土內(nèi)部孔洞全部消失，達(dá)到密實(shí)狀態(tài)。該區(qū)域的壓力-體積應(yīng)變關(guān)系滿足Hugoniot 關(guān)系，記為：

式中：K1、K2和K3為材料常數(shù)，μm=(μ-μlock)/(1+μlock)為修正的體積應(yīng)變。

1.2 應(yīng)變率效應(yīng)

已有的研究表明混凝土材料是一種率敏感材料，故改進(jìn)的混凝土材料模型考慮了應(yīng)變率效應(yīng)，并采用Xu 等[31]提出的半經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)表示動(dòng)態(tài)增強(qiáng)因子。該公式可以有效地消除壓縮狀態(tài)下的慣性約束效應(yīng)，則拉伸和壓縮動(dòng)態(tài)增強(qiáng)因子可以分別表示為

式中：ε˙為等效應(yīng)變率，ε ˙0=1為參考應(yīng)變率，Wx=1.6、Wy=0.8、Fm=10 和S=0.8 為材料常數(shù)，可以通過(guò)大量的三軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到[31]，fc為準(zhǔn)靜態(tài)單軸壓縮強(qiáng)度。

1.3 損傷和硬化/軟化函數(shù)

混凝土材料在塑性階段會(huì)發(fā)生明顯的應(yīng)變硬化和軟化行為，特別是在壓縮狀態(tài)下。因此，在改進(jìn)的混凝土材料模型中引入一個(gè)統(tǒng)一的硬化/軟化函數(shù)來(lái)描述應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在壓縮狀態(tài)下的非線性增大和減小，該函數(shù)與剪切損傷和壓實(shí)損傷相關(guān)。此外，在拉伸狀態(tài)下，混凝土材料幾乎沒(méi)有應(yīng)變硬化行為，因此采用拉伸損傷來(lái)描述其應(yīng)變軟化行為。

壓縮狀態(tài)下塑性應(yīng)變引起的剪切破壞是混凝土材料的一種主要破壞模式，則剪切損傷定義為：

式中：dεp為等效塑性應(yīng)變?cè)隽?，εp,f為壓縮狀態(tài)下的塑性斷裂應(yīng)變，記為：

式中：D1=0.04 和D2=1 為損傷參數(shù)[7]，εf,min為壓縮狀態(tài)下斷裂應(yīng)變的閾值，用來(lái)阻止低強(qiáng)度拉伸波引起的塑性斷裂。

孔洞塌陷造成塑性體積應(yīng)變的增加，進(jìn)一步導(dǎo)致混凝土被壓實(shí)發(fā)生破壞，故壓實(shí)損傷同樣不可忽略，可以定義為：

基于Wang 等[32]提出的應(yīng)變硬化和軟化理論，通過(guò)引入與剪切損傷和壓實(shí)損傷相關(guān)的無(wú)量綱量φ對(duì)統(tǒng)一的壓縮硬化/軟化函數(shù)進(jìn)行修正，定義為：

式中：H1和H2為控制應(yīng)變硬化和軟化行為的形狀參數(shù)，Dm為峰值應(yīng)力處的剪切損傷和壓實(shí)損傷之和。

對(duì)于拉伸損傷，改進(jìn)的混凝土材料模型采用Weerheijim 等[33]提出的一種指數(shù)函數(shù)，具體形式為：

式中：c1=3 和c2=6.93 為拉伸損傷參數(shù)[33]，εp為等效塑性應(yīng)變，εfrac為拉伸斷裂應(yīng)變，其值與單元尺寸相關(guān)，表示為：

式中：Gf為斷裂能，le為單元特征長(zhǎng)度。

結(jié)合上述3 種損傷機(jī)理，總損傷可以定義為壓縮狀態(tài)和拉伸狀態(tài)所產(chǎn)生損傷的最大值，即：

1.4 破壞強(qiáng)度面

為了更準(zhǔn)確地描述混凝土材料的應(yīng)變硬化和軟化行為，改進(jìn)的混凝土材料模型采用3 個(gè)獨(dú)立的強(qiáng)度面，如圖2 所示，分別為最大強(qiáng)度面、屈服強(qiáng)度面和殘余強(qiáng)度面。其中，最大強(qiáng)度面結(jié)合K&C 模型[28]和HJC 模型[7]進(jìn)行了改進(jìn)，其表達(dá)式為：

圖2 強(qiáng)度面示意圖Fig. 2 Schematic diagram of strength surfaces

式中：η 為動(dòng)態(tài)增強(qiáng)因子，B1和N1為材料常數(shù)，由三軸壓縮實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合獲得。

例如：高中歷史教學(xué)中在講述到鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)的內(nèi)容中，就可將火熱一時(shí)的宮廷劇加以引入，如《步步驚心》等系列展示清朝繁花錦盛的宮廷劇作為導(dǎo)入內(nèi)容，這是當(dāng)下學(xué)生比較熟悉的，從影片當(dāng)中所展現(xiàn)的內(nèi)容，其實(shí)是和真正的歷史中的清王朝有著不同。真實(shí)的歷史清朝是走下坡路的華麗的老牛，而鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)的序幕就讓中國(guó)兩千多年封建社會(huì)走向了終結(jié)。然后將鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)的課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)呈現(xiàn)出來(lái)，這樣通過(guò)比較熱點(diǎn)的內(nèi)容在課堂上作為引入點(diǎn)，這對(duì)激發(fā)學(xué)生的興趣就比較有效。

基于最大強(qiáng)度面，結(jié)合Zhang 等[34]和Wang 等[35]提出的方法進(jìn)一步發(fā)展，屈服強(qiáng)度面表示為：

根據(jù)Tu 等[22]提出的方法，殘余強(qiáng)度面可以分為2 個(gè)階段，具體形式為：

式中：B3和N3為材料常數(shù)，也由三軸壓縮實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合獲得。

通過(guò)硬化/軟化函數(shù)對(duì)上述3 個(gè)強(qiáng)度面進(jìn)行線性插值得到了該改進(jìn)混凝土材料模型的破環(huán)強(qiáng)度面，其表達(dá)式為：

式中：r為當(dāng)前子午線和壓縮子午線的比值，用來(lái)描述剪切強(qiáng)度在壓縮子午線上的衰減，定義為：

式中：θ 為洛德角；J2和J3分別為第二和第三偏應(yīng)力不變量；e為拉伸子午線和壓縮子午線的比值，由式（21）中5 個(gè)代表性應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)通過(guò)線性插值獲得。此外，根據(jù)式（15）和（18）可以看出該改進(jìn)模型采用徑向增強(qiáng)法來(lái)考慮混凝土材料的應(yīng)變率效應(yīng)，避免了直接增強(qiáng)法中壓力增強(qiáng)對(duì)破壞強(qiáng)度面的過(guò)高估計(jì)。

1.5 塑性流動(dòng)

混凝土材料在壓縮狀態(tài)下的體積會(huì)發(fā)生膨脹，為此該改進(jìn)模型引入了一個(gè)合適的塑性勢(shì)函數(shù)來(lái)考慮這種特性，具體形式為:

式中：dλ 為一致性參數(shù)，σij為應(yīng)力張量。

然后，將式（22）代入式（23），塑性應(yīng)變?cè)隽亢偷刃苄詰?yīng)變?cè)隽糠謩e表示為：

式中：sij為偏應(yīng)力張量，δij為克羅內(nèi)克符號(hào)。

最后，結(jié)合式（24）和Malvar 等[28]采用的推導(dǎo)方法，可以得到一致性參數(shù)dλ 的表達(dá)式，即：

式中：G為剪切模量，K為體積模量。一旦確定dλ 的值，塑性應(yīng)變?cè)隽恳搽S即確定，進(jìn)而根據(jù)增量理論對(duì)當(dāng)前應(yīng)力進(jìn)行更新。

2 模型驗(yàn)證

基于LS-DYNA 中關(guān)鍵字user_defined_material_model 對(duì)改進(jìn)的混凝土材料模型進(jìn)行二次開發(fā)，并通過(guò)單個(gè)單元在不同加載條件下和彈體貫穿鋼筋混凝土靶的數(shù)值模擬，驗(yàn)證了改進(jìn)混凝土材料模型的有效性、準(zhǔn)確性以及預(yù)測(cè)性能提升能力。

2.1 單個(gè)單元驗(yàn)證

開展了單個(gè)單元在單軸壓縮、單軸拉伸和三軸壓縮加載下的數(shù)值模擬，并與HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型以及經(jīng)驗(yàn)公式預(yù)測(cè)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行了對(duì)比分析。

2.1.1 有限元模型

有限元模型采用八節(jié)點(diǎn)六面體單元，單元尺寸為10 mm×10 mm×10 mm，其中底部四個(gè)節(jié)點(diǎn)采用固定約束，頂部4 個(gè)節(jié)點(diǎn)采用位移加載，如圖3 所示。加載條件分別為單軸壓縮、單軸拉伸和三軸壓縮，其中三軸壓縮需要在單元四周施加約束壓力，其值分別為5、10 和15 MPa。表1和表2 分別給出了48 MPa 混凝土的改進(jìn)模型和Kong-Fang 模型的材料參數(shù)。HJC 模型的材料參數(shù)在文獻(xiàn)[7]中給出，而RHT 模型的材料參數(shù)可以根據(jù)單軸壓縮強(qiáng)度自動(dòng)生成。

圖3 單個(gè)單元模型Fig. 3 Single element model

表1 改進(jìn)混凝土模型材料參數(shù)Table 1 Material parameters of improved concrete model

表2 Kong-Fang 模型材料參數(shù)Table 2 Material parameters of Kong-Fang model

2.1.2 單軸壓縮

圖4 給出了通過(guò)改進(jìn)的混凝土材料模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和經(jīng)驗(yàn)公式[36]得到的單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線?？梢钥闯鯤JC 模型嚴(yán)重高估了單軸壓縮峰值應(yīng)力。同時(shí)，峰值應(yīng)力點(diǎn)之前的應(yīng)力呈雙線性增長(zhǎng)，這是狀態(tài)方程由彈性區(qū)進(jìn)入過(guò)渡區(qū)引起的，并非應(yīng)變硬化行為。此外，HJC 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果具有明顯的殘余應(yīng)力，說(shuō)明混凝土并沒(méi)有完全卸載，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及經(jīng)驗(yàn)公式不符。類似地，RHT 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果具有與HJC 模型相同的殘余強(qiáng)度，但RHT 模型考慮了應(yīng)變硬化行為，且應(yīng)變硬化和軟化行為都近似呈線性。對(duì)于Kong-Fang 模型，單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在峰值應(yīng)力點(diǎn)之后與經(jīng)驗(yàn)公式具有較好的一致性，而在峰值應(yīng)力點(diǎn)之前表現(xiàn)為線彈性上升，未考慮應(yīng)變硬化行為，導(dǎo)致峰值應(yīng)力點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變值略小于經(jīng)驗(yàn)公式的預(yù)測(cè)值。然而，通過(guò)改進(jìn)的混凝土材料模型預(yù)測(cè)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與經(jīng)驗(yàn)公式基本吻合，特別是對(duì)于峰值應(yīng)力點(diǎn)之前的應(yīng)變硬化行為的描述，說(shuō)明該改進(jìn)模型可以更準(zhǔn)確地描述混凝土材料的單軸壓縮力學(xué)行為。

圖4 單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 4 Uniaxial compressive stress-strain curves

2.1.3 單軸拉伸

圖5 給出了通過(guò)改進(jìn)的混凝土材料模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和經(jīng)驗(yàn)公式[32]得到的單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線?？梢钥闯鯤JC 模型預(yù)測(cè)的單軸拉伸峰值應(yīng)力大約是經(jīng)驗(yàn)公式的三倍，嚴(yán)重高估了混凝土的抗拉強(qiáng)度。此外，應(yīng)力在達(dá)到峰值后將保持不變，說(shuō)明HJC 模型采用了理想彈塑性模型來(lái)描述混凝土的單軸拉伸力學(xué)行為，這種簡(jiǎn)化與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。對(duì)于RHT 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，單軸拉伸峰值應(yīng)力的高估程度低于HJC 模型，且應(yīng)力-應(yīng)變曲線在峰值應(yīng)力點(diǎn)之后呈線性下降，說(shuō)明RHT 模型采用線性軟化模型來(lái)考慮混凝土材料的應(yīng)變軟化行為，但預(yù)測(cè)結(jié)果和經(jīng)驗(yàn)公式的一致性較差。而對(duì)于改進(jìn)的混凝土材料模型和Kong-Fang 模型，二者預(yù)測(cè)的單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線基本重合，單軸拉伸峰值應(yīng)力等于混凝土抗拉強(qiáng)度，應(yīng)變軟化行為也與經(jīng)驗(yàn)公式吻合較好。因此，該改進(jìn)模型和Kong-Fang 模型可以更有效和準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)混凝土材料的單軸拉伸力學(xué)行為。

圖5 單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 5 Uniaxial tensile stress-strain curves

2.1.4 三軸壓縮

圖6 給出了通過(guò)改進(jìn)的混凝土材料模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和經(jīng)驗(yàn)公式[37]得到的三軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線。從圖中可以看出HJC 模型高估了不同約束壓力下的三軸壓縮峰值應(yīng)力，且高估程度隨著約束壓力的增大而減小，說(shuō)明HJC 模型更適合預(yù)測(cè)高約束壓力下的三軸壓縮峰值應(yīng)力。同時(shí)，HJC 模型還低估了不同約束壓力下的殘余強(qiáng)度，約束壓力越大，殘余強(qiáng)度被低估的越明顯。此外，HJC 模型預(yù)測(cè)的應(yīng)變軟化趨勢(shì)與經(jīng)驗(yàn)公式不同，說(shuō)明HJC 模型不能很好地描述混凝土在三軸壓縮加載下的應(yīng)變軟化行為。對(duì)于RHT 模型，三軸壓縮峰值應(yīng)力在約束壓力為5 MPa 時(shí)，與經(jīng)驗(yàn)公式幾乎相等，但約束壓力為10 和15 MPa 時(shí)卻被低估，說(shuō)明三軸壓縮峰值應(yīng)力的低估程度隨著約束壓力的增大而增大。RHT 模型軟化部分的下降趨勢(shì)與HJC 模型類似，但應(yīng)變軟化梯度小于HJC 模型。此外，當(dāng)約束壓力為10 和15 MPa 時(shí)，RHT 模型的應(yīng)變硬化行為呈現(xiàn)出兩個(gè)不同趨勢(shì)的上升階段，這種現(xiàn)象不合理且與實(shí)驗(yàn)結(jié)果和經(jīng)驗(yàn)公式不相符，說(shuō)明RHT 模型不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)混凝土在較高約束壓力下的應(yīng)變硬化行為。對(duì)于Kong-Fang 模型，不同約束壓力下的三軸壓縮峰值應(yīng)力與經(jīng)驗(yàn)公式具有較好的一致性，但峰值應(yīng)力所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變小于經(jīng)驗(yàn)公式。此外，三軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在峰值應(yīng)力點(diǎn)之前呈線彈性，未考慮應(yīng)變硬化行為，而在峰值應(yīng)力點(diǎn)之后表現(xiàn)為內(nèi)凹的下降趨勢(shì)，且未形成殘余強(qiáng)度平臺(tái)，不同約束壓力下的殘余強(qiáng)度也與經(jīng)驗(yàn)公式具有較大的差異，說(shuō)明Kong-Fang 模型對(duì)于三軸壓縮加載下應(yīng)變硬化和軟化行為的描述還存在不足。然而，對(duì)于改進(jìn)的混凝土材料模型，三軸壓縮加載下的峰值應(yīng)力和殘余強(qiáng)度與經(jīng)驗(yàn)公式基本一致，應(yīng)變軟化行為也具有與經(jīng)驗(yàn)公式類似的下降趨勢(shì)和殘余強(qiáng)度平臺(tái)，說(shuō)明該改進(jìn)模型可以更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)混凝土材料的三軸壓縮力學(xué)行為。

圖6 三軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 6 Triaxial compressive stress-strain curves

2.2 彈體貫穿鋼筋混凝土靶驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)混凝土材料模型在沖擊載荷下的可靠性和準(zhǔn)確性，開展了彈體貫穿鋼筋混凝土靶的數(shù)值模擬，并與HJC 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

2.2.1 有限元模型

鋼筋混凝土靶的尺寸為610 mm×610 mm×178 mm，靶體內(nèi)部共有3 層鋼筋網(wǎng)，侵徹方向未布置鋼筋，最小網(wǎng)格尺寸為76.2 mm×76.2 mm，鋼筋直徑為5.69 mm，如圖7(a)所示。彈體為尖卵形彈，直徑為25.4 mm，長(zhǎng)度為143.7 mm，彈頭曲率半徑比為3.0，質(zhì)量為0.5 kg，如圖7(b)所示。為了減少計(jì)算量和提高計(jì)算效率，選用1/4 對(duì)稱模型進(jìn)行分析，并采用六面體網(wǎng)格對(duì)靶體、彈體和鋼筋進(jìn)行劃分，有限元模型如圖8 所示。網(wǎng)格尺寸在3 倍彈徑區(qū)域內(nèi)為2 mm，3～9 倍彈徑區(qū)域?yàn)? mm，剩余區(qū)域?yàn)? mm，網(wǎng)格總量為983745。此外，彈體和靶體、彈體和鋼筋、靶體和鋼筋之間均采用侵蝕接觸。靶體選用改進(jìn)的混凝土材料模型和HJC 模型，材料參數(shù)如表1～2 所示。彈體假設(shè)為剛體，鋼筋選用隨動(dòng)強(qiáng)化模型，材料參數(shù)如表3 所示。此外，通過(guò)添加關(guān)鍵字MAT_ADD_EROSION 來(lái)刪除滿足失效準(zhǔn)則的單元，其中HJC 模型采用最大主應(yīng)變和最小壓力失效準(zhǔn)則，而改進(jìn)的混凝土材料模型采用最大主應(yīng)變失效準(zhǔn)則。

表3 彈體和鋼筋材料參數(shù)Table 3 Material parameters of projectile and reinforcement

圖7 鋼筋和彈體示意圖Fig. 7 Schematic diagram of reinforcement and projectile

圖8 有限元模型Fig. 8 Finite element model

2.2.2 破壞模式

在Hanchak 等[38]開展的貫穿實(shí)驗(yàn)中，選取了5 組工況進(jìn)行數(shù)值模擬，彈體初始沖擊速度分別為1 058、749、606、434 和381 m/s，且彈體均未擊中鋼筋。

圖9 給出了初始沖擊速度為749 m/s 時(shí)通過(guò)改進(jìn)的混凝土材料模型、HJC 模型和實(shí)驗(yàn)得到的前靶和背靶破壞模式。改進(jìn)的混凝土材料模型采用損傷程度來(lái)判斷混凝土是否發(fā)生破壞，當(dāng)損傷D=1 時(shí)，混凝土完全破壞，如圖9(c)中紅色區(qū)域所示。然而，HJC 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果中前靶和背靶的損傷區(qū)域并不明顯，故可以通過(guò)橫截面破壞模式中開坑和剪切沖塞階段形成的錐形區(qū)域來(lái)確定靶體破壞范圍，如圖10所示。結(jié)合圖9～10 可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都具有明顯的開坑和剪切沖塞現(xiàn)象，且背靶的破壞區(qū)域大于前靶。在實(shí)驗(yàn)結(jié)果和改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果中，靶體的等效破壞直徑可以定義為：

圖9 前靶和背靶的破壞模式Fig. 9 Damage mode on the front and back surfaces

圖10 HJC 模型預(yù)測(cè)的橫截面破壞模式Fig. 10 Damage mode on the cross section predicted by HJC model

式中：D1、D2、D3和D4分別為破壞區(qū)域內(nèi)4 個(gè)不同方向的直徑。

對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，前靶和背靶的等效破壞直徑分別為30.7 和35.4 cm。對(duì)于HJC 模型，前靶和背靶可以觀察到明顯的拉伸破壞現(xiàn)象，但與靶體真實(shí)破壞情況并不相符，前靶和背靶的等效破壞直徑分別為22.9 和25.2 cm，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差大于25%，說(shuō)明HJC 模型不能很好地預(yù)測(cè)混凝土前靶和背靶的破壞模式。然而，對(duì)于改進(jìn)的混凝土材料模型，前靶和背靶的破壞模式與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，等效破壞直徑分別為27.1 和33.6 cm，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差小于11.7%。上述結(jié)果說(shuō)明改進(jìn)的混凝土材料模型可以更形象和準(zhǔn)確地描述鋼筋混凝土靶體的破壞模式。

2.2.3 剩余速度

表4 給出了改進(jìn)的混凝土材料模型、HJC 模型和實(shí)驗(yàn)測(cè)得的彈體剩余速度?？梢钥闯?，數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，二者之間的誤差隨著初始沖擊速度的增大而減小。此外，HJC 模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最小和最大誤差分別為4.7%和20.8%，改進(jìn)混凝土材料模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最小和最大誤差分別為1.5%和15.5%。引起上述誤差的主要原因是混凝土材料模型的連續(xù)性假設(shè)和數(shù)值方法自身的計(jì)算誤差，前者是由于數(shù)值模擬中混凝土單元滿足失效準(zhǔn)則后將被刪除，真實(shí)實(shí)驗(yàn)中破壞后的混凝土仍與周圍混凝土相互作用，導(dǎo)致數(shù)值模擬對(duì)混凝土抗侵徹性能的預(yù)測(cè)結(jié)果較為保守，一定程度上高估了彈體的剩余速度。而后者是由于侵徹這類非線性問(wèn)題具有復(fù)雜性，并且在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中進(jìn)行了許多假設(shè)和簡(jiǎn)化，進(jìn)而產(chǎn)生了計(jì)算誤差。但總體而言，改進(jìn)的混凝土材料模型比HJC 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果更接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果，說(shuō)明該改進(jìn)模型可以更準(zhǔn)確和可靠地預(yù)測(cè)彈體的剩余速度。

表4 彈體剩余速度Table 4 Residual velocities of projectile

3 結(jié) 論

本文中提出了一種改進(jìn)的混凝土塑性損傷材料模型來(lái)預(yù)測(cè)其在沖擊載荷下的力學(xué)響應(yīng)和破壞模式，主要工作和結(jié)論如下。

(1) 改進(jìn)的混凝土材料模型考慮了壓力-體積應(yīng)變關(guān)系、應(yīng)變率效應(yīng)、洛德角效應(yīng)和塑性損傷累積對(duì)其力學(xué)特性的影響，分別定義了剪切損傷、壓縮損傷和拉伸損傷，并引入了一個(gè)與剪切損傷和壓縮損傷相關(guān)的硬化/軟化函數(shù)來(lái)描述混凝土材料在壓縮狀態(tài)下的應(yīng)變硬化和軟化行為。隨后，通過(guò)對(duì)3 個(gè)獨(dú)立的強(qiáng)度面進(jìn)行線性插值得到了該改進(jìn)模型的破壞強(qiáng)度面，并采用部分關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則考慮了混凝土材料的體積膨脹特性。

(2) 將改進(jìn)的材料模型嵌入到有限元軟件中進(jìn)行二次開發(fā)，開展了不同加載條件下單個(gè)單元的數(shù)值模擬，并與HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型以及經(jīng)驗(yàn)公式的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果表明改進(jìn)的混凝土材料模型可以更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)其在單軸壓縮、單軸拉伸和三軸壓縮力學(xué)行為。

(3) 采用改進(jìn)的混凝土材料模型進(jìn)行了彈體貫穿鋼筋混凝土靶的數(shù)值模擬，并對(duì)改進(jìn)模型、HJC 模型和實(shí)驗(yàn)得到的靶體破壞模式和彈體剩余速度進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更吻合，說(shuō)明該改進(jìn)模型可以更好地預(yù)測(cè)混凝土在沖擊載荷下的力學(xué)響應(yīng)和破壞模式。