劉大江

(唐山學(xué)院 土木工程學(xué)院，河北 唐山 063000)

0 引言

關(guān)鍵路徑法(Critical Path Method，CPM)是對(duì)大型復(fù)雜項(xiàng)目進(jìn)行計(jì)劃、調(diào)度與控制的重要且有效的工具[1]。傳統(tǒng)CPM的成功實(shí)現(xiàn)必須基于施工規(guī)劃中有清晰的活動(dòng)持續(xù)時(shí)間，然而，工程項(xiàng)目的一次性、項(xiàng)目活動(dòng)實(shí)現(xiàn)的不可重復(fù)性、實(shí)現(xiàn)過(guò)程的復(fù)雜性和環(huán)境的不確定性，致使工程項(xiàng)目活動(dòng)的持續(xù)時(shí)間難以被準(zhǔn)確預(yù)測(cè)、項(xiàng)目數(shù)據(jù)信息失真，從而導(dǎo)致施工規(guī)劃或計(jì)劃出現(xiàn)嚴(yán)重偏差。計(jì)劃評(píng)審技術(shù)(Program Evaluation and Review Technique，PERT)也是一種安排大型復(fù)雜項(xiàng)目計(jì)劃的管理方法，它雖引入了基于概率分布(如正態(tài)分布、β分布等)假設(shè)的三時(shí)估計(jì)法來(lái)表達(dá)項(xiàng)目活動(dòng)持續(xù)時(shí)間的不確定性，但恰當(dāng)?shù)母怕史植夹枰獨(dú)v史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和人的判斷確定，而不能隨機(jī)假設(shè)；并且在工程實(shí)踐中，尚無(wú)對(duì)活動(dòng)樂(lè)觀的、正常的和悲觀的持續(xù)時(shí)間進(jìn)行規(guī)范定義，導(dǎo)致相關(guān)概率分布假設(shè)很難成立。顯然，以傳統(tǒng)方式處理不確定性狀態(tài)下的施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題難以獲得滿意的效果，而基于模糊理論的施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃被認(rèn)為比基于概率論的更加有效。因此，模糊關(guān)鍵路徑法(Fuzzy Critical Path Method，F(xiàn)CPM)被廣泛應(yīng)用于求解項(xiàng)目施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題。

基于FCPM的項(xiàng)目施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃分析需要實(shí)現(xiàn)三個(gè)目標(biāo)[2]：(1)識(shí)別項(xiàng)目的最高風(fēng)險(xiǎn)活動(dòng)和路徑，即識(shí)別不可浮動(dòng)的關(guān)鍵活動(dòng)和關(guān)鍵路徑；(2)計(jì)算項(xiàng)目最終完成時(shí)間，即總工期；(3)確定進(jìn)度計(jì)劃中每項(xiàng)活動(dòng)的總時(shí)差。同時(shí)，還應(yīng)當(dāng)妥善解決兩方面關(guān)鍵問(wèn)題：(1)項(xiàng)目總工期、最早和最遲時(shí)間參數(shù)的模糊最大值或最小值運(yùn)算；(2)涉及最遲時(shí)間參數(shù)和總時(shí)差的模糊減運(yùn)算可能產(chǎn)生的不可行解。

文獻(xiàn)[3][4]應(yīng)用模糊數(shù)的符號(hào)距離排序法，求得了項(xiàng)目模糊網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵路徑；文獻(xiàn)[5]通過(guò)定義基于廣義模糊數(shù)質(zhì)心的排序函數(shù)，判別了最早和最遲時(shí)間參數(shù)，識(shí)別了項(xiàng)目模糊網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵路徑；文獻(xiàn)[1][6]通過(guò)建立線性規(guī)劃模型，計(jì)算了時(shí)間參數(shù)的下限值和上限值，獲得了每項(xiàng)活動(dòng)最早和最遲時(shí)間的隸屬函數(shù)，從而確定了項(xiàng)目模糊網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵路徑和路徑的關(guān)鍵程度；文獻(xiàn)[7][8]通過(guò)定義模糊活動(dòng)時(shí)間的關(guān)鍵性，以及利用通過(guò)線性規(guī)劃模型計(jì)算出的路徑的關(guān)鍵度，確定了項(xiàng)目模糊網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵路徑；文獻(xiàn)[9]采用字母序排序法對(duì)活動(dòng)的模糊時(shí)間參數(shù)進(jìn)行排序確定了其關(guān)鍵性，識(shí)別了關(guān)鍵路徑；文獻(xiàn)[10]通過(guò)定義將模糊數(shù)轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)的排序函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)模糊網(wǎng)絡(luò)各項(xiàng)活動(dòng)時(shí)間參數(shù)的計(jì)算和關(guān)鍵路徑的確定；文獻(xiàn)[11]-[14]提出利用距離測(cè)度的排序法計(jì)算每個(gè)活動(dòng)的模糊時(shí)間參數(shù)，確定了項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵路徑和總工期。

上述研究不同程度地解決了模糊數(shù)最值運(yùn)算和關(guān)鍵路徑識(shí)別問(wèn)題。文獻(xiàn)[3]-[10]均采用先將模糊數(shù)轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)再進(jìn)行比較的模糊數(shù)的弱比較方法確定項(xiàng)目模糊網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵路徑，但這種方法使數(shù)據(jù)的原始信息損失大，且規(guī)避了相關(guān)時(shí)間參數(shù)的計(jì)算，不能有效實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃分析的全部目標(biāo)；文獻(xiàn)[11]-[13]給出了距離測(cè)度公式，對(duì)于兩個(gè)完全相等的模糊數(shù)應(yīng)用其計(jì)算出的距離卻大于零，這與事實(shí)相悖，同時(shí)，這些文獻(xiàn)均未考慮活動(dòng)持續(xù)時(shí)間模糊狀態(tài)下關(guān)鍵路徑可能發(fā)生變化的事實(shí)。文獻(xiàn)[14]提出了基于理想點(diǎn)的距離測(cè)度公式，雖在一定程度上彌補(bǔ)了上述研究的不足，但與最大和最小理想點(diǎn)距離同時(shí)相等的兩個(gè)模糊數(shù)卻無(wú)法比較大小。另外，針對(duì)在最遲時(shí)間參數(shù)和總時(shí)差計(jì)算過(guò)程中規(guī)避模糊減運(yùn)算可能產(chǎn)生的不可行解問(wèn)題，學(xué)界也開展了大量卓有成效的研究，比如在應(yīng)用交互式模糊減法[15-16]、求解模糊方程法[17]、線性規(guī)劃法[18]、擴(kuò)展模糊算術(shù)運(yùn)算模型[19]、新多項(xiàng)式算法[20]、八角形模糊減法式[21]等方法時(shí)由于注意增設(shè)了非負(fù)約束條件，故均不同程度地規(guī)避了模糊減運(yùn)算產(chǎn)生的不可行解問(wèn)題，然而這些研究由于未考慮模糊數(shù)偏序關(guān)系與左右展寬的非負(fù)約束等情況，模糊減運(yùn)算產(chǎn)生的不可行解問(wèn)題尚未得到有效解決。

鑒于此，本文提出一種基于向量集成相似度排序算法和修正的模糊減運(yùn)算標(biāo)準(zhǔn)算法的改進(jìn)的FCPM，以提高項(xiàng)目施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃分析的合理性和有效性。

1 梯形模糊數(shù)基礎(chǔ)理論

(1)

圖1 梯形模糊數(shù)

(2)

Aα+Bα=[AL(α)+BL(α)，AU(α)+BU(α)]；

(3)

Aα-Bα=[AL(α)-BU(α)，AU(α)-BL(α)]；

(4)

λAα=[λAL(α)，λAU(α)]，λ∈R且λ≥0；

(5)

max(Aα，Bα)=[max(AL(α)，BL(α))，max(AU(α)，BU(α))]；

(6)

min(Aα，Bα)=[min(AL(α)，BL(α))，min(AU(α)，BU(α))]。

(7)

2 改進(jìn)的FCPM

2.1 向量集成相似度排序算法[23]

向量集成相似度排序算法是利用梯形模糊數(shù)的等效參數(shù)形式，通過(guò)區(qū)間數(shù)與二維向量的信息轉(zhuǎn)換，集成比較信息向量與理想信息向量的范數(shù)相似度和方向相似度的信息，客觀、綜合地反映比較信息向量與理想信息向量相似程度，以確定梯形模糊數(shù)大小的一種排序方法。

向量集成相似度排序算法主要解決的是模糊施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃分析中遞推計(jì)算活動(dòng)最早和最遲時(shí)間參數(shù)、識(shí)別關(guān)鍵活動(dòng)和關(guān)鍵路徑、確定總工期等問(wèn)題。

2.1.1 確定轉(zhuǎn)換信息向量

(8)

顯然，任意一個(gè)區(qū)間數(shù)X均可用M(X)和W(X)描述，那么對(duì)于區(qū)間數(shù)A和B，當(dāng)且僅當(dāng)M(A)=M(B)且W(A)=W(B)時(shí)，A=B。

2.1.2 確定理想信息向量

(9)

圖2 比較信息向量與理想信息向量

2.1.3 計(jì)算向量集成相似度

2-范數(shù)為：

(10)

內(nèi)積為：

(11)

夾角為：

(12)

范數(shù)相似度為：

γ=

(13)

方向相似度為：

(14)

集成相似度為：

(15)

2.1.4 模糊數(shù)排序

因此，定理2成立。

基于式(10)-(15)，逐一計(jì)算并比較每個(gè)比較信息向量與理想信息向量的集成相似度。由定理2可知，集成相似度越大，其對(duì)應(yīng)的模糊數(shù)相對(duì)越優(yōu)，從而完成對(duì)模糊數(shù)的排序。

2.2 修正的模糊減運(yùn)算標(biāo)準(zhǔn)算法[22]

模糊減運(yùn)算標(biāo)準(zhǔn)算法[29]：

(16)

雖然計(jì)算獲得了非負(fù)解，但其明顯與區(qū)間數(shù)定義中AL≤AU的規(guī)定相悖，致使計(jì)算結(jié)果毫無(wú)實(shí)際意義。因此，將式(16)修正為式(17)。

(17)

3 改進(jìn)的FCPM施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃分析的實(shí)現(xiàn)

改進(jìn)的FCPM施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃分析的實(shí)現(xiàn)過(guò)程與CPM一致，但需要應(yīng)用梯形模糊數(shù)和相關(guān)代數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，本文以單代號(hào)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃為例闡述其實(shí)現(xiàn)過(guò)程。單代號(hào)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的節(jié)點(diǎn)信息一般包括：活動(dòng)名稱(N)、節(jié)點(diǎn)編碼(i)、活動(dòng)持續(xù)時(shí)間(Di)、最早開始與結(jié)束時(shí)間(ESi與EFi)、最遲開始與結(jié)束時(shí)間(LSi與LFi)和總時(shí)差(TFi)，如圖3所示。

圖3 單代號(hào)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的活動(dòng)節(jié)點(diǎn)

基本步驟如下：

Step 1 構(gòu)建項(xiàng)目施工模糊網(wǎng)絡(luò)。

選擇網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃類型，確定每項(xiàng)活動(dòng)的邏輯關(guān)系與活動(dòng)模糊持續(xù)時(shí)間，設(shè)置虛擬開始節(jié)點(diǎn)(Sn)和結(jié)束節(jié)點(diǎn)(En)?；顒?dòng)持續(xù)時(shí)間以梯形模糊數(shù)的等效參數(shù)形式表示，虛擬開始節(jié)點(diǎn)：DSn=[0，0]，ESSn=[0，0]，EFSn=[0，0]。

Step 2 枚舉模糊網(wǎng)絡(luò)的全部路徑并計(jì)算每一路徑上活動(dòng)持續(xù)時(shí)間之和。

根據(jù)式(3)進(jìn)行模糊加運(yùn)算，設(shè)模糊網(wǎng)絡(luò)存在m條路徑，則路徑x的持續(xù)時(shí)間之和為：

(18)

Step 3 識(shí)別模糊網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵路徑并計(jì)算項(xiàng)目總工期。

關(guān)鍵路徑判別標(biāo)準(zhǔn)：活動(dòng)持續(xù)時(shí)間之和最長(zhǎng)的路徑是關(guān)鍵路徑。

關(guān)鍵活動(dòng)判別準(zhǔn)則：關(guān)鍵路徑上的活動(dòng)均為關(guān)鍵活動(dòng)。

項(xiàng)目總工期：

T=max(Tx)。

(19)

Step 4 計(jì)算活動(dòng)的最早開始與結(jié)束時(shí)間。

活動(dòng)i在路徑x上的最早開始時(shí)間：ESxi=EFxh，h∈pred(i)，其表達(dá)如圖4所示。

圖4 活動(dòng)i在路徑x上的最早開始時(shí)間

活動(dòng)i的最早開始與結(jié)束時(shí)間分別按式(20)(21)計(jì)算，其表達(dá)如圖5所示。

圖5 活動(dòng)最早時(shí)間

(20)

EFi=ESi+Di。

(21)

Step 5 計(jì)算活動(dòng)的最遲開始與結(jié)束時(shí)間。

虛擬結(jié)束節(jié)點(diǎn)：DSn=[0，0]，LFSn=[EFEn，EFEn]，LSSn=[EFEn，EFEn]。模糊減運(yùn)算據(jù)式(17)，逆向遞推計(jì)算模糊最遲開始與結(jié)束時(shí)間，如式(22)(23)所示，其表達(dá)見(jiàn)圖6。

(22)

LSi=LFi-Di。

(23)

圖6 活動(dòng)最遲時(shí)間

Step 6 計(jì)算活動(dòng)的總時(shí)差。

TFi=LSi-ESi或TFi=LFi-EFi。

(24)

Step 7 活動(dòng)持續(xù)時(shí)間模糊狀態(tài)下的關(guān)鍵路徑變化情況分析。

根據(jù)不確定狀態(tài)下α∈[0，1]的變化情況，描繪各條路徑的變化軌跡，并對(duì)關(guān)鍵路徑變化情況作出分析。

4 實(shí)證分析

某項(xiàng)目為預(yù)制裝配式混凝土(PC)剪力墻結(jié)構(gòu)。承包商試圖通過(guò)合理地確定總工期和關(guān)鍵路徑，制定科學(xué)的施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃，有效識(shí)別與規(guī)避施工風(fēng)險(xiǎn)，優(yōu)化配置施工資源。以該項(xiàng)目標(biāo)準(zhǔn)層PC疊合樓板的施工為例，利用改進(jìn)的FCPM進(jìn)行施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃分析。

依據(jù)PC疊合樓板施工工藝及特點(diǎn)，構(gòu)建單代號(hào)施工網(wǎng)絡(luò)(A-on-N)，如圖7所示，活動(dòng)的邏輯關(guān)系為FTS。通過(guò)專家對(duì)既有類似項(xiàng)目(相同或相近的結(jié)構(gòu)類型、施工方式、建設(shè)規(guī)模和質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)等)活動(dòng)持續(xù)時(shí)間數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與測(cè)算，并充分考慮承包商施工水平和工作效率，獲得以梯形模糊數(shù)表示的該項(xiàng)目活動(dòng)的持續(xù)時(shí)間。例如，經(jīng)統(tǒng)計(jì)的類似既有項(xiàng)目A-J中“PC樓板吊裝”的持續(xù)時(shí)間如表1所示。經(jīng)專家綜合分析確定“PC樓板吊裝”模糊持續(xù)時(shí)間為(1，2，3，4)。

圖7 某項(xiàng)目標(biāo)準(zhǔn)層PC疊合樓板的施工網(wǎng)絡(luò)

表1 類似項(xiàng)目中“PC樓板吊裝”的持續(xù)時(shí)間 d

同理，其他活動(dòng)的模糊持續(xù)時(shí)間(為簡(jiǎn)化計(jì)算均取整數(shù))和邏輯關(guān)系(FTS)如表2所示。

表2 活動(dòng)模糊持續(xù)時(shí)間和邏輯關(guān)系 d

基于改進(jìn)的FCPM的PC疊合樓板施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃分析的實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：根據(jù)式(2)實(shí)現(xiàn)PC疊合樓板施工網(wǎng)絡(luò)的梯形模糊活動(dòng)持續(xù)時(shí)間的等效參數(shù)形式轉(zhuǎn)換，如表2所示。枚舉PC疊合樓板模糊施工網(wǎng)絡(luò)的全部路徑，計(jì)算其對(duì)應(yīng)的持續(xù)時(shí)間，如表3所示。

表3 模糊施工網(wǎng)絡(luò)路徑及其持續(xù)時(shí)間

根據(jù)式(18)(19)，不同α∈[0，1]水平下PC疊合樓板施工的總工期和關(guān)鍵路徑如表4所示。

表4 不同α水平下的項(xiàng)目總工期和關(guān)鍵路徑

表4顯示：α由0.2變化為0.3時(shí)，關(guān)鍵路徑從1-4-6-8轉(zhuǎn)換成1-2-5-6-8(如圖8所示)，項(xiàng)目總工期和時(shí)間參數(shù)均隨不同α水平而發(fā)生改變。當(dāng)α取(0.2，0.3)中某一值時(shí)，路徑1-4-6-8和1-2-5-6-8的信息向量具有完全相等的集成相似度，二者均為關(guān)鍵路徑。這表明，在活動(dòng)持續(xù)時(shí)間模糊狀態(tài)下，施工網(wǎng)絡(luò)是動(dòng)態(tài)的，關(guān)鍵路徑和項(xiàng)目總工期隨不同α水平的變化而改變，而且模糊施工網(wǎng)絡(luò)可能同時(shí)存在多個(gè)關(guān)鍵路徑。該項(xiàng)目施工網(wǎng)絡(luò)的路徑變化情況如圖9所示。

圖8 關(guān)鍵路徑的轉(zhuǎn)換軌跡

圖9 不同α水平下施工網(wǎng)絡(luò)的路徑變化情況

5 結(jié)論

基于向量集成相似度排序算法與修正的模糊減運(yùn)算標(biāo)準(zhǔn)算法的改進(jìn)的FCPM成功實(shí)現(xiàn)了施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃分析的三個(gè)目標(biāo)，通過(guò)定義梯形模糊數(shù)等效參數(shù)形式，可靠地實(shí)現(xiàn)了施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃由模糊性向確定性的轉(zhuǎn)化；向量集成相似度排序算法有效解決了模糊項(xiàng)目總工期、最早與最遲時(shí)間等參數(shù)計(jì)算的模糊最值問(wèn)題；修正的模糊減運(yùn)算標(biāo)準(zhǔn)算法最大限度地消除了模糊減運(yùn)算結(jié)果的任意擴(kuò)張，顯著降低了計(jì)算過(guò)程中數(shù)據(jù)原始信息的損失，并合理消除了不可行解的產(chǎn)生；關(guān)鍵路徑枚舉法在簡(jiǎn)化計(jì)算工作的同時(shí)，可快速確定關(guān)鍵路徑和項(xiàng)目總工期；至關(guān)重要的是，對(duì)模糊持續(xù)時(shí)間狀態(tài)下關(guān)鍵路徑的變化情況進(jìn)行剖析，無(wú)疑將進(jìn)一步提高施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃分析的客觀性。實(shí)證分析表明，改進(jìn)的FCPM計(jì)算和推理簡(jiǎn)單、適應(yīng)性和可操作性強(qiáng)。

然而，此改進(jìn)的FCPM對(duì)于快速準(zhǔn)確地枚舉大型復(fù)雜項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)的全部路徑仍存在一定困難，需協(xié)同BIM、人工智能等技術(shù)開發(fā)工程項(xiàng)目施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃智能分析系統(tǒng)，以進(jìn)一步提升工程項(xiàng)目施工動(dòng)態(tài)規(guī)劃分析的績(jī)效和水平。