金子一, 賈 品, 程林松, 張向陽, 孫兆樂, 胡江鵬

(中國石油大學(北京) 石油工程學院, 北京 102249)

0 引言

深層高產(chǎn)碳酸鹽巖油藏普遍具有埋藏深、壓力高、基質致密、裂縫發(fā)育、構造復雜等特點.不同油藏，甚至同一油藏不同構造位置的儲層特征都存在差異[1].其儲集空間包括形狀多樣、大小懸殊、分布不均的孔隙、裂縫等，同時由于較高的產(chǎn)量帶來的近井地帶高速非達西流動，流體在儲層中的滲流規(guī)律復雜，常規(guī)試井模型的適用性欠佳，給儲層參數(shù)反演帶來了極大的不便[2].

早在20世紀60年代，蘇聯(lián)的Barenblatt等[3]和美國的Warren等[4]就提出了雙重孔隙介質的概念，促進了雙重介質滲流規(guī)律的研究.目前，國內外學者對雙重孔隙介質油藏試井解釋開展了大量研究工作.早期，葛家理等[5]研究了圓柱形裂隙油藏中心一口井定壓生產(chǎn)時的滲流特征，求得了數(shù)學模型在各邊界條件下的解析解.趙子剛等[6]針對雙重介質油藏無限大地層和圓形封閉地層壓力分布的數(shù)學模型，給出了具有井儲和表皮井的壓力響應樣板曲線圖.隨后，賈永祿[7]研究了考慮表皮和井儲的圓形封閉雙重介質地層中心一口井生產(chǎn)的有效井徑試井數(shù)學模型，采用Laplace變化求得拉式空間的解并通過Stehfest數(shù)值反演將拉式空間解轉換到真實空間.賈永祿等[8]針對井筒周圍污染及地層的非均質情況，建立了雙重介質復合油藏試井解釋數(shù)學模型并給出該問題的現(xiàn)代試井樣板曲線.此外，王建忠等[9]建立了考慮裂縫滲透率變化模型和變滲透率模量的雙重孔隙油藏壓力動態(tài)模型，由于模型復雜只能得到數(shù)值解.陳引弟[10]建立并求解了考慮井儲、表皮及應力敏感的雙重介質油藏試井數(shù)學模型，繪制了三類邊界條件下的無因次井底壓力及壓力導數(shù)曲線，最后將Saphir得到的數(shù)值解與零階攝動解進行對比.傅禮兵等[11]基于Izbash指數(shù)式方程建立井筒附近存在高速非達西滲流的數(shù)學模型，利用Boltzmann變換得到模型的解析解，同時討論了滲透率、孔隙度和流體黏度等參數(shù)對非達西滲流的影響.此外，國內專家學者也對深層高產(chǎn)雙重孔隙介質油藏試井解釋做了大量研究[12-17].

目前，對于深層高產(chǎn)碳酸鹽巖油藏試井模型的研究主要存在2點缺陷：一是,多以攝動變換考慮應力敏感.攝動變化本身是忽略了二階量，模擬精度下降，并且通常適用于一般強度的應力敏感，對于高強度應力敏感不適用；二是,針對高產(chǎn)量帶來的近井地帶高滲流速度導致的高速非達西流動，一般方法常采用非線性處理，計算速度較慢，擬合效率偏低.

為彌補已有研究的不足，本文將在前人的基礎上，針對深層高產(chǎn)碳酸鹽巖油藏兩大特征，分別引入擬壓力和表皮系數(shù)，考慮大埋藏深度帶來的強應力敏感問題以及高產(chǎn)量、高滲流速度造成的高速非達西流動，建立裂縫孔隙型雙重介質試井解釋模型，分析壓力曲線特征及敏感性參數(shù)的影響，并通過T油田某實例井生產(chǎn)動態(tài)數(shù)據(jù)反演儲層關鍵參數(shù)，以驗證解析解模型結果.

1 物理模型

考慮非均質矩形封閉油藏中，一口直井(如圖1所示，k為地層滲透率，x、y、h分別為儲層長度、寬度和高度).儲層為深層高產(chǎn)碳酸鹽巖裂縫孔隙型雙重介質，通過井筒的流動是經(jīng)過裂縫的，基巖作為源，且介質之間發(fā)生擬穩(wěn)態(tài)竄流.

模型的基本假設條件：

(1)地層水平等厚，地層中心一口井，井以定產(chǎn)量生產(chǎn)；

(2)產(chǎn)層厚度全部打開，流體徑向流入井內；

(3)地層流體和巖石微可壓縮，流體為單相，且壓縮系數(shù)為常數(shù)；

(4)地層流體在近井地帶為高速非達西滲流，其他區(qū)域滿足線性達西定律；

(5)考慮儲層裂縫系統(tǒng)的強應力敏感作用；

(6)考慮井筒儲存和表皮的影響，忽略重力和毛管力的影響.

圖1 深層高產(chǎn)碳酸鹽巖油藏裂縫孔隙型雙重介質物理模型示意圖

2 數(shù)學模型

深層高產(chǎn)碳酸鹽巖油藏的模型構建過程中主要考慮裂縫系統(tǒng)的強應力敏感和高速非達西流動.儲層應力敏感主要指上覆地層有效應力相對變化引起儲集空間(孔隙、裂縫及溶洞)發(fā)生形變，導致儲層物性參數(shù)變化的現(xiàn)象，裂縫型碳酸鹽巖儲層應力敏感尤為突出[18].油氣開采過程，儲層應力敏感可能引起儲層滲透率損失加劇，滲流能力受到制約，產(chǎn)量隨之降低，認識和量化裂縫型儲層滲透率應力敏感具有重要意義.對于應力敏感問題，應力敏感系數(shù)表示有效應力每改變單位壓力時，單位滲透率的改變值，其表征了儲層滲透率隨應力變化的敏感程度，該值越大代表儲層敏感性越強[19].引入應力敏感系數(shù)γf和滲透率模量，則裂縫滲透率可表示為：

(1)

kf=kfie-γf(pi-pf)

(2)

式(1)～(2)中：k為巖石初始滲透率，D；?k為滲透率改變值，D；?p為有效應力改變值，atm；γf為應力敏感系數(shù)，atm-1；kfi為裂縫初始滲透率，D；kf為裂縫當前滲透率，D；pi為原始地層壓力，atm；pf為裂縫滲透率，atm.

為使?jié)B流方程線性化，定義基質系統(tǒng)擬壓力為ψm，裂縫系統(tǒng)擬壓力ψf.由于只考慮裂縫系統(tǒng)的應力敏感，故基質系統(tǒng)擬壓力ψm等同于Pm，而裂縫系統(tǒng)擬壓力ψf為：

(3)

儲層中的油氣滲流通常遵循達西定律，但在深層高產(chǎn)碳酸鹽巖油藏中，由于滲流速度大，特別是在井底附近，流體將呈非達西高速流動[20].室內試驗和開發(fā)實踐表明：當流體的滲流速度較大時(雷諾數(shù)Re>0.1)，呈現(xiàn)出高速非達西滲流，達西定律無法準確地描述其滲流規(guī)律[21].對于高速非達西問題，引入與流量相關的表皮系數(shù)sd表示，則其所引起的附加壓力降為：

(4)

(5)

對于裂縫型雙重介質單相流體滲流數(shù)學模型的建立，需綜合以下方程[22]：

根據(jù)質量守恒原理，建立無限大地層裂縫型雙重介質油藏流體不穩(wěn)定滲流的基本微分方程如下所示：

裂縫系統(tǒng)：

(6)

基質系統(tǒng)：

(7)

初始條件、內邊界條件：

ψf|t=0=ψm|t=0=0

(8)

(9)

外邊界條件考慮無限大外邊界：

(10)

引入有效井徑，定義量綱壓力、量綱距離、量綱時間、量綱存儲系數(shù)及其他參數(shù)為：

式(6)～(10)中：rD—無因次井徑；rw—井筒半徑，cm；r—地層某點離井筒中心的距離，cm；tD—無因次時間；ψD—無因次擬壓力；ψi—原始地層擬壓力，atm；ψ—地層某點的壓力，atm；q—地面產(chǎn)量，cm3/s；B—體積系數(shù)，無因次；t—時間，s；s—表皮系數(shù)，無因次；φ—孔隙度，%；Ct—綜合壓縮系數(shù)，atm-1；h—儲層厚度，cm；CD—無因次存儲系數(shù)；C—存儲系數(shù)，cm3/atm；λ—竄流系數(shù)；αm—形狀因子，cm-2；km—基質系統(tǒng)滲透率，μm2；kf—裂縫系統(tǒng)滲透率，μm2.

得到以下無因次數(shù)學模型：

(11)

(12)

初始條件、內邊界條件：

ψfD|tD=0=ψmD|tD=0=0

(13)

(14)

考慮無限大外邊界：

(15)

3 模型求解

對以上方程作基于tD/CD的Laplace變換，并利用初始條件，整理可以得到:

(16)

(17)

對以上方程在Laplace空間上進行求解，對公式(17)求解得：

(18)

將公式(18)帶入公式(16)化簡得：

(19)

由上式整理可得：

(20)

可令：

(21)

則有：

(22)

內邊界條件：

(23)

對于無窮大外邊界，則模型的解為：

(24)

(25)

式(25)中：u為拉普拉斯變量；K0、K1分別為零階、一階第二類貝塞爾函數(shù).

在油氣藏的實際生產(chǎn)中，一口生產(chǎn)井的井底壓力除受地層流體及滲流環(huán)境的影響外，還要受到井筒儲集效應和表皮效應等因素的影響.Van Everdingen A F[23]指出，在Laplace空間中將無因次井底壓力PwD帶入以下等式可以考慮井筒儲集效應和表皮系數(shù)的影響，同時若生產(chǎn)井以定井底流壓生產(chǎn)，則可以得到考慮應力敏感性和高速非達西的無量綱井底擬壓力為：

(26)

4 曲線分析

4.1 流動階段劃分

對上述三類外邊界條件下的Laplace空間的解析解，利用Stehfest數(shù)值算法進行數(shù)值反演，可以得到實空間的解Pw，從而利用數(shù)值解編程繪制無因次試井樣版曲線.

圖2 裂縫孔隙型儲層無量綱井底壓力及壓力導數(shù)雙對數(shù)曲線

由圖2可知，深層高產(chǎn)碳酸鹽巖油藏裂縫孔隙型儲層壓力響應曲線有6個階段：

第Ⅰ段是早期井筒儲集效應.兩條曲線為直線段，且斜率為1.井筒儲集效應的大小用井筒儲集系數(shù)C來表示，單位為m3/MPa，反映了井筒流體每增加或減小單位壓力引起的井筒流體受彈性壓縮性影響的體積變化量.

第II段為表皮效應階段.當開井生產(chǎn)一段時間后，井底壓力下降，地層流體開始流入井底后，地層壓力下降，壓力波開始在地層中擴散.地層壓力降落幅度大小首先受表皮系數(shù)的影響，儲層污染越嚴重，表皮系數(shù)越大，附加壓力損失也就越大.根據(jù)無因次壓力的定義，無因次壓力與地層壓力降線性相關，因此表皮系數(shù)越大，無因次試井樣版曲線位置越高，壓力導數(shù)曲線“駝峰”效應越明顯，對應現(xiàn)場關井前的產(chǎn)量越大，井底污染越嚴重.

第III段為地層裂縫系統(tǒng)徑向流階段.因天然裂縫滲透率遠大于基質滲透率，天然裂縫的流體優(yōu)先流入井筒，天然裂縫網(wǎng)絡中流體徑向流入井筒.在此階段，基質流體并未流動，因此基質系統(tǒng)壓力(Pm)等于原始地層壓力(Pi)，天然裂縫系統(tǒng)壓力(Pf)大于井底流壓(Pwf)，但小于基質系統(tǒng)壓力，有壓力關系式Pi=Pm>Pf>Pwf.試井樣版曲線上的壓力導數(shù)曲線呈一條水平線是地層裂縫系統(tǒng)徑向流的特征響應，反映壓力波以圓形向外傳播.

第IV段為地層基質系統(tǒng)向天然裂縫系統(tǒng)竄流階段.在天然裂縫系統(tǒng)與基質系統(tǒng)壓力差的作用下，基質流體向天然裂縫系統(tǒng)中竄流，再經(jīng)天然裂縫系統(tǒng)流入井筒.在此階段，基質系統(tǒng)流體流動而發(fā)生能量衰竭，基質系統(tǒng)壓力小于原始地層壓力(Pi)，有壓力關系式Pi>Pm>Pf>Pwf.試井樣版曲線上的壓力導數(shù)曲線呈“V”形狀的凹子，是基質系統(tǒng)流體向天然裂縫系統(tǒng)竄流的特征響應.

第V段為地層基質系統(tǒng)和天然裂縫系統(tǒng)整體徑向流階段.基質流體向天然裂縫系統(tǒng)竄流結束，基質系統(tǒng)壓力和天然裂縫系統(tǒng)壓力同步衰竭，基質和天然裂縫系統(tǒng)中流體整體徑向流入井筒.在此階段，有壓力關系式Pi>Pm=Pf>Pwf.試井樣版曲線上的壓力導數(shù)曲線呈一條水平線，是基質系統(tǒng)和天然裂縫系統(tǒng)整體徑向流的特征響應.

第VI段為外邊界響應階段.壓力波傳到邊界后，基質和天然裂縫系統(tǒng)仍整體徑向流入井筒.若為恒壓外邊界，邊界處有恒定的壓力Pe，則滲流最終將達到穩(wěn)定流動狀態(tài).試井樣版曲線上的壓力導數(shù)曲線急劇下掉，是定壓外邊界特性響應.若為封閉外邊界，則滲流最終將達到擬穩(wěn)定流動狀態(tài)，無流體滲流穿越邊界，邊界處壓力對距離坐標的法向導數(shù)為0，地層中基質和裂縫系統(tǒng)壓力同步衰竭，且任意一點的壓力隨時間的變化率為一常數(shù).試井樣版曲線上的壓力和壓力導數(shù)曲線急劇上翹，最終交會成一條單位斜率的直線，是封閉外邊界特性響應.

4.2 影響因素分析

深層高產(chǎn)碳酸鹽巖油藏裂縫孔隙型儲層壓力響應特征主要考慮4個影響因素，分別為：儲容比、竄流系數(shù)、應力敏感及表皮系數(shù).

4.2.1 儲容比ω與竄流系數(shù)λ

裂縫儲容比ω代表裂縫系統(tǒng)的彈性儲容能力占總系統(tǒng)的彈性儲容能力的百分數(shù)[21].ω越小，則天然裂縫系統(tǒng)的儲集能力越弱，基質系統(tǒng)的儲集能力越強，基質和裂縫系統(tǒng)的儲集能力差異性就越大，反映基質向裂縫竄流的壓力導數(shù)曲線的凹子就越深.由圖3可知，裂縫儲容比ω的大小決定竄流段壓力導數(shù)曲線下凹的深度和寬度，裂縫越發(fā)育，凹子越窄越淺.

圖3 儲容比ω對曲線形態(tài)的影響

根據(jù)基質系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)竄流系數(shù)的定義[21]，基質和裂縫滲透率之比越小，即基質和裂縫系統(tǒng)滲透率差異越大，竄流系數(shù)越小.λ決定竄流段壓力導數(shù)曲線凹子出現(xiàn)時間的早晚.基質系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)竄流的時間越早，基質系統(tǒng)流體流動而發(fā)生能量衰竭越早，則基質系統(tǒng)壓力降低到小于原始地層壓力的時間越短，地層裂縫系統(tǒng)徑向流持續(xù)時間就越短.由圖4可知，竄流系數(shù)λ影響凹子出現(xiàn)時間早晚，裂縫基質差異越大，竄流時間越晚，凹子越往右移.

圖4 竄流系數(shù)λ對曲線形態(tài)的影響

4.2.2 應力敏感γ與表皮系數(shù)Sd

由圖5可知，考慮應力敏感對無量綱壓力及壓力導數(shù)雙對數(shù)曲線有較大影響.在第Ⅰ階段，應力敏感影響可以忽略；但進入第Ⅱ階段后，無量綱壓力及壓力導數(shù)曲線均隨應力敏感系數(shù)增加而有所抬升，且隨時間增加，曲線上升幅度越大；其中，在第Ⅲ階段和第Ⅵ階段中，隨應力敏感系數(shù)增加，無量綱壓力導數(shù)曲線水平段值以0.5為起點逐漸增大，起點處對應應力敏感系數(shù)為0，此時無應力敏感效應.上述變化規(guī)律的原因在于，井筒儲集階段中，井筒供液來源主要為井筒存儲，儲層的滲流能力對該階段影響不大；而井筒儲集階段結束后，儲層各儲集空間成為井筒的供液來源，應力敏感效應制約了儲層滲流能力，應力敏感效應越強，對應生產(chǎn)現(xiàn)場驅動流體流動所需壓力越高.

圖5 應力敏感γ對曲線形態(tài)的影響

由圖6可知，由于在近井地帶出現(xiàn)高速非達西滲流，流體流動不再滿足達西定律.近井地帶的滲流速度越大，其非達西滲流影響的區(qū)域越大，非達西滲流的特征也越明顯.其他參數(shù)保持不變，表皮系數(shù)越大，附加壓降越大，壓力波傳播越慢，壓力及壓力導數(shù)曲線位置越高，對應現(xiàn)場關井前的產(chǎn)量越大，井底污染越嚴重.

圖6 高速非達西表皮系數(shù)Sd對曲線形態(tài)的影響

5 實例應用

為了驗證模型的準確性，選取中國西部T油田某深層高產(chǎn)碳酸鹽巖油藏作為研究對象.T油田某油藏是大型碳酸鹽巖裂縫型油藏，儲集、滲流空間主要為大小不同的溶蝕孔隙、微裂縫組成，埋深在4 360～5 200 m，地層壓力48.20～57.60 MPa，儲層非均質性嚴重，油藏類型和儲層中裂縫分布較復雜.同時，較大的埋藏深度帶來的強應力敏感和較高的關井前產(chǎn)量造成的近井地帶高速非達西滲流對試井解釋及儲層參數(shù)反演帶來了巨大的挑戰(zhàn).

通過改變儲容比ω、竄流系數(shù)λ、應力敏感系數(shù)γ、高速非達西表皮系數(shù)Sd等影響參數(shù)，繪制解析解模型下的壓力及導數(shù)的雙對數(shù)理論曲線.將生產(chǎn)現(xiàn)場得到的壓力數(shù)據(jù)點經(jīng)過預處理之后，通過Bourdet算法求解壓力導數(shù)，繪制實際曲線.最后通過最小二乘法等算法擬合理論曲線與實際曲線，進行參數(shù)反演并與試井商業(yè)軟件計算結果進行對比.

模型基礎數(shù)據(jù)如表1所示，實例井測試段生產(chǎn)動態(tài)如圖7～8所示，解析解模型計算擬合結果如圖9所示，商業(yè)軟件計算擬合結果如圖10所示，解析解模型與商業(yè)軟件部分結果對比如表2所示.

表1 模型輸入?yún)?shù)

續(xù)表1

圖7 實例井測試層段產(chǎn)量曲線

圖8 實例井測試層段壓力曲線

圖9 解析解模型壓力恢復擬合曲線

圖10 商業(yè)軟件壓力恢復擬合曲線

表2 解析解與商業(yè)軟件結果對比

由圖9、圖10及表2可知，壓力恢復曲線出現(xiàn)明顯的“凹子”，反映裂縫系統(tǒng)與基質系統(tǒng)之間的竄流，確定實例井測試層段為裂縫孔隙型雙重介質，且解析解模型與實測井壓力及壓力導數(shù)曲線擬合結果更好，特別是在表皮階段和后期曲線上翹階段.根據(jù)解析解模型計算結果顯示，彈性儲容比0.16，竄流系數(shù)1.00×10-5，裂縫系統(tǒng)彈性儲存能力較弱.此外，解析解模型能反演得到商業(yè)軟件無法得到的高速非達西表皮系數(shù)為2.61，應力敏感系數(shù)為0.027，反映生產(chǎn)現(xiàn)場關井前的產(chǎn)量較大，同時該儲層的應力敏感效應較強，驅動流體流動所需壓力較高.

6 結論

本文針對深層高產(chǎn)碳酸鹽巖油藏的強應力敏感和高速非達西兩大特點，分別引入擬壓力和高速非達西表皮系數(shù)來表征，通過無因次化和拉氏變換得到了拉普拉斯空間的數(shù)學模型，得到井底壓力解析解，并通過最小二乘法擬合實現(xiàn)儲層參數(shù)反演.

(1)裂縫孔隙型儲層的壓力響應樣板曲線存在6個流動階段，基質與裂縫的竄流階段出現(xiàn)“凹子”.儲容比越小，竄流現(xiàn)象越明顯，竄流系數(shù)越小，竄流發(fā)生的時間越晚.

(2)在大埋藏深度帶來的強應力敏感的影響下，儲層滲流能力受到制約，壓力導數(shù)曲線上移，且應力敏感強度愈強，曲線上翹幅度越大，生產(chǎn)現(xiàn)場驅動流體流動所需壓力越高.同時，產(chǎn)量越大，對應的高速非達西表皮系數(shù)越大，附加壓降越大，壓力及壓力導數(shù)曲線位置越高.

(3)基于T油田某實例井生產(chǎn)動態(tài)通過解析解模型反演得到應力敏感系數(shù)0.027、高速非達西表皮系數(shù)2.61、儲容比0.16、竄流系數(shù)1.00×10-5等關鍵參數(shù)，現(xiàn)場應用實例擬合結果進一步證明了模型的準確性與實用性.