廣東 鄭燦基

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

(1)求A到平面A1BC的距離；

(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn),AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.

本題以直三棱柱為背景，考查點(diǎn)到平面的距離、平面與平面垂直的性質(zhì)定理、空間二面角等知識(shí)，著重考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，需要具備較好的等價(jià)轉(zhuǎn)化、推理論證、圖形分析、運(yùn)算求解等能力才能很好地解決本題.

二、多維角度

(1)利用等體積法求解：

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為h，則由VA-A1BC=VA1-ABC得

(2)解法1：法向量法.

取A1B的中點(diǎn)O,連接AO,如圖，因?yàn)锳A1=AB，所以AO⊥A1B.

又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，所以AO⊥平面A1BC.

又BC?平面A1BC,所以AO⊥BC.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以AA1⊥BC.

又AO∩AA1=A，所以BC⊥平面ABB1A1.

又AB?平面ABB1A1，所以BC⊥AB1.

所以BC，BA，BB1兩兩垂直.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BB1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

所以B(0,0,0),A(0,2,0),A1(0,2,2),C(2,0,0),D(1,1,1)，

設(shè)平面ABD的法向量m=(x1,y1,z1)，

令x1=1,則y1=0,z1=-1，所以平面ABD的一個(gè)法向量為m=(1,0,-1).

設(shè)平面BDC的法向量n=(x2,y2,z2)，

令y2=1,則x2=0,z2=-1，所以平面ABD的一個(gè)法向量為n=(0,1,-1)，

小結(jié)：向量法是求解平面與平面所成角的有力工具.求平面與平面所成角的一般思路：①建系設(shè)點(diǎn)：建立合理恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);②求相關(guān)向量：求出兩個(gè)平面的一個(gè)法向量;③求向量的夾角：利用向量的數(shù)量積求出兩個(gè)法向量的夾角;④轉(zhuǎn)化：將向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為二面角的余弦值.

解法2：三垂線法.

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，則四邊形ABB1A1是正方形，

連接AB1，則A1B⊥AB1.設(shè)A1B∩AB1=O，

因?yàn)槠矫鍭1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,AO⊥A1B,AO?平面ABB1A1，所以AO⊥平面A1BC.又BC?平面A1BC，所以AO⊥BC.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以AA1⊥BC.又AO∩AA1=A，所以BC⊥平面ABB1A1.又AB?平面ABB1A1,所以BC⊥AB.

過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BD于點(diǎn)E,連接AE.

因?yàn)锳O⊥平面A1BC,所以AO⊥BD.又OE∩AO=O,所以∠AEO是二面角A-BD-C的補(bǔ)角的平面角.

小結(jié)：利用三垂線定理及逆定理作出二面角的平面角，是傳統(tǒng)幾何法中解決二面角問(wèn)題的重要方法之一.如圖，在二面角α-l-β中，過(guò)平面α內(nèi)一點(diǎn)A作AO⊥平面β，垂足為O，過(guò)點(diǎn)O作OB⊥l于點(diǎn)B(過(guò)A點(diǎn)作AB⊥l于點(diǎn)B)，連接AB(或OB)，由三垂線定理(或逆定理)知AB⊥l(或OB⊥l)，則∠ABO為二面角α-l-β的平面角.我們要特別注意：①在作圖過(guò)程中，我們作出了兩條垂線AO與OB(或AB)，后連接AB兩點(diǎn)(或OB兩點(diǎn))，這一過(guò)程可簡(jiǎn)記為“兩垂一連”，其中AO為“第一垂線.”②“第一垂線”能否順利找到或恰當(dāng)作出是利用三垂線法作二面角的平面角的關(guān)鍵.例如在本題中，AO⊥平面A1BC,A∈A1BC,所以AO是第一垂線，我們只需要過(guò)O作OE⊥BD(或過(guò)A點(diǎn)作AE⊥BD)于點(diǎn)E，連接AE(連接OE)，則∠AEO為二面角A-BD-A1的平面角即二面角A-BD-C的補(bǔ)角的平面角.

解法3：射影面積法.

不難看出，以上三種解法都注重對(duì)邏輯推理的考查，其中線線、線面和面面位置關(guān)系的判斷、證明以及深度挖掘，是這三種解法不可或缺的環(huán)節(jié).如果離開(kāi)了推理論證，解題思路就會(huì)受阻，難以繼續(xù).

三、問(wèn)題引申

1.求解三棱錐的體積常見(jiàn)的技巧策略

(1)當(dāng)錐體的頂點(diǎn)到底面的距離不好求解，常常考慮頂點(diǎn)的平移：

①點(diǎn)在平面的平行線上平移

如圖所示，若直線l∥平面α，則直線l上所有點(diǎn)到平面α的距離均相等.

例如：如圖，當(dāng)AE∥CF,則AE∥平面BCF，則VE-BCF=VA-BCF.

②點(diǎn)在與平面相交的直線上平移

如圖所示，若直線AB與平面α交于點(diǎn)O，則點(diǎn)A,B到平面α的距離之比為OA∶OB.特別地，當(dāng)O為AB中點(diǎn)時(shí)，則A，B到平面α的距離相等.

(2)求三棱錐的體積常利用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化.當(dāng)三棱錐的底面和高比較難求時(shí)，常常轉(zhuǎn)化為新的頂點(diǎn)到換得的底面的距離，容易通過(guò)題設(shè)條件進(jìn)行求解.解題過(guò)程中常常靈活運(yùn)用上面的方法技巧多次等價(jià)轉(zhuǎn)化.

例如：如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1D⊥底面ABC,AD=DC，側(cè)面AA1C1C為邊長(zhǎng)為2的菱形，AC⊥CB,BC=1,求三棱錐B-A1B1C的體積.

我們可考慮這樣轉(zhuǎn)化：VB-A1B1C=VA1-BB1C=VA-BB1C=VB1-ABC=VA1-ABC.其方法是不唯一的.

又例如：(2012·遼寧文·18節(jié)選)如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA′=1,點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)，求三棱錐A′-MNC的體積.

(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理求點(diǎn)到平面的距離

面面垂直的性質(zhì)定理是尋求點(diǎn)到平面的射影的重要方法，因此也是求解點(diǎn)到平面的距離的重要途徑.這一點(diǎn)在高中數(shù)學(xué)課堂中不夠重視，尤其是引進(jìn)向量法后學(xué)生傾向于利用向量法求解點(diǎn)到平面的距離，利用面面垂直的性質(zhì)定理來(lái)思考和解決問(wèn)題反而被忽略了.我們來(lái)看以下例子：

(1)求證：AB⊥PC;

(2)求P到平面ABC的距離.

2.利用三垂線定理求二面角的平面角的技巧策略

利用三垂線定理求二面角的平面角，要遵循“作-證-求”的步驟，要善于利用圖中已有的“第一垂線”，要敢于利用已知條件和相關(guān)性質(zhì)定理作出“第一垂線”.下面以一道模擬試題為例進(jìn)行說(shuō)明：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD.

(1)求證：平面PAC⊥平面PBD.

(2)若PA=AB=2,∠BAD=60°,求二面角A-PB-D的余弦值.

第(1)問(wèn)的證明不贅述.對(duì)于第(2)問(wèn)，如何用三垂線法作出二面角A-PB-D的平面角呢？

思路1：如果我們利用第(1)問(wèn)的結(jié)論，平面PAC⊥平面PBD，可以考慮過(guò)平面PAC內(nèi)的點(diǎn)A作平面PBD的垂線.先尋找平面PAC與平面PBD的交線.

設(shè)AD∩BC=O，連接PO，則OP為平面PAC與平面PBD的交線.這樣我們過(guò)點(diǎn)A作AM⊥OP于點(diǎn)M，由面面垂直的性質(zhì)定理可知AM⊥平面PBD.于是AM是第一垂線，過(guò)點(diǎn)M作直線MN垂直P(pán)B于點(diǎn)N，連接AN，則∠ANM就是二面角A-PB-D的平面角，如圖所示.

思路2：注意到平面APB和平面PBD這兩個(gè)平面中，平面APB是“豎直”的，尋找平面APB的垂線更為容易，我們可以考慮作DO⊥AB，交AB于點(diǎn)O.由于PA⊥DO，AB∩PA=A,所以DO⊥平面PAB，所以DO是第一垂線，過(guò)O作OF⊥PB，交PB于點(diǎn)F，連接DF，則∠DFO是二面角A-PB-D的平面角，如圖所示.

可以看出，利用三垂線法求二面角的方法也是有多種，我們要分析圖形特點(diǎn)，選擇更為恰當(dāng)、有利于計(jì)算的方法，這樣可以降低計(jì)算量，達(dá)到快速解題的目的.

四、本高考題得分偏低的原因

今年高考本題的得分很低，那么問(wèn)題主要是出在哪些地方？眾所周知，立體幾何是考查直觀想象能力最主要的載體，但實(shí)際有不少學(xué)生的空間觀念薄弱，對(duì)圖中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系不能識(shí)別，教師過(guò)于強(qiáng)調(diào)利用向量坐標(biāo)法解題，都期望能借助向量坐標(biāo)法較好地回避推理論證中遇到的困難，這樣容易使學(xué)生形成習(xí)慣，而缺乏對(duì)推理論證的訓(xùn)練.例如2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷的19題，如果不經(jīng)過(guò)一系列推理論證說(shuō)明BC⊥AB,是很難利用向量建系法解題的.因此，在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)一定要先掌握好基礎(chǔ)知識(shí)，注重傳統(tǒng)方法解題和邏輯推理的訓(xùn)練.

五、備考建議

1.夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí),構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

我們要完善立體幾何中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系與度量關(guān)系，形成良好的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.例如，如圖所示，空間平行和垂直是立體幾何兩個(gè)重要的問(wèn)題，厘清它們之間的關(guān)聯(lián)，有助于加深對(duì)定理的理解，有利于在具體問(wèn)題中靈活轉(zhuǎn)化和應(yīng)用.向量法也是如此，向量法并不是幾個(gè)向量公式的套用.坐標(biāo)系的建立,證明方法及計(jì)算公式的選擇,都是以幾何定義、定理為理論依據(jù).只有夯實(shí)理論基礎(chǔ)，明晰概念、定理和基本方法，才能實(shí)現(xiàn)在更高層次上能力與技能的提升.

2.注重推理訓(xùn)練，重視用傳統(tǒng)方法解答立體幾何解答題