鐘佩思 張振宇 劉 梅 梁中源 張 超 劉金銘

（①山東科技大學(xué)先進(jìn)制造技術(shù)研究中心，山東 青島 266590；②山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，山東 青島 266590）

協(xié)作工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行協(xié)同作業(yè)的前提是工業(yè)機(jī)器人之間建立基坐標(biāo)聯(lián)系，由于工業(yè)機(jī)器人在建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型時(shí)，基坐標(biāo)系會(huì)建立在工業(yè)機(jī)器人內(nèi)部[1]，造成工業(yè)機(jī)器人之間基坐標(biāo)無(wú)法直接測(cè)量。準(zhǔn)確獲得多臺(tái)工業(yè)機(jī)器人之間的聯(lián)系，也就是獲得多臺(tái)工業(yè)機(jī)器人之間位姿變換矩陣將有利于工業(yè)機(jī)器人之間開(kāi)展碰撞檢測(cè)、軌跡規(guī)劃和協(xié)同作業(yè)等。

現(xiàn)有工業(yè)機(jī)器人基坐標(biāo)標(biāo)定方法可分為借助精密儀器與不借助精密儀器兩種方式。不借助精密儀器主要有“三點(diǎn)定圓”、“投影標(biāo)定”和“三點(diǎn)握手”等方法[2-5]。不借助精密儀器，無(wú)論是“三點(diǎn)定圓”還是“投影標(biāo)定”和“三點(diǎn)握手”基坐標(biāo)系標(biāo)定方法，需要協(xié)作工業(yè)機(jī)器人末端執(zhí)行器接觸或有公共的工作空間，針對(duì)遠(yuǎn)距離下工作空間不重合及不同類(lèi)型工業(yè)機(jī)器人之間的標(biāo)定均無(wú)法完成標(biāo)定。借助精密儀器是指借助CDD相機(jī)、激光追蹤儀和自動(dòng)經(jīng)緯儀等精密儀器完成基坐標(biāo)標(biāo)定[6-8]。由于借助精密儀器進(jìn)行標(biāo)定過(guò)程復(fù)雜且成本過(guò)高，如使用CDD相機(jī)標(biāo)定需先標(biāo)定CDD相機(jī)然后通過(guò)CDD相機(jī)獲得圖像參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，而激光追蹤儀和自動(dòng)經(jīng)緯儀價(jià)格昂貴不利于實(shí)際生產(chǎn)，且借助精密儀器在遠(yuǎn)距離下標(biāo)定協(xié)作工業(yè)機(jī)器人表的標(biāo)定誤差大。針對(duì)上述存在的協(xié)作工業(yè)機(jī)器人基坐標(biāo)標(biāo)定問(wèn)題，提出了空間多面體異點(diǎn)投影標(biāo)定的方法，借助設(shè)計(jì)的標(biāo)定臺(tái)，分別獲取主從工業(yè)機(jī)器人在空間中不同標(biāo)定點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度信息，將標(biāo)定點(diǎn)與基坐標(biāo)系原點(diǎn)在空間中構(gòu)建多空間面體，并將空間多面體向主工業(yè)機(jī)器人所在的X-Y、X-Z和Y-Z面進(jìn)行投影，通過(guò)不同面的投影信息，從而獲得主從工業(yè)機(jī)器人之間的位姿變換矩陣，實(shí)現(xiàn)了不同類(lèi)型機(jī)器人之間在末端執(zhí)行器在沒(méi)有公共工作空間下快速、低成本和低誤差的基坐標(biāo)標(biāo)定。

1 空間多面體異點(diǎn)投影基坐標(biāo)標(biāo)定臺(tái)

1.1 標(biāo)定臺(tái)結(jié)構(gòu)

為實(shí)現(xiàn)工業(yè)機(jī)器人能夠在非重合的工作空間中實(shí)現(xiàn)基坐標(biāo)標(biāo)定，設(shè)計(jì)了能夠滿(mǎn)足標(biāo)定方法的標(biāo)定臺(tái)，如圖1所示，標(biāo)定臺(tái)主要由支撐臺(tái)、滑動(dòng)臺(tái)、測(cè)量桿和滑動(dòng)臺(tái)導(dǎo)軌組成，支撐臺(tái)設(shè)計(jì)為可升降結(jié)構(gòu)以滿(mǎn)足在不同支撐狀態(tài)下保證卡尺的穩(wěn)定性，滑動(dòng)臺(tái)搭載激光測(cè)距儀和角度傳感器，激光測(cè)距儀測(cè)量滑動(dòng)臺(tái)在滑動(dòng)臺(tái)導(dǎo)軌上的移動(dòng)距離，角度傳感器測(cè)量測(cè)量桿的偏移角度，測(cè)量桿搭載位移傳感器以精確測(cè)量在伸縮桿帶動(dòng)下滑動(dòng)臺(tái)標(biāo)定杯與測(cè)量桿標(biāo)定杯之間距離，標(biāo)定杯設(shè)計(jì)為錐形底結(jié)構(gòu)結(jié)合工業(yè)機(jī)器人末端執(zhí)行器搭載的標(biāo)定針以滿(mǎn)足高精度標(biāo)定。

圖1 標(biāo)定臺(tái)結(jié)構(gòu)

1.2 標(biāo)定過(guò)程

標(biāo)定流程如圖2所示，標(biāo)定過(guò)程如圖3所示。標(biāo)定使用6R機(jī)器人和SCARA機(jī)器人，這兩款工業(yè)機(jī)器人代表了實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中最具代表性的兩款工業(yè)機(jī)器人。

圖2 標(biāo)定流程圖

圖3 標(biāo)定過(guò)程

首先固定標(biāo)定臺(tái)底座，使得測(cè)量桿的標(biāo)定杯能夠在移動(dòng)范圍接觸標(biāo)定的兩臺(tái)工業(yè)機(jī)器人，調(diào)整測(cè)量桿旋轉(zhuǎn)角度為零且與滑動(dòng)臺(tái)導(dǎo)軌重合。主工業(yè)機(jī)器人的標(biāo)定針接觸測(cè)量桿標(biāo)定杯，記該點(diǎn)為P1點(diǎn)并記錄該點(diǎn)下機(jī)器人各關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度值，接觸滑動(dòng)臺(tái)標(biāo)定杯，記該點(diǎn)為P2點(diǎn)并記錄該點(diǎn)下機(jī)器人各關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度值。移動(dòng)滑動(dòng)臺(tái)及測(cè)量桿，使得測(cè)量桿標(biāo)定臺(tái)接觸從工業(yè)機(jī)器人，用滑動(dòng)臺(tái)固定銷(xiāo)固定滑動(dòng)臺(tái)并記錄滑動(dòng)距離E，從工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定針接觸測(cè)量桿標(biāo)定杯，記該點(diǎn)為R2點(diǎn)并記錄該點(diǎn)下測(cè)量桿旋轉(zhuǎn)角度 θ1、長(zhǎng)度L1和機(jī)器人關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度值，旋轉(zhuǎn)測(cè)量桿一定角度，從工業(yè)機(jī)器人接觸測(cè)量桿標(biāo)定臺(tái)，記該點(diǎn)為R2點(diǎn)并記錄該點(diǎn)下測(cè)量桿旋轉(zhuǎn)角度 θ1、長(zhǎng)度L2和機(jī)器人關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度值，數(shù)據(jù)采集完成。

2 空間多面體異點(diǎn)投影標(biāo)定模型

2.1 位姿變換矩陣

工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定主要是通過(guò)矩陣變換獲得兩個(gè)機(jī)器人之間的位置關(guān)系[9]。

用D-H方法對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模獲得基坐標(biāo)與末端點(diǎn)之間的關(guān)系，兩臺(tái)工業(yè)機(jī)器人之間的相對(duì)位置關(guān)系，相對(duì)位置關(guān)系可表示為

式中：O1QO2為機(jī)器人之間位姿矩陣；O1為主工業(yè)機(jī)器人的基坐標(biāo)系；O2為從工業(yè)機(jī)器人的基坐標(biāo)系。

位姿變換矩陣可以表示為

式中：O1RO2為旋轉(zhuǎn)向量；O1PO2為平移向量，旋轉(zhuǎn)向量和平移向量為所求參數(shù)。

2.2 構(gòu)建空間多面體

根據(jù)上述標(biāo)定臺(tái)標(biāo)定獲得標(biāo)定點(diǎn)位置及工業(yè)機(jī)器人的基坐標(biāo)位置可以得到如圖4所示的空間多面體。

圖4 空間多面體

2.3 簡(jiǎn)化末端點(diǎn)與基坐標(biāo)關(guān)系

將工業(yè)機(jī)器人末端點(diǎn)相對(duì)于各自基坐標(biāo)系的位姿關(guān)系由RPY角度值和位置關(guān)系表示。

利用工業(yè)機(jī)器人末端位姿中的n、o、a向量求解繞X-Y-Z軸的RPY轉(zhuǎn)角 α ,β,γ，則RPY角度值與n、o、a向量的關(guān)系為

利用式（3）的3個(gè)未知數(shù)、9個(gè)求解方程，求解方程為

2.4 空間多面體投影

依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)求解末端點(diǎn)與基坐標(biāo)之間位置關(guān)系及RPY角度關(guān)系，將空間多面體分別向工業(yè)機(jī)器人1的X-Y面、X-Z面和Y-Z面投影，如圖5所示。

圖5 空間多面體投影

對(duì)測(cè)量桿投影長(zhǎng)度求解，如圖6所示求解圖。

圖6 測(cè)量桿投影長(zhǎng)度求解圖

因?yàn)镋在P1P2的延長(zhǎng)線上，且R1EP1P2共面，則R1向P1P2投影，投影點(diǎn)為S1-1，測(cè)量桿的偏轉(zhuǎn)角度為 θ1，則可得

式中：L1為測(cè)量桿在R1點(diǎn)的長(zhǎng)度。

P1P2所在直線與X-Y平行面的夾角可通過(guò)P1與P2點(diǎn)的坐標(biāo)得到，可以求得S1-1向X-Y平行面投影后的D1-1點(diǎn)到E的距離

因?yàn)镽1S1-1垂直與點(diǎn)P1、P2、D1-1所在平面，且R1-1D1-1與R1S1-1平行共面則R1-1S1-1垂直與D1-1E且與R1S1-1相等。則可求得

根據(jù)式（9）與（10）求得測(cè)量桿在R1點(diǎn)的長(zhǎng)度與角度，同理可求的在R2點(diǎn)的長(zhǎng)度與角度。

2.5 投影面線長(zhǎng)角度計(jì)算

在圖7中O1-1與O2-1為2 臺(tái)工業(yè)機(jī)器人的坐標(biāo)原點(diǎn)，則Pr1-1是工業(yè)機(jī)器人1在點(diǎn)P1點(diǎn)下RPY角度中的 γ 角度，Pr2-1、Rr1-1、Rr2-1分別是工業(yè)機(jī)器人在RPY角度中的 γ角，則利用相關(guān)三角幾何關(guān)系可以求得O1與O2在X-Y面的位置與旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

圖7 X-Y 面投影

則相關(guān)線長(zhǎng)度與角度計(jì)算為

則在X-Y投影面上，根據(jù) γz、Px1、Py1可以獲得工業(yè)機(jī)器人2基坐標(biāo)系相對(duì)工業(yè)機(jī)器人1基坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)量與在X方向與Y方向的偏移量。

同理可以獲得在Y-Z面與X-Z面投影下的旋轉(zhuǎn)量與偏移量，利用參數(shù)與求解參數(shù)見(jiàn)表1所示。

表1 各投影面利用及求解參數(shù)

將表中的位置偏移參數(shù)和偏移角度代入式（2），得到工業(yè)機(jī)器人1與工業(yè)機(jī)器人2的基坐標(biāo)偏移矩陣計(jì)算公式。

3 標(biāo)定誤差分析

空間多面體異點(diǎn)投影標(biāo)定方法，根據(jù)在工業(yè)中的應(yīng)用條件，可以歸納誤差主要來(lái)源于：

（1）工業(yè)機(jī)器人自身存在的機(jī)械制造誤差

在模型計(jì)算過(guò)程中需要用到工業(yè)機(jī)器人D-H參數(shù)所采用的理論上的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，但是工業(yè)機(jī)器人在生產(chǎn)與制造的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生誤差，從而給模型帶來(lái)一定的誤差。

（2）工業(yè)機(jī)器人轉(zhuǎn)動(dòng)角度誤差

工業(yè)機(jī)器人各軸轉(zhuǎn)動(dòng)都是由電機(jī)實(shí)現(xiàn)，因此模型計(jì)算使用的各軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度是有電機(jī)編碼器給出，其精度也會(huì)對(duì)模型的計(jì)算產(chǎn)生影響。

（3）標(biāo)定臺(tái)造成的誤差

標(biāo)定臺(tái)使用激光測(cè)距儀、角度傳感器、位移傳感器用于測(cè)量測(cè)量桿移動(dòng)距離、偏轉(zhuǎn)角度與長(zhǎng)度，這些儀器的使用存在一定精度，測(cè)量的移動(dòng)距離、偏轉(zhuǎn)角度與測(cè)量桿的長(zhǎng)度將會(huì)有一定的誤差，從而造成模型計(jì)算產(chǎn)生誤差。

（4）示教誤差

在標(biāo)定過(guò)程中，工業(yè)機(jī)器人需要示教到標(biāo)定臺(tái)上的指定位置，但是人工示教會(huì)造成誤差。

由于現(xiàn)在的工業(yè)機(jī)器人的制造水平的提高，工業(yè)機(jī)器人本體的誤差可以忽略不計(jì)，且編碼器誤差也很小，使用高精度的測(cè)距儀、角度傳感器和位移傳感器將有效降低標(biāo)定臺(tái)帶來(lái)的誤差，上述誤差可以忽略不計(jì)，因此實(shí)際標(biāo)定過(guò)程中的誤差主要來(lái)源于示教誤差。

為實(shí)現(xiàn)高精度標(biāo)定，將工業(yè)機(jī)器人末端增加標(biāo)定針，標(biāo)定臺(tái)測(cè)量桿兩端安裝錐形底標(biāo)定杯，標(biāo)定針插入標(biāo)定杯的低端，可以看作點(diǎn)接觸，從而實(shí)現(xiàn)示教誤差降低。

4 空間多面體異點(diǎn)投影標(biāo)定仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 誤差模擬

仿真實(shí)驗(yàn)將利用MATLAB來(lái)搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，并通過(guò)加入高斯白噪聲來(lái)模擬實(shí)際標(biāo)定過(guò)程中產(chǎn)生的誤差，通過(guò)在原始數(shù)據(jù)加入高斯白噪聲模擬實(shí)際關(guān)節(jié)角度的誤差，肉眼可辨識(shí)的誤差最短距離以0.1~0.2 mm，因此分別以0.1、0.5為振幅的加入高斯白噪聲模擬實(shí)際誤差以驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。加入高斯白噪聲的方法為

結(jié)合加入高斯白噪生的方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

4.2 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)在MATLAB robotics中進(jìn)行，雙機(jī)器人采用實(shí)驗(yàn)室中的6R機(jī)器人和SCARA機(jī)器人。如圖8和圖9所示。

圖8 6R 機(jī)器人

圖9 SCARA 機(jī)器人

在MATLAB robotics建立雙工業(yè)機(jī)器人模型，假定相對(duì)基坐標(biāo)系是在同一世界坐標(biāo)系下，建立雙工業(yè)機(jī)器人的坐標(biāo)偏移，假設(shè)機(jī)器人R2基坐標(biāo)偏移為X方向?yàn)?，Y方向?yàn)?1，Z方向移動(dòng)1。并繞Z軸旋轉(zhuǎn)了90°，作為實(shí)驗(yàn)1，建立模型如圖10所示。

圖10 雙機(jī)器人 MATLAB 模型圖

假設(shè)機(jī)器人R2基坐標(biāo)偏移為X方向?yàn)?，Y方向?yàn)?2，Z方向移動(dòng)1。并繞Z軸旋轉(zhuǎn)了90°，作為實(shí)驗(yàn)2，以驗(yàn)證模型的可靠性。

則相對(duì)位姿轉(zhuǎn)換矩陣分別為

工業(yè)機(jī)器人1在標(biāo)定點(diǎn)P1與標(biāo)定點(diǎn)P2下的關(guān)節(jié)角度值為：

實(shí)驗(yàn)1

實(shí)驗(yàn)2

工業(yè)機(jī)器人2在標(biāo)定點(diǎn)R1與R2下的關(guān)節(jié)角度值為：

實(shí)驗(yàn)1

實(shí)驗(yàn)2

實(shí)驗(yàn)1測(cè)量桿移動(dòng)距離為-3.882 2 m，測(cè)量桿旋轉(zhuǎn)角度為： θ1=0.6826rad,θ2=0.7897rad，測(cè)量桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)1=4.000 0 m，L2=4.408 4 m。

實(shí)驗(yàn)2測(cè)量桿移動(dòng)距離為-5.909 3 m，測(cè)量桿旋轉(zhuǎn)角度為： θ1=1.1305,θ2=1.1772，測(cè)量桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)1=5.000 0 m，L2=5.555 5 m。

各關(guān)節(jié)角度值加入高斯白噪聲后的各關(guān)節(jié)角度值如表2所示。

表2 實(shí)驗(yàn)1和2加入高斯白噪聲角度值

將關(guān)節(jié)角度代入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程與RPY角度變換方程，得到的結(jié)果如表3所示。

表3 PRY角度參數(shù)與位置參數(shù)

根據(jù)上述數(shù)據(jù)處理及測(cè)得數(shù)據(jù)運(yùn)用空間多面體異點(diǎn)投影標(biāo)定模型能夠計(jì)算得到。

根據(jù)空間多面體投影標(biāo)定模型，投影到X-Y面、X-Z面、Y-Z面得到的參數(shù)如表4所示。

表4 各投影面參數(shù)

在振幅0.1與0.5的高斯白噪聲誤差下實(shí)驗(yàn)1 的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣分別為

在振幅0.1與0.5的高斯白噪聲誤差下實(shí)驗(yàn)2的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣分別為

4.3 結(jié)果驗(yàn)證

針對(duì)實(shí)驗(yàn)所的結(jié)果與實(shí)際結(jié)果分別進(jìn)行差值計(jì)算以驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確性與可靠性。

則實(shí)驗(yàn)1和2在振幅0.1與0.5的誤差如表5所示。

表5 誤差值

可以看出角度誤差在0~0.000 4 rad和最大誤差值在0.05~0.1 mm與現(xiàn)有的“手眼標(biāo)定”、“三點(diǎn)定圓”標(biāo)定的誤差在0.01 rad和0.5 mm左右相比具有較高的標(biāo)定精度，且能夠滿(mǎn)足實(shí)際工作要求。

因此所建立的空間多面體異點(diǎn)投影標(biāo)定模型滿(mǎn)足工業(yè)機(jī)器人在非接觸遠(yuǎn)距離下的基坐標(biāo)標(biāo)定，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型在不同類(lèi)型工業(yè)機(jī)器人之間的標(biāo)定，表明空間多面體投影標(biāo)定方法能夠有效解決不同類(lèi)型工業(yè)機(jī)器人基坐標(biāo)標(biāo)定問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明模型具有可行性和準(zhǔn)確性。

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出的空間多面體異點(diǎn)投影基坐標(biāo)標(biāo)定方法，能夠高精度實(shí)現(xiàn)不同類(lèi)型遠(yuǎn)距離情況的工業(yè)機(jī)器人基坐標(biāo)標(biāo)定。通過(guò)使用創(chuàng)新設(shè)計(jì)的標(biāo)定臺(tái)獲取主從工業(yè)機(jī)器人的兩個(gè)標(biāo)定點(diǎn)的位置及關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度，同時(shí)獲得滑動(dòng)臺(tái)的移動(dòng)距離與測(cè)量桿標(biāo)定從工業(yè)機(jī)器人時(shí)的長(zhǎng)度，利用測(cè)得數(shù)據(jù)在空間建立空間多面體并將多面體向工業(yè)機(jī)器人的X-Y面，X-Z面，Y-Z面分別投影，根據(jù)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型、RPY角度值及三角變換獲得位姿變換矩陣。在MATLAB中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并采用高斯白噪聲模擬實(shí)際使用過(guò)程中產(chǎn)生的誤差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明設(shè)計(jì)的標(biāo)定模型具有能夠有效滿(mǎn)足精度要求，且設(shè)計(jì)的標(biāo)定臺(tái)結(jié)構(gòu)合理能夠滿(mǎn)足實(shí)際使用要求。