伏耀華，張可成，趙 亮，劉曉雷

（1.上海船舶運輸科學研究所，航運技術與安全國家重點實驗室，上海 200135；2.中國艦船研究設計中心，武漢 430064；3.上海海事大學海洋科學與工程學院，上海 201306）

0 引 言

大多數(shù)情況下海底是不平坦的[1]，在島礁附近或者近岸海域尤為明顯，水深在較短的距離內可能變化幾十到上百米。當波浪從外海傳遞到浮體布置區(qū)域時，受海底地形的影響將會發(fā)生繞射、反射和折射等現(xiàn)象，使得目標海域的波浪與開闊海域的波浪不同，呈現(xiàn)一定的非均勻性。另外，高低起伏的海底對浮體的水動力干擾也明顯不同于平底，因此，海底地形對布置在其附近的浮體水動力響應的影響不可忽略[2]。已有學者經(jīng)過試驗研究證實了這一點，他們發(fā)現(xiàn)斜底條件下浮式平臺的運動響應和平底時截然不同[3]。如果在工程設計過程中低估斜底的影響，可能會造成安全事故。

對于浮式結構物水動力問題，一般采用格林函數(shù)方法進行分析求解。主要思想是將滿足偏微分方程的域問題轉化為域邊界的積分方程，從而將問題求解的維度降低。與其他求解方法相比，格林函數(shù)方法具有網(wǎng)格生成容易、方程組規(guī)模小和計算效率高等優(yōu)點[4]。按照格林函數(shù)形式的不同，求解波浪中海洋平臺搖蕩運動的格林函數(shù)方法可以分為自由面格林函數(shù)法和Rankine源方法。

目前，已有眾多學者分別給出了無限水深自由面格林函數(shù)不同形式的嚴格表達式[5-8]，并開發(fā)出相應的高效數(shù)值算法，包括級數(shù)展開、多項式逼近、制表法、多級展開法和基本函數(shù)近似等，無限水深自由面格林函數(shù)的數(shù)值求解方法已較為成熟。

對于具有自由面的海洋結構物水動力問題，還可以選擇Rankine 源作為基本解，將其分布在流場所有邊界處，能處理復雜形式的線性或者非線性邊界條件[16]。與自由面格林函數(shù)相比，Rankine 源方法的優(yōu)勢在于基本解的計算相對方便并且容易拓展到非線性問題中去，缺點是要在整個邊界上分布源點，因此網(wǎng)格單元數(shù)量遠大于前者，而且遠場輻射條件處理比較困難。

對于無航速的浮體水動力問題，Yeung[17]在1973 年第一次采用頻域Rankine 源法研究了浮體受迫振蕩的二維和三維輻射問題，用一個虛擬的垂直控制面將流場分為內域和外域，內域邊界上分布Rankine源，根據(jù)遠場輻射條件采用特征函數(shù)展開法得到包含待定系數(shù)的外域速度勢展開式，待定系數(shù)通過匹配內外域流場壓力和速度的連續(xù)性進行求解。Bai[18]應用類似的遠場輻射條件處理辦法結合Rankine 源方法，研究了頻率趨近于零和無窮時圓柱垂蕩附加質量和阻尼系數(shù)的特性。Andersen 和He[19]重點關注遠場輻射條件的處理，進一步發(fā)展了Yeung[17]的方法，研究了雙體以不同方向、不同幅值和不同相位振蕩時的二維輻射速度勢。隨后，Chau和Yuen[20]和Matsui等[21]對三維Rankine源方法的遠場控制面條件進行了更加深入的討論。需要指出的是，以上頻域Rankine源方法都是基于遠場水深均勻這一前提開展的，因為只有水深均勻才能建立遠場速度勢的特征函數(shù)展開式，從而滿足遠場輻射條件。

時域Rankine 源法比頻域法的應用更加廣泛，其既可以求解頻域結果，也可以進一步引入非線性的邊界條件研究非線性問題。與頻域方法相同，時域Rankine源法計算時也需要引入一個虛擬的控制面將流場截斷，從而形成有限的計算區(qū)域。但是數(shù)值模擬形成的波浪傳播到截斷邊界處時會發(fā)生反射現(xiàn)象，與真實流場不一致，反射波也會影響浮體水動力載荷計算結果的準確性，因此，需要在截斷面處設置合理的遠場輻射條件，達到消除反射波的效果。水波問題中消除截斷邊界反射波最常用的一類方法是數(shù)值阻尼技術[22-24]，主要原理是在計算域外圍設置一段阻尼區(qū)域，在這一段區(qū)域的自由面條件中加入阻尼項，當波浪經(jīng)過阻尼區(qū)時能量會被耗散掉，從而起到消波的效果。根據(jù)實際需要，阻尼項會單獨加入到運動學或者動力學條件中，或者在兩個條件中同時加入阻尼項。MTF（multi-transmitting formula）是第二類方法，最早由以Liao 等[25]為代表的學者提出，隨后被其他學者[26-27]成功應用到規(guī)則波浪和不規(guī)則波浪條件下浮體運動響應研究中。另一類非常有效的方法是內外域網(wǎng)格布置策略[28-30]，首先將自由面分為內域和外域，網(wǎng)格單元在內域等間距布置，外域網(wǎng)格尺寸以指數(shù)增長的形式向無窮遠處擴張從而形成一個尺寸十分巨大的計算區(qū)域，只需要在波浪到達截斷邊界前完成數(shù)值模擬，就可以消除由于邊界截斷引起的反射波，避免了在自由面條件中加入人工阻尼，該方法最早是在無限水深問題中建立的。Feng等[31]將該網(wǎng)格布置策略拓展到有限水深平底條件下浮體二維水動力問題中，海底網(wǎng)格布置與自由面類似。

但是上述方法都是基于有限水深平底或者無限水深前提假設而建立的，不能直接應用于斜底條件下浮體水動力問題。為了處理上述問題，F(xiàn)eng等[32]基于Rankine源方法進一步提出了適用于斜底的內外域網(wǎng)格布置策略，并且研究了圓柱在斜上坡地形上的二維水動力系數(shù)。隨后他們將該方法成功地應用到斜底條件下考慮流載荷的浮體二維水動力研究[33]。以上研究工作的主要內容是建立斜底條件下浮體水動力數(shù)值方法，但是他們只考慮了斜上坡對浮體水動力響應的影響。而在實際工程中海底崎嶇不平，還會出現(xiàn)斜下坡的情形，因此有必要對其進行研究，以便全面地認識斜底地形對浮體水動力的影響。

本文以斜坡海底地形條件下的浮體為研究對象，采用基于臺階近似法和二維Rankine 源方法的SAM-RSM2D 模型求解斜坡條件下的入射波浪速度勢和繞射速度勢，通過對比斜上坡、斜下坡以及平底地形條件下浮體上的波浪激勵力和激勵力矩，詳細研究斜上坡和斜下坡對波浪載荷影響的作用規(guī)律，討論兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系。

1 控制方程和邊界條件

圖1為斜底條件下浮體二維水動力問題示意圖，不失一般性，假設水深沿x方向呈現(xiàn)任意變化，即水深變化的函數(shù)h不隨y變化，左右兩側遠場區(qū)域海底平坦，水深分別為hl和hr，但沒必要相等，因此水深在海底中間區(qū)域變化，水深函數(shù)h(x)可以表示為

圖1 斜底條件下浮體二維水動力示意圖Fig.1 Two-dimensional hydrodynamic problems for the floating body over a sloping bottom

式中，x=a和x=b分別是中間斜底區(qū)域的起點和末端，x＜a和x＞b分別表示左側和右側平底區(qū)域。本文研究的流場邊界由自由面SF、海底表面S0和浮體物面SB共同構成。

假設浮體的航速為零，基于理想、不可壓縮和流動無旋的假設，流體質點的運動可以用波浪速度勢來描述，對于二維問題，斜底條件下的波浪場速度勢?(x,z,t)可以分解為入射速度勢?I(x,z,t)、繞射速度勢?D(x,z,t)和輻射速度勢?R(x,z,t)，即

其中，φ是速度勢在頻域中的表達式，Re表示取實部，ω是波浪頻率。

波浪入射、繞射和輻射速度勢φ均滿足拉普拉斯方程：

線性化的自由面運動學和動力學邊界條件為

式中，g是重力加速度。

海底不可滲透的條件為

式中，n0為海底處指向流場外的單位法向矢量。

考慮到繞射問題，浮體物面滿足

另外，繞射速度勢φD在遠場有界，而且波浪向遠方傳播，可以表示為

式中，kl和kr分別表示左側和右側平底處波浪的波數(shù)。

2 斜坡海底條件下浮體二維水動力分析模型

本文采用SAM-RSM2D 模型求解斜坡海底條件下二維水動力問題的入射和繞射波浪速度勢。由于斜浪時繞射速度勢的控制方程不再是拉普拉斯方程，采用Rankine 源方法求解比較困難，因此本文僅考慮0°浪向的二維問題。本章將對本文涉及到的數(shù)值方法的主要思想以及分析步驟進行簡要回顧。

2.1 入射波浪速度勢

考慮規(guī)則波沿任意坡度的海底地形傳播問題，在左側平底上波浪幅值為A。對于斜底條件下的規(guī)則波，入射速度勢φI滿足以下拉普拉斯方程和各項邊界條件：

按照臺階近似法的思路，將海底地形輪廓近似為一系列連續(xù)的臺階，每個臺階與自由面以及垂向界面構成對應的矩形子區(qū)域。如圖2 所示，海底被近似為M個臺階，第m個矩形子區(qū)域的水深記為hm，在x方向從x=xm-1到x=xm，在z方向從z=-hm到z=0。因此，速度勢φI可以表示為

圖2 臺階近似法底部近似示意圖Fig.2 Illustrative sketch of bottom approximation for SAM

其中，第1個和第M個子區(qū)域分別表示左右兩側平底區(qū)域。

對公式（9）應用特征函數(shù)展開法，得到流場第m個子區(qū)域的速度勢特征函數(shù)展開式，可以表示為

其中，第n=1 項為傳播模態(tài)，與波浪沿平坦海底傳播的規(guī)則波入射速度勢相同，剩余項是由斜底引起的非傳播模態(tài)，Zm,n是模態(tài)函數(shù)，km,n是對應的特征值，通過匹配相鄰子區(qū)域交界面上的壓力和法向速度計算出未知數(shù)Cm,n和Dm,n，進而得到流場任意位置的入射波浪速度勢。基于伯努利方程計算得到物面上的流體動壓力，將動壓力沿物面SB積分得到作用在浮體上的Froude-Krylov力FI。

2.2 繞射速度勢

根據(jù)二維Rankine源方法，t時刻場點x′=（x′,z′）的繞射波浪速度勢?（x′,t）表示為

其中，x=(x,z)表示流場邊界上的源點，σb、σf和σ0分別代表浮體物面、自由面和海底邊界上源強。

在二維Rankine 源方法中，流場邊界被離散成一系列連續(xù)的線元，假設每個線元上的源強定常。因此，上述積分方程可以近似表示為

其中，Sb,i表示物面上第i個線元，Sf,j表示自由液面上第j個線元，S0,k表示海底離散網(wǎng)格中第k個線元，Nb、Nf和N0分別代表浮體濕表面、自由液面和海底的線元數(shù)量。

其中，Δt表示時間步長，一般取為波浪周期的1/100，也可以根據(jù)數(shù)值試驗得到。

利用上述時間步進方法，就可以計算出所有時間步的流場邊界源強σb、σf和σ0，進而求解得到流場任意位置任意時刻的速度勢?(x′,t)。

基于伯努利方程結合繞射速度勢?(x′,t)，計算得到物面上的流體動壓力p(x,y,z,t)，將動壓力沿物面積分得到作用在浮體上的繞射載荷時歷fD(t)。

在頻率ω的入射波作用下的浮體，其繞射載荷在頻域中的表達式，可以應用傅里葉變換計算得到，表示為

其中，F(xiàn)D,j表示繞射力在第j個方向上的分量，T0=2π/ω是浮體搖蕩周期。

浮體在波浪中所受到的波浪激勵力由Froude-Krylov力和繞射力組成：

3 浮體水動力模型和水深條件

本文選取Lee[34]研究的矩形浮體作為計算對象，吃水與浮體寬度相等，即d=L，縱搖運動的參考點位于浮體中心在靜水面的投影。圖3 和圖4 分別表示將浮體分別布置在斜上坡和斜下坡不同位置正上方自由面處，其中P-1、P0和P1分別表示斜坡起點（深水）、斜坡中點和斜坡末端（淺水），即浮體形心在水平方向的坐標分別與P-1、P0和P1相對應，斜坡水平長度LS=b-a，平均水深為hm，斜坡高度為Δh=hl-hr。本文選取的斜坡地形參數(shù)為：LS=6d，hm=3d，Δh=0.8d，斜坡的傾角為22°。

圖3 斜上坡地形上的浮體水動力Fig.3 Hydrodynamics of the floating body over the upslope bottom

圖4 斜下坡地形上的浮體水動力Fig.4 Hydrodynamics of the floating body over the downslope bottom

4 結果與討論

本文采用SAM-RSM2D 數(shù)值模型，基于Matlab 語言開發(fā)了相應的計算程序，分別對斜上坡和斜下坡上方的浮體波浪激勵力進行計算對比分析。需要指出的是，為了體現(xiàn)斜坡地形對浮體所受到波浪載荷的影響，本章還給出了平底條件下波浪力計算結果作為對比，其中平底的水深與斜坡問題中浮體正下方的局部水深相等。

圖5（a）給出了斜上坡和斜下坡P-1處浮體的縱蕩波浪激勵力，其中P-1處的局部水深為1.4hm。從圖中可以看到：當頻率（ω(L/g)1/2＜0.7 時，浮體在斜下坡P-1處縱蕩波浪力與平底結果基本一致，而浮體在斜上坡P-1處縱蕩波浪力相對稍大；相反，當頻率（ω(L/g)1/2＞0.7時，浮體在斜上坡P-1處縱蕩波浪力與平底結果基本一致，均小于浮體在斜下坡P-1處的計算結果。

圖5（b）給出了斜上坡和斜下坡P0處浮體的縱蕩波浪激勵力，其中P0處的局部水深為1.4hm。從圖中可以看到：當頻率(ω(L/g)1/2＜0.7 時，浮體在斜下坡和斜上坡處縱蕩波浪力均與平底結果基本一致；而當頻率(ω(L/g)1/2＞0.7時，浮體在斜下坡處的縱蕩波浪力大于平底結果，而斜上坡的計算結果則小于平底結果。

圖5 斜上坡和斜下坡P-1、P0和P1處浮體縱蕩波浪激勵力Fig.5 Surge wave exciting force of P-1,P0,P1 over the upslope and downslope bottoms

圖5（c）給出了斜上坡和斜下坡P1處浮體的縱蕩波浪激勵力，其中P1處的局部水深為0.6hm。從圖中可以看到：當頻率(ω(L/g)1/2＜0.7 時，浮體在斜上坡處縱蕩波浪力均與平底結果基本一致，稍大于斜下坡的計算結果；而當頻率(ω(L/g)1/2＞0.7 時，浮體在斜下坡處的縱蕩波浪力與平底結果基本相等，而斜上坡的計算結果則明顯較小。

結合圖5（a）、（b）和（c）可以看到，對于浮體的縱蕩波浪力，低頻時斜上坡和斜下坡以及平底的計算結果較為接近，而高頻時斜下坡的計算結果明顯高于斜上坡時。原因在于低頻長波繞射能力相對更強，因此水質點的縱蕩運動受斜坡地形影響較小；而高頻短波時，斜下坡將水質點的垂向運動反射成向前的縱蕩運動，因此斜下坡的縱蕩波浪激勵力更大。

圖6（a）、（b）和（c）分別給出了斜上坡和斜下坡P-1、P0和P1處浮體的垂蕩波浪激勵力。從圖中可以看到：當頻率(ω(L/g)1/2＜0.5 時，浮體在斜上坡P-1處垂蕩波浪力高于平底結果，浮體在斜下坡P-1處波浪力最小。原因可能在于波浪向前傳播時，水質點的水平運動被斜上坡反射成垂向運動，作用在浮體下方引起垂蕩波浪激勵力增大；而斜下坡會將水質點的垂向運動反射成水平運動，因此垂蕩運動減小，波浪載荷減小。而當頻率(ω(L/g)1/2＞0.5 時，斜上坡和斜下坡的計算結果均與平底結果接近，即高頻垂蕩波浪載荷受斜坡地形影響較小。這主要是因為高頻波長較短，水質點運動到海底處時垂向速度相對較小，受海底地形影響也相應較小。

圖6 斜上坡和斜下坡P-1、P0和P1處浮體的垂蕩波浪激勵力Fig.6 Heave wave exciting force of P-1,P0 and P1 over the upslope and downslope bottoms

圖7（a）、（b）和（c）分別給出了斜上坡和斜下坡P-1、P0和P1處浮體的縱搖波浪激勵力矩。從圖中可以看到，海底地形對浮體波浪激勵力矩的影響與其對縱蕩波浪力的作用相似，具體體現(xiàn)在：低頻時浮體在斜上坡、斜下坡和平底的計算結果相對比較接近；而高頻時在P-1處斜上坡的結果與平底基本一致，而在P1斜下坡的計算結果與平底非常接近。這是因為斜坡地形引起的浮體波浪激勵力矩變化主要是由浮體上水平方向波浪載荷的改變引起的，即斜底改變了浮體兩側波浪載荷的不對稱性。

圖7 斜上坡和斜下坡P-1、P0和P1處浮體的縱搖波浪激勵力矩Fig.7 Pitch wave exciting moment of P-1,P0 and P1 over the upslope and downslope bottoms

5 結 論

本文采用臺階近似法和二維Rankine 源方法建立了斜坡海底條件下浮體二維水動力數(shù)值模型（SAM-RSM2D），開發(fā)了對應的軟件程序。隨后應用該模型對斜上坡、斜下坡和平底地形條件下的浮體波浪激勵力和激勵力矩進行了對比分析，研究發(fā)現(xiàn)：

（1）對于縱蕩和縱搖波浪激勵力，當浮體布置在深水區(qū)時，斜下坡低頻計算結果與平底接近，但小于斜上坡時，后兩者高頻結果基本一致且小于斜下坡時；當浮體布置在斜坡中心處時，三者低頻結果基本一致，斜下坡高頻結果最大而平底結果次之；當浮體布置在淺水區(qū)時，斜上坡低頻計算結果與平底接近且大于斜下坡時，斜下坡與平底高頻結果基本相等且大于斜上坡時。

（2）對于垂蕩波浪激勵力，在任意浮體布置點，斜上坡低頻計算結果高于平底，斜下坡結果最小，而三者的高頻結果比較接近。

下一步將進一步考慮復雜海底地形對浮體波浪載荷的作用機理，為實際工程中近岸和島礁附近的浮體波浪載荷預報提供支持。