安徽 王中學 范 忠

2022年全國乙卷數(shù)學理科第20題是一道圓錐曲線中的直線過定點問題，并且與向量相結(jié)合，考查了橢圓的基本性質(zhì)，也考查了分析問題、解決問題的能力，尤其是運算求解能力.本文對第(2)問進行了解法上的探討，并對其進行拓展給出了一般性的結(jié)論.

一、原題呈現(xiàn)

(1)求E的方程；

二、解法探究

(2)證法1：由題意可設(shè)直線MN的方程為x-1=m(y+2),

(4m2+3)y2+(16m2+8m)y+16m2+16m-8=0.

又Δ=(16m2+8m)2-4(4m2+3)(16m2+16m-8)>0，

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，

所以點H(3y1-x1+6,y1).

所以過定點(0,-2).

綜上，直線HN過定點(0,-2).

又x1y2+x2y1+2(x1+x2)-6y2-12-3y1y2-6y1

=(2m-3)y1y2+(4m-5)(y1+y2)+8m-8

=0,

即點Q在直線AB上，所以點Q=T.

綜上，直線HN過定點(0,-2).

證法3(坐標平移變換)：設(shè)原方程坐標為(x′,y′)，新坐標為(x,y)，

由題意可設(shè)直線MN：x=my+1，

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，

若過點P的直線MN的方程為y=-4x+4時，

即點Q在直線AB上，所以點Q=T.

綜上，直線HN過定點(0,-2).

三、問題探究

證明：由題意可設(shè)直線MN：y-(a-c)=k(x-a),

化簡得，2ab2k(a-c)-b2(a-c)2+b4>0，

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，

設(shè)MH的中點為Q，

即點Q在直線AB上，所以點Q與T重合.

綜上，直線HN過定點(a,0).

通過問題的探究，我們可以得到以下結(jié)論.

由于橢圓與雙曲線有很多相似的性質(zhì)，于是考慮雙曲線是否也具有相似的結(jié)論呢？經(jīng)計算，得到結(jié)論2.

經(jīng)計算，拋物線也具有這類性質(zhì)，于是得到結(jié)論3.

四、小結(jié)

馬波教授在《中學數(shù)學解題研究》中提到：開展解題研究，選擇適當?shù)膯栴}，從解題的某一個側(cè)面加以總結(jié)、概括、提升，尤其是審題和反思這兩個環(huán)節(jié)，這直接關(guān)系到解題的水平和能力.解題后的反思不僅是簡單的回顧和檢驗，而應仔細分析問題的結(jié)構(gòu)特點，總結(jié)、厘清、概括思路，進而提出新的問題并加以解決.通過對條件和結(jié)論的再認識，變換角度，進行類比或歸納，形成知識的正遷移.