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        一道含有全稱量詞、存在量詞的函數(shù)題易錯(cuò)分析

        2022-11-30 10:19:04江蘇張啟兆劉曉潔
        關(guān)鍵詞:全稱值域易錯(cuò)

        江蘇 張啟兆 劉曉潔

        函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一條主線,對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)有著重要的意義,每年高考卷都將其作為必考題.含有全稱量詞與存在量詞的不等式成立問題,也是高考的高頻考點(diǎn),考生在遇到這一部分的試題時(shí)常常出現(xiàn)錯(cuò)誤.對(duì)此本文以2022年蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研(一)數(shù)學(xué)第12題為例,對(duì)含有全稱量詞與存在量詞的函數(shù)題中,因不理解全稱量詞與存在量詞的含義及不會(huì)等價(jià)轉(zhuǎn)化致誤的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行剖析,并提出了相應(yīng)的解題策略.

        一、試題呈現(xiàn)

        【答案】AB

        【解題思路】

        等價(jià)于函數(shù)f(x)在(0,+∞)上沒有最小值,

        【易錯(cuò):?jiǎn)栴}的等價(jià)轉(zhuǎn)化】

        【易錯(cuò):不會(huì)將f′(x)轉(zhuǎn)化成適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式乘積的形式】

        (1)當(dāng)a≤0時(shí),當(dāng)00,當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

        則當(dāng)x=1時(shí),f(x)max=f(1)=ea-1,f(x)的值域?yàn)?-∞,ea-1],f(x)在(0,+∞)內(nèi)無最小值,因此,a≤0符合題意;

        【易錯(cuò):忽視對(duì)參數(shù)a的分類討論】

        如圖,在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出直線y=a與函數(shù)y=g(x)的大致圖象.

        當(dāng)0x2時(shí),f′(x)>0,

        即函數(shù)f(x)在(0,x1),(1,x2)上單調(diào)遞減,在(x1,1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增,

        函數(shù)f(x)在x=x1與x=x2處都取得極小值,f(x)min=min{f(x1),f(x2)},不符合題意;

        【易錯(cuò):不會(huì)虛設(shè)零點(diǎn)x1,x2】

        即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)min=f(1)=ea-1,不符合題意.

        綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0],

        所以滿足條件的實(shí)數(shù)a的可能值有-1,0,故選AB.

        【易錯(cuò)提醒】含有全稱量詞、存在量詞的同一函數(shù)的不等式成立問題,關(guān)鍵是將含有全稱量詞和存在量詞的條件“等價(jià)轉(zhuǎn)換”:

        形如“對(duì)?x1∈A,都?x2∈A,總有f(x1)

        形如“對(duì)?x1∈A,都?x2∈A,總有f(x1)>f(x2)成立”等價(jià)于“函數(shù)f(x)在A上沒有最小值.

        問題等價(jià)于函數(shù)g(t)=at-lnt(t≥e)在[e,+∞)上無最小值.

        ①當(dāng)a≤0時(shí),g(t)在[e,+∞)上單調(diào)遞減,當(dāng)t→+∞時(shí),g(t)→-∞,符合題意;

        g(t)有最小值,不符合題意,舍去.

        綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0],

        所以滿足條件的實(shí)數(shù)a的可能值有-1,0,故選AB.

        因?yàn)?s∈(0,+∞),總?t∈(0,+∞),使得f(t)

        ①當(dāng)a=-1時(shí),h′(t)<0,h(t)在[e,+∞)上單調(diào)遞減,無最小值,A正確;

        ②當(dāng)a=0時(shí),h′(t)<0,h(t)在[e,+∞)上單調(diào)遞減,無最小值,B正確;

        ④當(dāng)a=1時(shí),h′(t)>0,h(t)在[e,+∞)上單調(diào)遞增,h(t)有最小值h(e),D錯(cuò)誤.

        解法4(檢驗(yàn)法):考慮到本題是多選題中的壓軸題,對(duì)于大部分學(xué)生來說,看到本題怎樣快速搶2分,優(yōu)秀學(xué)生如何快速得5分,可以使用代入檢驗(yàn)法.

        (易錯(cuò):解題方法不靈活,不會(huì)用檢驗(yàn)法)

        因?yàn)榍蟮氖莂的取值范圍,而給出的4個(gè)選項(xiàng)是具體的數(shù)值,從選擇值的判斷來說,優(yōu)先選擇B,畫出函數(shù)f(x)=-x+lnx的大致圖象(如圖1),發(fā)現(xiàn)它不存在最小值,符合題意.

        圖1 圖2

        二、易錯(cuò)數(shù)據(jù)

        以一個(gè)班級(jí)為樣本的易錯(cuò)數(shù)據(jù)分析:

        易錯(cuò)數(shù)據(jù)分析表易錯(cuò)點(diǎn)名稱不理解全稱量詞與存在量詞的含義及不會(huì)等價(jià)轉(zhuǎn)化致誤題源名稱2022學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研(一)數(shù)學(xué)第12題班級(jí)總?cè)藬?shù)48該題平均得分1.51得分情況5分(滿分)2分(部分選對(duì))0分人數(shù)62121

        三、易錯(cuò)分析

        該題是多選題的壓軸題,難度較大,從考試結(jié)果來看,得分率也極低(平均分1.51).本題以指、對(duì)數(shù)函數(shù)為載體,綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,以及含有全稱量詞、存在量詞的不等式成立問題的轉(zhuǎn)化策略,題干簡(jiǎn)約,背景新穎,對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有較高的要求.許多同學(xué)一見到此題,就感到信心不足,函數(shù)解析式中既有指數(shù)函數(shù)又有對(duì)數(shù)函數(shù),有兩個(gè)參數(shù),還有全稱量詞、存在量詞,做題過程中極易出錯(cuò).筆者分析主要會(huì)在以下四個(gè)方面存在問題:

        (1)不理解全稱量詞與存在量詞的含義,“若對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)s,總存在實(shí)數(shù)t使得f(t)

        (2)審題時(shí)沒有注意到本題中只有一個(gè)函數(shù),而誤以為是兩個(gè)不同的函數(shù),套用結(jié)論“已知函數(shù)y=f(x),x∈[a,b],y=g(x),x∈[c,d].若?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],有f(x1)

        (4)不會(huì)利用分類討論、數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題.

        四、易錯(cuò)練習(xí)

        【解題思路】對(duì)于定義域內(nèi)任意x1,總存在x2,使得f(x2)

        所以函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)無最小值,

        【分析】根據(jù)給定定義可得函數(shù)h(x2)在[0,2]上的值域包含函數(shù)y=2a-x1在[0,2]上的值域,再借助a值的唯一性即可推理計(jì)算作答.

        【評(píng)注】若?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2),則f(x)的值域是g(x)值域的子集.

        五、教學(xué)啟示

        該題重視基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵能力的考查,在數(shù)學(xué)知識(shí)層面、數(shù)學(xué)能力層面和創(chuàng)新思維層面都有所體現(xiàn),對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要啟示意義.

        1.注重過程,提升思維品質(zhì)

        重視基本知識(shí)和技能的學(xué)習(xí),注重過程,讓問題探究成為課堂的中心與主線,從而拓展知識(shí)的深度,提升思維品質(zhì),培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí),進(jìn)一步提高素養(yǎng),這是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程.布魯納曾說:“我們教一個(gè)科目,不是去建立一個(gè)有關(guān)該科目的小型圖書館,而是要學(xué)生自行思考,像一名數(shù)學(xué)家那樣去思考數(shù)學(xué),像史學(xué)家那樣去探索歷史,投入到獲得知識(shí)的過程中去.”如果教師在準(zhǔn)備高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課時(shí)能多在學(xué)習(xí)策略、思考方法和探索途徑上下功夫,用“問題串”驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維,促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí),那么高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)才會(huì)有“跳出題?!钡南MM(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的目標(biāo).

        2.轉(zhuǎn)變角色,教為主轉(zhuǎn)向?qū)W為主

        今年的高考數(shù)學(xué)試題堅(jiān)持“引導(dǎo)學(xué)校和學(xué)生減少‘死記硬背’和‘機(jī)械刷題’現(xiàn)象”,再一次啟發(fā)教師要轉(zhuǎn)變育人方式,重視學(xué)生的主體作用與合作探究,堅(jiān)決摒棄課堂教學(xué)“滿堂灌”;重視新教材中的“拓廣探索”“探究與發(fā)現(xiàn)”,引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)體系,促進(jìn)學(xué)生將知識(shí)和方法內(nèi)化為自身的知識(shí)結(jié)構(gòu);重視從以教為主轉(zhuǎn)向以學(xué)為主,要精準(zhǔn)分析學(xué)情,精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng);重視自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等多種學(xué)習(xí)方式,以達(dá)到提高復(fù)習(xí)效率、提升學(xué)生“四基”(基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))的目的.

        3.改變教學(xué)方式,重視主題教學(xué)、深度學(xué)習(xí)

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