楊 庶， 錢云霄， 楊 婷,2

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，西安 710072； 2. 北京空天技術(shù)研究所，北京 100074)

高超聲速飛行器可進(jìn)行跨空域、跨速域飛行，其復(fù)雜的飛行環(huán)境和時(shí)變的飛行動(dòng)態(tài)給控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來嚴(yán)峻挑戰(zhàn).針對(duì)上述問題，目前常采用動(dòng)態(tài)逆控制、反演控制、滑?？刂啤⑶袚Q控制、自適應(yīng)控制、線性變參數(shù)(LPV)控制等方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì).文獻(xiàn)[1]針對(duì)制導(dǎo)控制一體化問題，提出一種基于魯棒動(dòng)態(tài)逆的動(dòng)態(tài)面一體化算法，通過引入動(dòng)態(tài)面控制，避免反演控制的“計(jì)算膨脹”問題.文獻(xiàn)[2]設(shè)計(jì)了一種無需在線求導(dǎo)的高超聲速飛行器反步法控制律方法，用于實(shí)現(xiàn)高超聲速飛行器縱向通道的航跡傾斜角跟蹤控制.模型的強(qiáng)非線性和強(qiáng)耦合性特點(diǎn)使得動(dòng)態(tài)逆、反步法等控制器設(shè)計(jì)過程復(fù)雜，增加了實(shí)際應(yīng)用難度[1,3].對(duì)于高超聲速飛行器縱向控制通道的速度和高度控制問題，文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)干擾補(bǔ)償器和狀態(tài)反饋控制律，在實(shí)現(xiàn)指令跟蹤的同時(shí)，提高飛行器閉環(huán)系統(tǒng)相對(duì)于外界擾動(dòng)的魯棒性.文獻(xiàn)[5]給出一種基于模糊控制理論的高超聲速飛行器縱向最優(yōu)控制律，能夠在飛行器未建模動(dòng)力學(xué)特性的影響下，實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行器高度和速度指令的跟蹤.文獻(xiàn)[6]采用有限時(shí)間滑模控制理論，設(shè)計(jì)高超聲速飛行器在俯沖段的協(xié)同制導(dǎo)律，實(shí)現(xiàn)多枚高超聲速飛行器攻擊同一固定目標(biāo)的控制任務(wù).文獻(xiàn)[7-8]分別采用滑模和自適應(yīng)控制理論實(shí)現(xiàn)高超聲速飛行器俯沖段的控制.文獻(xiàn)[9]針對(duì)吸氣式高超聲速飛行器的縱向飛行控制，建立多胞剛性LPV模型，進(jìn)而基于區(qū)域極點(diǎn)配置實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的H∞/H2多目標(biāo)魯棒控制.文獻(xiàn)[10]將切換控制思想與LPV控制結(jié)合，通過減小子系統(tǒng)的參數(shù)變化范圍，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性.

上述控制方法中，LPV控制利用參數(shù)依賴的思想，既可以有效適應(yīng)高超聲速飛行器飛行包線大、參數(shù)快時(shí)變的特點(diǎn)，又可以基于增益調(diào)度技術(shù)保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制器的實(shí)用性，在高超聲速飛行器控制中得到廣泛應(yīng)用.需要指出的是，現(xiàn)有的飛行器LPV控制研究一般僅考慮飛行器縱向或橫航向動(dòng)力學(xué)特性[11-12]，忽略縱向和橫航向通道之間的耦合.基于飛行器完整模型的LPV控制研究通常引入模型假設(shè)(如速度傾側(cè)角為0)，降低控制律的設(shè)計(jì)難度.

本文基于高度-水平航跡控制概念，將高超聲速飛行器三維航跡分解為豎直面航跡和水平面航跡，通過高度、速度、側(cè)滑角、偏航角控制，實(shí)現(xiàn)飛行器的三維航跡控制.基于高度-水平航跡控制概念，采用具有L2誘導(dǎo)范數(shù)控制性能的LPV控制方法，設(shè)計(jì)高超聲速飛行器的一體化式LPV控制律.在地心地固(ECEF)參考系下建立高超聲速飛行器的數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)值仿真檢驗(yàn)一體化式LPV控制律在測(cè)量噪聲影響下的控制性能.仿真結(jié)果表明，該控制律能夠跟蹤給定控制指令，并具有較好的噪聲抑制性能.

1 高超聲速飛行器數(shù)學(xué)模型

基于WGS84地球模型參數(shù)，在ECEF參考系(見圖1)下建立飛行器的非線性數(shù)學(xué)模型，在模型中考慮地球自轉(zhuǎn)、地球扁率、地球引力二階簡(jiǎn)諧效應(yīng)的影響.圖中：l和μ為大地經(jīng)度和大地緯度；ωE為地球自轉(zhuǎn)速度；lE為地球自轉(zhuǎn)角；ECI代表地心慣性參考系；B代表機(jī)體參考系.為便于控制律設(shè)計(jì)，基于平板地球假設(shè)，建立飛行器的簡(jiǎn)化非線性數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而得到高超聲速飛行器的LPV模型.在兩組數(shù)學(xué)模型中均假設(shè)飛行器為剛體，并忽略飛行器的質(zhì)量變化.

圖1 ECEF參考系與機(jī)體參考系示意圖Fig.1 ECEF reference frame and body reference frame

1.1 ECEF參考系下的運(yùn)動(dòng)方程

由于地球自轉(zhuǎn)的影響，圖1所示的ECEF參考系是相對(duì)于ECI參考系的非慣性參考系，其角速率向量為

(1)

(2)

在ECEF參考系中，高超聲速飛行器的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)受到地球自轉(zhuǎn)角速度、Coriolis效應(yīng)、地球扁率等因素影響，根據(jù)牛頓第二定律，在機(jī)體參考下可將高超聲速飛行器的平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程表達(dá)為

(3)

ge=

(4)

式中：GM為地心引力常數(shù)；J2為地球引力二階簡(jiǎn)諧效應(yīng)常數(shù)；a為地球半長(zhǎng)軸；μc為地心緯度；rk(k=1,2,3)為飛行器位移向量r的第k個(gè)分量；‖r‖為飛行器相對(duì)于地心的距離.GM，J2，a均根據(jù)WGS84地球模型參數(shù)確定，式(3)和(4)的詳細(xì)推導(dǎo)過程參見文獻(xiàn)[13].

根據(jù)文獻(xiàn)[14]中的氣動(dòng)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，有

Fb=

(5)

式中：α為迎角；T為發(fā)動(dòng)機(jī)推力，可通過燃油流量比δt進(jìn)行控制；D，L和Y為飛行器的阻力、升力和側(cè)力，可分別通過副翼舵偏角δa、升降舵舵偏角δe和方向舵舵偏角δr進(jìn)行控制.

高超聲速飛行器的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為

(6)

ωb=ωbn+Rbnωne+Rbeωe

(7)

(8)

高超聲速飛行器的位移和四元數(shù)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(9)

1.2 平板地球假設(shè)下的運(yùn)動(dòng)方程和LPV模型

為便于控制律設(shè)計(jì)，可忽略地球自轉(zhuǎn)和引力二階簡(jiǎn)諧效應(yīng)，根據(jù)式(3)、式(6)和式(9)進(jìn)行簡(jiǎn)化，在平板地球假設(shè)下建立高超聲速飛行器的簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)方程[13]，即

(10)

根據(jù)基于線性化的LPV模型建模方法[16]，可將式(10)轉(zhuǎn)化為如下高超聲速飛行器LPV模型，即

(11)

2 一體化式LPV控制律

針對(duì)高超聲速飛行器的三維航跡控制需求，基于高度-水平航跡控制概念設(shè)計(jì)高超聲速飛行器一體化式LPV控制律，進(jìn)而采用線性矩陣不等式(LMI)方法求解該LPV輸出反饋控制律的參數(shù).

2.1 高度-水平航跡控制概念

根據(jù)笛卡爾參考系中基向量相互正交的性質(zhì)，可根據(jù)北東地參考系，將高超聲速飛行器的三維航跡控制問題分解為水平面和豎直面航跡控制問題(見圖2).豎直面航跡控制可通過高度控制實(shí)現(xiàn)，水平面航跡控制問題可通過速度和偏航角控制實(shí)現(xiàn).由于高超聲速飛行器通常要求實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎性能，即水平面航跡控制時(shí)側(cè)滑角為0°，所以側(cè)滑角控制應(yīng)作為水平面航跡控制目標(biāo)之一.

根據(jù)上述討論，控制指令可選：速度V、側(cè)滑角β、高度h、偏航角ψ.由于這些控制指令既包含常規(guī)飛行控制的內(nèi)回路姿態(tài)控制指令，也包含外回路控制指令，所以通常需要進(jìn)行內(nèi)外回路控制律的分離設(shè)計(jì)與綜合，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)飛行器三維航跡控制.由于內(nèi)外回路控制律分離設(shè)計(jì)方法有可能導(dǎo)致控制律之間的耦合問題，所以本文采用LPV輸出反饋控制理論，設(shè)計(jì)高超聲速飛行器一體化式LPV飛行控制律，使用LMI方法求解具有L2誘導(dǎo)范數(shù)性能的LPV魯棒控制律參數(shù).

圖2 高度-水平航跡控制概念示意圖Fig.2 Altitude-horizontal trajectory control concept

2.2 LPV控制律設(shè)計(jì)

高超聲速飛行器一體化式LPV控制律如圖3所示，通過參考模型和L2誘導(dǎo)范數(shù)意義下的模型匹配方法[17]，實(shí)現(xiàn)速度、側(cè)滑角、高度、偏航角通道的模型跟蹤控制性能.圖中：下標(biāo)c代表控制指令；向量n為反饋噪聲.各控制通道的參考模型均為阻尼比0.7的二階系統(tǒng)，則有傳遞函數(shù)：

(12)

式中：s為傳遞函數(shù)的復(fù)頻域自變量.

誤差權(quán)值函數(shù)設(shè)計(jì)為

(13)

式中：WV(s)和Wh(s)的低頻增益為0.01，設(shè)計(jì)目標(biāo)為使速度和高度的穩(wěn)態(tài)控制誤差不超過1%；Wβ(s)和Wψ(s)的低頻增益為0.001，設(shè)計(jì)目標(biāo)為使側(cè)滑角和偏航角的穩(wěn)態(tài)控制誤差不超過0.1%.

控制權(quán)值函數(shù)設(shè)計(jì)為

(14)

其設(shè)計(jì)目標(biāo)為在單位指令信號(hào)的作用下，高超聲速飛行器燃油流量的變化量不超過20%，副翼、升降舵、方向舵的變化量不超過10°.式(13)和式(14)中各權(quán)值函數(shù)的輸出分別對(duì)應(yīng)于圖3中的eV、eβ、eh、eψ和eu.

反饋信號(hào)設(shè)計(jì)為

xf=

(15)

各反饋信號(hào)均受測(cè)量噪聲影響.

圖3 LPV控制律與系統(tǒng)連接結(jié)構(gòu)Fig.3 System interconnections for LPV control law

噪聲權(quán)值函數(shù)設(shè)計(jì)為

Wn=

(16)

式中：I3和I6分別為三維單位矩陣和六維單位矩陣.式(16)代表速度、位移、角度和角速率反饋信號(hào)的噪聲幅值分別不超過0.01 m/s、0.01 m、0.01° 和 1.75×10-4rad/s.

根據(jù)式(11)～(16)，用于控制律設(shè)計(jì)的LPV模型可表達(dá)為

(17)

式中：xL為狀態(tài)變量，包括式(11)～(13)的狀態(tài)變量；d為廣義輸入，包括控制指令和測(cè)量噪聲；e為廣義誤差，由式(13)的輸出信號(hào)給定；y為輸出信號(hào)，由控制指令和反饋信號(hào)給定.對(duì)于式(17)中的線性系統(tǒng)，A為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，B1為廣義輸入的輸入矩陣，B2為控制輸入的輸入矩陣，C1為廣義誤差的輸出矩陣，C2為輸出信號(hào)的輸出矩陣，D11為從廣義輸入到廣義誤差的前饋矩陣，D12為從控制輸入到廣義誤差的前饋矩陣，D21為從廣義輸入到輸出信號(hào)的前饋矩陣.

控制律在馬赫數(shù)包線內(nèi)進(jìn)行設(shè)計(jì)，所采用的馬赫數(shù)包線為4≤Ma≤6.為保證LMI的約束條件為有限維，采用如下的包線離散網(wǎng)格進(jìn)行控制律參數(shù)求解：

P=

{4, 4.25, 4.5, 4.75, 5, 5.25, 5.5, 5.75, 6}

(18)

LPV控制器參數(shù)通過求解如下的LMI進(jìn)行確定[18]，即

(19)

(20)

式(19)中的LMI使閉環(huán)系統(tǒng)具有D-穩(wěn)定性[18-19]，并且保證閉環(huán)系統(tǒng)滿足如下的L2誘導(dǎo)范數(shù)性能，即輸入-輸出L2穩(wěn)定性:

(21)

LPV控制律可表達(dá)為

(22)

控制律的參數(shù)可通過下式計(jì)算：

(23)

式中：矩陣N為中間變量.式(23)的具體推導(dǎo)過程參見文獻(xiàn)[18].式(19)中的待求矩陣采用如下的參數(shù)化格式，即

(24)

式中：0, 1, 2代表階次；ρ定義為ρ=(Ma-4)/2.矩陣R(ρ)表達(dá)為馬赫數(shù)的二次方程形式，使控制律能夠?qū)Ω叱曀亠w行器在不同飛行速度下的運(yùn)動(dòng)特性非線性變化進(jìn)行有效控制.其余待求矩陣均設(shè)為常數(shù)矩陣，降低控制律求解和實(shí)現(xiàn)所需計(jì)算量.

3 仿真結(jié)果

基于高超聲速飛行器平板地球假設(shè)下的運(yùn)動(dòng)方程，分析飛行器開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.采用ECEF參考系下的高超聲速飛行器運(yùn)動(dòng)方程，通過豎直面機(jī)動(dòng)和水平面機(jī)動(dòng)的數(shù)值仿真，檢驗(yàn)一體化式LPV控制律的控制性能和魯棒性.

3.1 穩(wěn)定性分析

根據(jù)平板地球假設(shè)下的運(yùn)動(dòng)方程，高超聲速飛行器在馬赫數(shù)包線4≤Ma≤6中的極點(diǎn)分布如圖4所示.圖中：zb為飛行器的極點(diǎn)；ωn和ξ分別為飛行器極點(diǎn)的自然頻率和阻尼比.由圖可見，飛行器是開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，不穩(wěn)定極點(diǎn)的最高自然頻率接近于10 rad/s，說明該飛行器的開環(huán)不穩(wěn)定性較高，而本文設(shè)計(jì)的一體化式LPV控制律能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，并且所有極點(diǎn)在復(fù)平面上均分布在阻尼比大于0.5、自然頻率小于30 rad/s的扇形區(qū)域內(nèi)，實(shí)現(xiàn)式(19)給定的閉環(huán)系統(tǒng)D-穩(wěn)定性要求.同時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的大多數(shù)極點(diǎn)的阻尼比大于0.7，說明一體化式LPV控制律能夠?yàn)楦叱曀亠w行器閉環(huán)系統(tǒng)提供良好的阻尼特性.

圖4 高超聲速飛行器開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)分布Fig.4 Open-loop and closed-loop poles of a hypersonic vehicle

3.2 躍升加速機(jī)動(dòng)

采用ECEF參考系下的高超聲速飛行器運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值仿真，使飛行器在豎直面內(nèi)進(jìn)行高度躍升和水平加速機(jī)動(dòng)，檢驗(yàn)基于飛行器簡(jiǎn)化模型設(shè)計(jì)的LPV控制律在地球自轉(zhuǎn)、地球扁率、地球引力二階簡(jiǎn)諧效應(yīng)等擾動(dòng)下的控制性能.仿真中，在反饋信號(hào)中增加測(cè)量噪聲，檢驗(yàn)該控制律相對(duì)于噪聲的魯棒性.速度、位移、角度和角速率反饋信號(hào)的噪聲幅值分別設(shè)置為0.005 m/s、0.005 m、0.005°和8.726×10-5rad/s.

如圖5所示，一體化式LPV控制律能夠使高超聲速飛行器跟蹤給定的高度和速度指令，機(jī)動(dòng)過程中側(cè)滑角和偏航角沒有出現(xiàn)明顯的控制誤差.同時(shí)，測(cè)量噪聲對(duì)飛行器閉環(huán)系統(tǒng)控制性能的影響很小，沒有出現(xiàn)控制性能惡化的現(xiàn)象.圖中：t為時(shí)間.從圖6和圖7所示的高超聲速飛行器在ECEF參考系下的狀態(tài)變量響應(yīng)可以看出，高超聲速飛行器具有閉環(huán)穩(wěn)定性，說明該控制律在地球自轉(zhuǎn)、地球扁率、地球引力二階簡(jiǎn)諧效應(yīng)等擾動(dòng)和測(cè)量噪聲的影響下仍具有良好的控制性能和魯棒性.

圖5 控制指令與系統(tǒng)響應(yīng)(躍升加速機(jī)動(dòng))Fig.5 Control commands and system responses (ascent-acceleration maneuver)

圖6 ECEF參考系下高超聲速飛行器運(yùn)動(dòng)方程的狀態(tài)響應(yīng)(躍升加速機(jī)動(dòng))Fig.6 State responses of hypersonic vehicle equations of motion in ECEF reference frame (ascent-acceleration maneuver)

圖7 ECEF參考系下高超聲速飛行器的姿態(tài)四元數(shù)響應(yīng)(躍升加速機(jī)動(dòng))Fig.7 Quaternion responses of hypersonic vehicle equations of motion in ECEF reference frame (ascent-acceleration maneuver)

從圖8所示的控制輸入可以看出，在標(biāo)稱條件下高超聲速飛行器完成躍升加速機(jī)動(dòng)所需的控制輸入量較小.但在測(cè)量噪聲的影響下，LPV控制律輸出的控制輸入中包含較為明顯的噪聲，不利于實(shí)際應(yīng)用.為消除該噪聲影響，在LPV控制律的反饋信號(hào)中增加二階低通濾波器：

(25)

式中：濾波器自然頻率ωf=40 rad/s；阻尼比ξf=1.

圖8 控制輸入(躍升加速機(jī)動(dòng))Fig.8 Control inputs (ascent-acceleration maneuver)

從圖5～7的仿真曲線中可以看出，對(duì)反饋信號(hào)進(jìn)行濾波后，高超聲速飛行器閉環(huán)系統(tǒng)在測(cè)量噪聲的影響下仍然具有良好的響應(yīng)特性，并且LPV控制律生成的控制輸入得到明顯的降噪和平滑化.

3.3 水平轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)

采用ECEF參考系下的高超聲速飛行器運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值仿真，使飛行器在水平面內(nèi)進(jìn)行水平轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng).仿真中，在反饋信號(hào)中增加測(cè)量噪聲，噪聲幅值設(shè)置與3.2節(jié)相同.

從圖9可以看出，一體化式LPV控制律能夠使高超聲速飛行器跟蹤給定的偏航角指令，使飛行器完成45°的水平轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)，機(jī)動(dòng)過程中側(cè)滑角的控制誤差小于0.2°，說明飛行器實(shí)現(xiàn)了協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎控制性能.同時(shí)，測(cè)量噪聲對(duì)飛行器閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能影響很小，沒有出現(xiàn)控制性能惡化的現(xiàn)象.

圖9 控制指令與系統(tǒng)響應(yīng)(水平轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng))Fig.9 Control commands and system responses (level turn maneuver)

從圖10和圖11所示的高超聲速飛行器在ECEF參考系下狀態(tài)變量響應(yīng)可以看出，高超聲速飛行器具有閉環(huán)穩(wěn)定性，說明該控制律在地球自轉(zhuǎn)、地球扁率、地球引力二階簡(jiǎn)諧效應(yīng)等擾動(dòng)和測(cè)量噪聲的影響下仍具有良好的控制性能和魯棒性.從圖12所示的控制輸入可以看出， 高超聲速飛行器完成水平轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)所需的控制輸入量較小.

圖10 ECEF參考系下高超聲速飛行器運(yùn)動(dòng)方程的狀態(tài)響應(yīng)(水平轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng))Fig.10 State responses of hypersonic vehicle equations of motion in ECEF reference frame (level turn maneuver)

圖11 ECEF參考系下高超聲速飛行器的姿態(tài)四元數(shù)響應(yīng)(水平轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng))Fig.11 Quaternion responses of hypersonic vehicle equations of motion in ECEF reference frame (level turn maneuver)

圖12 控制輸入(水平轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng))Fig.12 Control inputs (level turn maneuver)

從圖9～12中的仿真曲線可知，在應(yīng)用式(25)中的二階低通濾波器對(duì)反饋信號(hào)進(jìn)行濾波后，測(cè)量噪聲對(duì)控制輸入的影響得到明顯的抑制，同時(shí)LPV控制律仍能夠保持良好的控制性能.

4 結(jié)論

針對(duì)高超聲速飛行器三維航跡控制問題，基于高度-水平航跡控制概念，設(shè)計(jì)了一體化式LPV控制律.該控制律不區(qū)分常規(guī)飛行控制的內(nèi)外控制回路，在L2誘導(dǎo)范數(shù)意義下具有良好的控制精度和魯棒性，具體結(jié)論如下：

(1) 高度-水平航跡控制概念基于笛卡爾參考系基向量相互正交的性質(zhì)，將三維航跡控制問題轉(zhuǎn)化為水平面和豎直面航跡控制問題，等價(jià)的控制指令為速度、側(cè)滑角、高度和偏航角.

(2) 一體化式LPV控制律在馬赫數(shù)包線內(nèi)進(jìn)行設(shè)計(jì)，在4≤Ma≤6包線內(nèi)使高超聲速飛行器閉環(huán)系統(tǒng)具有L2誘導(dǎo)范數(shù)控制性能，在保證控制指令跟蹤精度的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)相對(duì)于噪聲的魯棒性.

(3) 基于極點(diǎn)配置和LMI方法設(shè)計(jì)的一體化式LPV控制律使高超聲速飛行器閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)具有阻尼比不低于0.5、自然頻率不高于30 rad/s的性能.

(4) 采用ECEF參考系下建立的高超聲速飛行器運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值仿真，一體化式LPV控制律能夠在地球自轉(zhuǎn)、地球扁率、地球引力二階簡(jiǎn)諧效應(yīng)等擾動(dòng)下保持良好的控制性能，并且相對(duì)于反饋信號(hào)中的測(cè)量噪聲具有良好的魯棒性.