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        模型動(dòng)詞:摸、拋、轉(zhuǎn)

        2022-11-29 06:31:04
        初中生世界 2022年43期

        概率是歷年中考的必考內(nèi)容??v觀中考概率題,求不確定事件發(fā)生的概率模型,可以概括為三個(gè)動(dòng)作:摸(球、簽)、拋(骰子、硬幣)、轉(zhuǎn)(轉(zhuǎn)盤(pán))。

        一次“摸、拋、轉(zhuǎn)”,公式直接求

        對(duì)于一次“摸、拋、轉(zhuǎn)”,它們發(fā)生的可能性都相等,總體來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單,只要根據(jù)概率的意義,在一次試驗(yàn)中,找準(zhǔn)兩點(diǎn)(①全部情況的總數(shù)n,②符合條件的事件A包含其中的m種結(jié)果),然后根據(jù)事件A發(fā)生的概率為,直接得出答案。

        例1如圖1,一個(gè)質(zhì)地均勻的正五邊形轉(zhuǎn)盤(pán),指針的位置固定,當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)自由轉(zhuǎn)動(dòng)停止后,觀察指針指向區(qū)域內(nèi)的數(shù)(若指針正好指向分界線,則重新轉(zhuǎn)一次),這個(gè)數(shù)是一個(gè)奇數(shù)的概率是________。

        圖1

        【解析】由圖可知,指針指向的區(qū)域有5種等可能結(jié)果,其中指向的區(qū)域內(nèi)的數(shù)是奇數(shù)的結(jié)果有3種,所以這個(gè)數(shù)是一個(gè)奇數(shù)的概率是。故答案為。

        兩次“摸、拋、轉(zhuǎn)”,列表助列舉

        例2不透明的盒中裝有三張卡片,編號(hào)分別為1、2、3。三張卡片質(zhì)地均勻,大小、形狀完全相同,搖勻后從中隨機(jī)抽取一張卡片記下編號(hào),然后放回盒中再搖勻,再?gòu)暮兄须S機(jī)取出一張卡片,則兩次所取卡片的編號(hào)之積為奇數(shù)的概率為_(kāi)_______。

        【解析】列表如下。

        1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 3 3 6 9

        由表可知共有9種等可能的結(jié)果,其中兩次所取卡片的編號(hào)之積為奇數(shù)的結(jié)果有4種,所以兩次所取卡片的編號(hào)之積為奇數(shù)的概率為。故答案為。

        例3假定按同一種方式拋兩枚均勻硬幣,如果第一枚出現(xiàn)正面朝上,第二枚出現(xiàn)反面朝上,就記為(正,反),如此類推,出現(xiàn)(正,正)的概率是( )。

        【解析】列表如下。

        正反正(正,正)(反,正)反(正,反)(反,反)

        由表知共有4種等可能的結(jié)果,其中出現(xiàn)(正,正)的結(jié)果有1種,所以出現(xiàn)(正,正)的概率為。故選D。

        轉(zhuǎn)

        例4如圖2,兩個(gè)相同的可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)A和B,轉(zhuǎn)盤(pán)A被三等分,分別標(biāo)有數(shù)字2、0、-1;轉(zhuǎn)盤(pán)B被四等分,分別標(biāo)有數(shù)字3、2、-2、-3。如果同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)A、B,轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí),兩個(gè)指針指向轉(zhuǎn)盤(pán)A、B上的對(duì)應(yīng)數(shù)字分別為x、y(當(dāng)指針指在兩個(gè)扇形的交線時(shí),需重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)),那么點(diǎn)(x,y)落在直角坐標(biāo)系第二象限的概率是 。

        圖2

        【解析】列表如下。

        A 3 2 -2-3 2(2,3)(2,2)(2,-2)(2,-3)0(0,3)(0,2)(0,-2)(0,-3)-1(-1,3)(-1,2)(-1,-2)(-1,-3)B

        由表可知,共有12種等可能的結(jié)果,其中點(diǎn)(x,y)落在直角坐標(biāo)系第二象限的結(jié)果有2種,所以點(diǎn)(x,y)落在直角坐標(biāo)系第二象限的概率是

        【點(diǎn)評(píng)】我們需要注意區(qū)分的是,“摸”的類型有兩種,有放回和無(wú)放回;“拋”“轉(zhuǎn)”的類型只有一種,第一次出現(xiàn)的,第二次還有可能出現(xiàn),相當(dāng)于“摸”類型中的有放回。

        三次“摸、拋、轉(zhuǎn)”,樹(shù)狀圖助列舉

        例5有兩部不同的電影A、B,甲、乙、丙3人分別從中選擇一部觀看。求甲、乙、丙3人選擇同一部電影的概率。

        【解析】題目里是“選”而不是“摸”,但它的意思等同于“摸”。我們變換一下說(shuō)法就是“有紅、黑2個(gè)球,甲、乙、丙3人依次從中摸出一個(gè)球記下顏色后放回。求甲、乙、丙3人摸出同一種顏色球的概率?!?/p>

        共有8種等可能的結(jié)果,其中甲、乙、丙3人選擇同一部電影的結(jié)果有2種,由此利用概率公式得P(甲、乙、丙3人選擇同一部電影)=

        【點(diǎn)評(píng)】樹(shù)狀圖法一般是先選擇一個(gè)元素,再和其他元素分別組合,依次列出,像樹(shù)的枝丫一樣,最末端的枝丫個(gè)數(shù)就是總的可能的結(jié)果n。

        例6隨機(jī)拋擲一枚硬幣三次,求至少有一次反面向上的概率。

        【解析】列表法適合兩步完成的事件,樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件。先畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果,再找出至少有一次反面向上的結(jié)果,即可求出概率。

        由圖可知,所有等可能的結(jié)果有8種,其中至少有一次反面向上的結(jié)果有7種,則P(至少有一次反面向上)=

        【點(diǎn)評(píng)】“拋擲一枚硬幣三次”與“一次拋擲三枚均勻的硬幣”,二者的情境本質(zhì)上是相同的。同樣的,換一下情境但本質(zhì)不變,我們變?yōu)椤癆、B、C三人玩?zhèn)骰ㄓ螒?,游戲?guī)則是:第一次由A將花隨機(jī)地傳給B、C兩人中的某一人,以后的每一次傳花都是由上次的得花者隨機(jī)地傳給其他兩人中的某一人。求第三次傳花后,花回到A手中的概率?!?/p>

        轉(zhuǎn)

        例7如圖3是一個(gè)指針可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的正六邊形轉(zhuǎn)盤(pán),其中三個(gè)正三角形涂有陰影,隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)指針三次,求指針均落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率。

        圖3

        【解析】正六邊形轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成6塊,三塊陰影,三塊白色,各占一半,因此等同于“正六邊形轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成2塊,一塊陰影,一塊白色”,也就相當(dāng)于一枚硬幣的正反兩面。因?yàn)檎呅伪环殖上嗟鹊?部分,其中陰影部分占一半,所以樹(shù)狀圖同例6,所有等可能的結(jié)果有8種,其中指針均落在陰影區(qū)域內(nèi)的結(jié)果有1種,所以指針均落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為P(指針均落在陰影區(qū)域內(nèi))=

        【點(diǎn)評(píng)】深度思考,發(fā)現(xiàn)題目的本質(zhì),學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵。

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