賈蕙竹，丁婷

中北大學 信息與通信工程學院 生物醫(yī)學成像與影像大數(shù)據(jù)山西省重點實驗室，山西 太原 030051

引言

超聲空化是液體中的微小氣泡在聲波作用下形成、發(fā)展和崩潰的一系列動力學過程[1]。在空化泡的潰滅過程中會產生瞬時的高溫和高壓，并且伴隨有聲致發(fā)光、沖擊波、高速射流等現(xiàn)象[2-3]?？栈侵T多超聲治療[4-6]過程中的關鍵作用機制。高強度聚焦超聲治療[7-10]是利用超聲波可以穿透軟組織并可以聚焦的物理特性，將超聲波聚焦于體內腫瘤病灶，在焦點處形成高能密度區(qū)，使組織出現(xiàn)凝固性壞死，通過熱效應、空化效應和機械效應等達到治療效果，其中空化效應一方面由于聲遮擋會造成損傷前移，從而影響治療的精確性和安全性，另一方面空化泡的非線性能極大地提高機械能轉化為熱能的效率，從而增強熱效應，提高治療效率。在超聲波溶栓[11]、超聲波碎石[12]、聲致穿孔[13]和組織損毀術[14-16]等超聲治療過程中，為達到較好的治療效果，需要維持強烈的、持續(xù)性的空化作用。因此研究空化氣泡在不同參數(shù)下的動力學行為有重要意義，這也是能夠選擇性地增強或抑制空化效應的前提條件，并為規(guī)劃和監(jiān)控超聲治療過程以實現(xiàn)精準高效的超聲治療提供理論依據(jù)。

Rayleigh[17]在1917年最早給出了無限大不可壓縮液體中單個自由微泡的振動模型，但是忽略了液體黏滯性等因素的影響。在Rayleigh的基礎上，Plesset[18]、Noltingk等[19]相關研究在考慮了液體黏滯性、液體表面張力后對其進行了修正，得到聲場-微泡關系最常用的Rayleigh-Plesset模型，也稱為RPNNP模型。該模型描述了在不可壓縮液體中單個自由微泡的動力學行為，但上述模型忽略了液體的可壓縮性，在大多數(shù)微泡低幅度振動的情況下是適用的，但不適用于微泡大幅度振動情況。

1941年，Herring[20]在考慮了液體的可壓縮性與聲場輻射后對RPNNP模型進行了優(yōu)化，對能量變化進行了更好的描述。Gilmore[21]在應用Kirkwood-Bethe后也對Rayleigh-Plesset模型進行了修改，稱為Gilmore模型，該方程適用于劇烈的微泡振動，如空化的產生、聲致發(fā)光現(xiàn)象等。1980年，Keller等[22]同時考慮聲輻射效應、液體黏性、微泡表面張力、液體可壓縮性以及入射聲波的影響，推導出了Keller-Miksis模型，該方程適用性更廣。然而，Keller-Miksis方程忽略了微泡在壓縮到較小半徑時不能無限壓縮的事實。

本文基于Keller-Miksis模型，充分考慮了傳熱模式對空化泡振動特性的影響以及氣體不可無限壓縮的事實，旨在構建一個改進的液體中單泡超聲空化動力學仿真模型，該模型可描述更接近實際情況下的聲場中氣泡壁運動，并通過對超聲場作用下液體中空化氣泡的運動進行數(shù)值模擬，分析不同傳熱模式、空化氣泡參數(shù)、液體參數(shù)和聲場參數(shù)下的超聲空化泡動力學行為，以期揭示超聲空化瞬態(tài)物理過程，并為控制和利用空化以實現(xiàn)高效精準的超聲治療提供理論參考。

1 方法

1.1 Keller-Miksis模型

對于單個超聲空化氣泡振動模型，首先假設空化氣泡內氣體為空氣，其滿足理想氣體狀態(tài)方程，并且空氣密度不變。空化氣泡在振動過程中始終保持均勻對稱的球形，假設空化氣泡外液體為水，不僅需考慮微泡內蒸汽壓力、液體粘滯性以及微泡表面張力的影響，同時還需考慮液體的可壓縮性、聲輻射效應以及入射聲場的影響，得到Keller-Miksis方程[23]如公式（1）所示。

1.2 改進的Keller-Miksis模型

考慮不同傳熱模式影響，可將超聲空化氣泡振動方程表達式修正如公式（2）所示。

式中，n為氣體的多方指數(shù)，反映過程熱力學狀態(tài)，取值范圍是1≤n≤γ；n=1表明是等溫過程，n=γ表明是絕熱過程；1＜n＜γ表明是等溫-絕熱過程?？栈瘹馀輳纳L到開始壓縮的一段時間里，氣泡壁的運動速度比較緩慢，此時認為空化氣泡振動過程為等溫過程，進而得到公式（3）。

空化氣泡開始壓縮到比最小半徑小時，一般認為此后的過程是絕熱過程，考慮實際氣體并不是無限壓縮的，因此引入了范德瓦爾斯體積[24]，可以得到改進后的Keller-Miksis模型，方程如公式（4）所示。

對上述模型使用龍格庫塔法進行數(shù)值求解，可得到超聲空化氣泡半徑變化曲線，方程中符號含義及仿真時相關參數(shù)設置如表1所示。

表1 改進的Keller-Miksis模型中符號的含義與仿真計算時取值

2 結果

2.1 不同傳熱模式下的超聲空化氣泡振動情況

本文分析了等溫、絕熱、等溫-絕熱3種傳熱模式情況下單個超聲空化氣泡壁運動情況。仿真計算中使用的參數(shù)如表1所示，改變公式（2）中n的值，結果如圖1所示。由圖1可見，在3種不同傳熱模式下，超聲空化氣泡動力學過程基本一致，都是在約0.43個周期內完成由初始半徑R0膨脹到最大瞬時振動半徑Rmax，然后在極短的時間內收縮到最小半徑，最后振蕩并趨于初始半徑R0的過程。但是從圖中可以發(fā)現(xiàn)等溫模式下的Rmax/R0大于絕熱模式下的Rmax/R0。通過計算可以得到等溫過程中R/R0取得最大值5.9565，絕熱過程中R/R0取得最大值5.0257，而在等溫-絕熱過程中R/R0取得最大值5.4264，介于等溫過程和絕熱過程之間。

圖1 不同傳熱模式下的空化氣泡振動情況

2.2 不同初始半徑下的超聲空化氣泡振動情況

液體中空化氣泡在整流擴散和融合的作用下增長到合適大小時，在后續(xù)聲壓的作用下將達到共振半徑Rr，對應的自由空化氣泡的線性共振頻率如公式（5）所示。已知聲場頻率 fr=f0=30 kHz、γ=1.40、P0=101.3 kPa、σ=0.076 N/m、ρ=1000 kg/m3，此時由公式（5）可以計算得到此頻率對應的空化氣泡共振半徑Rr=110 μm。

在驅動聲波信號PA作用下，設置空化氣泡初始半徑分別為 2、6、10、40、110、200 μm，由公式（1）、公式（3）和公式（4）可以得到不同初始半徑下空化氣泡振動半徑曲線，結果如圖2所示。

由圖2a～c可知，當空化氣泡初始半徑遠小于共振半徑時，隨著空化氣泡初始半徑的增大，一方面超聲空化氣泡從初始半徑膨脹到最大瞬態(tài)振動半徑的時間增大，分別是0.3721個周期、0.4403個周期和0.4606個周期，這也導致空化氣泡第一次收縮至坍塌所對應的時間增大，超聲空化氣泡振動持續(xù)時間變長；另一方面最大相對振動半徑減小，R/R0分別是6.0214、5.9465和4.6664。同時，超聲空化氣泡坍塌后的振蕩頻率在減小。由圖2d可知，初始半徑取R0=40 μm時，該半徑小于空化氣泡共振半徑，空化氣泡在負壓作用下膨脹，直至達到最大瞬時振動半徑，然后在正壓作用下收縮，空化氣泡崩潰后將產生新的、較小的空化氣泡。這些空化氣泡在聲壓的作用下成為空化核，繼續(xù)呈現(xiàn)出生長、收縮、坍塌的周期性運動。由圖2e可知，當初始半徑取共振半徑Rr=110 μm時，空化氣泡在1個周期內經歷了膨脹、收縮，可以看到振動半徑急劇地趨向于0，發(fā)生坍塌之后未產生新的和較小的空化氣泡。由圖2f可知，初始半徑取R0=200 μm大于空化氣泡共振半徑時，空化氣泡會發(fā)生復雜的持續(xù)振蕩，在多個周期內不會發(fā)生坍塌。因此，為了得到持續(xù)強烈的空化效應，在超聲治療過程中引入額外微泡作為空化增強劑時，應選擇半徑小于共振半徑的微泡。

圖2 不同初始半徑下的空化氣泡振動情況

2.3 不同液體表面張力下的超聲空化氣泡振動情況

本文通過設置不同的液體表面張力σ=0.0327、0.0727、0.2227 N/m，分析液體表面張力對超聲空化氣泡振動的影響，結果如圖3所示。從圖3中可以看到，隨著液體表面張力的增大，一方面空化氣泡的最大瞬態(tài)振動半徑減小，Rmax/R0分別是6.5709、6.0077和3.3357。另一方面超聲空化氣泡從初始半徑膨脹到最大瞬態(tài)振動半徑的所需時間減小，分別是0.4513個周期、0.4413個周期和0.3753個周期，這也導致空化氣泡第1次收縮至坍塌所對應的時間減小。另外，空化氣泡的第1次和隨后第2次生長半徑的比值隨著液體表面張力的增大而減小。因此，在實際的超聲空化過程中，為了得到較強的空化效應，應選取液體表面張力較小的液體。

圖3 不同液體表面張力下的空化氣泡振動情況

2.4 不同液體黏滯系數(shù)下的超聲空化氣泡振動情況

為討論液體黏滯系數(shù)對超聲空化氣泡振動情況產生的影響，本文選取3種不同的黏滯系數(shù)，分別為μ=0.0001、0.001、0.01 Pa·s，其余參數(shù)值參照表1，得到的結果如圖4所示。從圖4可以發(fā)現(xiàn)，液體黏滯系數(shù)越大，空化氣泡的最大瞬態(tài)振動半徑越小，通過計算得到μ=0.0001、0.001、0.01 Pa·s時 Rmax/R0分別為 6.0457、5.9465和 5.0581。超聲空化氣泡第一次收縮坍塌后的持續(xù)振蕩逐漸減弱，當μ=0.01 Pa·s時，空化氣泡的振動持續(xù)時間明顯變短，在聲場驅動作用下持續(xù)空化效應減弱。產生這種現(xiàn)象的主要原因是空化氣泡在發(fā)生膨脹時的負聲壓不足以克服液體分子之間的作用力，這說明液體黏滯系數(shù)太大時，會導致超聲空化比較難發(fā)生。

圖4 不同液體黏滯系數(shù)下的空化氣泡振動情況

2.5 不同液體飽和蒸汽壓下的超聲空化氣泡振動情況

為了討論液體飽和蒸汽壓對超聲空化氣泡振動情況產生的影響，本文選取3種不同的液體飽和蒸汽壓，分別為Pv=330、22330、42330 Pa，其余參數(shù)值參照表1，得到的結果如圖5所示。由圖5可知隨著液體飽和蒸汽壓的增大，一方面超聲空化氣泡從初始半徑增長到最大瞬態(tài)振動半徑的時間增大，分別是0.4327個周期、0.5086個周期和0.5704個周期，同時空化氣泡第一次收縮至坍塌所需要的時間增大；另一方面空化氣泡最大瞬態(tài)振動半徑增大，R/R0分別是5.0261、9.3950和13.1960。另外，在一個周期內空化氣泡再生產的次數(shù)也減少了，空化效應的可持續(xù)性減弱。以上結果表明，液體飽和蒸汽壓越大，超聲空化效應越弱。

圖5 不同液體飽和蒸汽壓下的空化氣泡振動情況

2.6 不同激勵頻率下的超聲空化氣泡振動情況

給定初始半徑R0=6 μm ，其余參數(shù)值參考表1，本文改變了驅動聲場的激勵頻率，分析激勵頻率對超聲空化氣泡振動情況的影響。將Rr=R0=6 μm代入公式（5）可計算得到共振頻率fr=0.6 MHz，設置f0=10 kHz、f0=30 kHz、f0=fr=0.6 MHz和f0=2 kHz，結果如圖6所示。由圖6可知，不同的激勵頻率下超聲空化氣泡振動半徑曲線是明顯不同的。隨著激勵頻率的增大，空化氣泡的最大瞬態(tài)振動半徑明顯減小，Rmax/R0分別是7.9651、5.9465、1.5119和1.1036。當f0=10 kHz與f0=30 kHz小于共振頻率時，一方面可以看到超聲空化氣泡經歷了生長、坍塌、再產生、生長、坍塌的周期性動力學過程；另一方面空化氣泡的振動持續(xù)時間明顯變長，在聲場驅動作用下持續(xù)空化效應增強。當f0=fr=0.6 MHz時，空化氣泡在1個周期內膨脹到最大瞬時振動半徑后，振動半徑急劇收縮并趨向于0，崩潰后無新的、較小的空化氣泡產生。當f0=2 kHz大于共振頻率時，空化氣泡振動周期變小，圖6d顯示的是10個周期內超聲空化氣泡的振動情況，可以看到空化氣泡在做復雜的振蕩運動。分析其原因，可能是因為激勵頻率太大導致空化氣泡振動周期變小，在驅動聲壓負相期間來不及增長或在驅動聲壓正相期間來不及崩潰[25]。因此，在初始半徑一定的前提下，只是增大激勵頻率對于增強空化效果并不顯著，需要設置合適的激勵頻率來得到較強的超聲空化。

圖6 不同激勵頻率下的空化氣泡振動情況

2.7 不同聲驅動幅度下的超聲空化氣泡振動情況

為了分析聲驅動幅度對超聲空化氣泡振動情況產生的影響，本文選取不同的聲壓幅值Pa=50 kPa、Pa=0.1 MPa、Pa=0.15 MPa和Pa=0.3 MPa進行仿真計算，其余參數(shù)值參考表1，結果如圖7所示。在其他參數(shù)不變的前提下，隨著聲壓幅值的增大，超聲空化氣泡最大瞬態(tài)振動半徑明顯增大，R/R0分別是1.2155、2.5290、9.6980和26.3603，分析其原因可能是因為聲壓幅值越大，在驅動聲壓正、負相交互作用下，超聲波對空化氣泡的拉伸作用增強，空化氣泡運動劇烈。如圖7a所示，當聲壓幅值過小，R/R0較小且空化氣泡不會發(fā)生崩潰，這主要是因為聲驅動幅值太小，導致超聲空化氣泡難以生長到很大且難以收縮至最小半徑從而發(fā)生破裂，因此以穩(wěn)態(tài)空化為主，而瞬態(tài)空化難以發(fā)生。如圖7d所示，當聲壓幅值較大時，超聲空化氣泡在1個周期內再生產的次數(shù)減少，空化效應的可持續(xù)性減弱，這主要是因為聲驅動幅值太大，導致空化氣泡在驅動聲壓負相作用下增長過大，當驅動聲壓正相作用時，空化氣泡第一次收縮至坍塌所需要的時間增大，導致空化氣泡再生產的次數(shù)減少。因此，在合理的超聲聲壓范圍內，選取較大的聲壓幅值可以增強空化效應。

圖7 不同聲驅動幅度下的空化氣泡振動情況

3 討論

空化效應是諸多超聲治療過程中的關鍵作用機制。本文在Keller-Miksis模型的基礎上，構建了一個改進的超聲空化氣泡動力學仿真模型。然后使用MATLAB對超聲場作用下液體中空化氣泡的運動進行數(shù)值模擬，系統(tǒng)分析了不同傳熱模式、空化氣泡參數(shù)、液體參數(shù)和聲場參數(shù)下的超聲空化氣泡動力學行為。近年來有研究者對超聲作用下液體中的空化氣泡運動進行了基礎研究，通過建立不同的空化氣泡運動模型，對影響空化氣泡運動過程的影響因素進行分析[25]。

王捷[25]根據(jù)Rayleigh-Plesset氣泡運動方程，分析了不同聲場信號激勵下的單一空化氣泡的動力學過程。其中就聲場頻率、聲壓和氣泡初始半徑對氣泡動力學過程的影響的研究，得出了以下的結論：給定空化氣泡的初始半徑，隨著聲場頻率升高，氣泡將持續(xù)振蕩而不崩潰，超聲空化將難以發(fā)生。在合理的超聲聲壓范圍內，提高聲場聲壓會增強空化效應，但過高的聲壓將使氣泡的崩潰推遲，這與本文的研究結果一致。張紅等[26]基于聲場作用下液體中一個氣泡的運動模型，研究了液體中聲壓幅值、超聲頻率、空化核半徑以及液體的密度、表面張力、動力粘度等因素對氣泡運動的影響。仿真結果表明，較低的聲壓幅值下并不會產生氣泡崩潰，但隨著聲壓幅值的增加，氣泡振動程度更加劇烈，增強了空化效果；聲壓幅值一定，設置合適范圍內的聲頻才能達到最佳效果；初始氣泡半徑、液體的密度、動力粘度和表面張力都會對氣泡運動產生一定影響，但初始氣泡半徑對空化效應影響明顯，表面張力的影響并不大，這些結論與本文研究結果一致。崔方玲等[27]通過對空化氣泡運動的動力學模型進行數(shù)值仿真，探討了超聲頻率、聲壓、空化泡初始半徑和絕熱指數(shù)對空化氣泡運動的影響。模擬結果表明，隨著超聲頻率的增加，空化效應減弱；隨著聲壓幅值的增大，空化氣泡最大振幅增加；氣泡的初始半徑較小，空化效果較好；隨著絕熱指數(shù)取值的增大，空化氣泡最大振幅略有減小。以上結果證實了本文仿真結果與數(shù)值分析的正確性。

本文的方法創(chuàng)新性在于提出了一個考慮因素更全面、更接近實際情況的適用于液體中的氣泡壁運動的超聲空化氣泡動力學仿真模型。該模型不僅考慮了微泡內蒸汽壓力、液體粘滯性、微泡表面張力、液體的可壓縮性、聲輻射效應以及入射聲場的影響，同時還充分考慮了傳熱模式對空化泡振動特性的影響以及氣體不可無限壓縮的事實?；诟倪M的模型仿真了不同傳熱模式對超聲空化氣泡振動特性的影響以及不同參數(shù)下的超聲空化氣泡動力學特性，研究獲得最佳空化效果的物理條件，這為超聲空化的廣泛應用以及規(guī)劃和監(jiān)控超聲治療過程以實現(xiàn)精準高效的超聲治療提供了相應的理論支持，有望揭示超聲空化瞬態(tài)物理過程。同時這也是能夠有選擇性地增強或是抑制空化效應的前提，進而能夠提高以空化效應為作用機制的超聲治療效率，保障治療過程的精確性和安全性。

但本文尚存在以下不足：本研究只是基于單個超聲空化氣泡，并基于改進的模型探討了不同傳熱模式、空化氣泡參數(shù)、液體參數(shù)和聲場參數(shù)對單個超聲空化氣泡的影響，事實上空化氣泡是以泡群的形式存在。因此未來還需基于本文改進的模型，進一步構建雙泡以及泡群的模型，并分析不同傳熱過程、空化氣泡參數(shù)、液體參數(shù)、聲場參數(shù)以及泡與泡之間的距離對雙泡和泡群振動特性的影響，這對于豐富微泡群動力學理論和指導實驗研究都具有重要的意義。在超聲場作用下的微泡群動力學建模和相應的理論機制將是未來主要的研究方向。本文改進的基于單泡的超聲空化氣泡動力學仿真模型，對聲場中氣泡壁運動的描述更加接近實際情況，這為后續(xù)微泡群的動力學模型研究提供了有價值的信息。

4 結論

為了提高以空化效應為作用機制的超聲治療效率，本文基于Keller-Miksis模型，構建了一個可描述、更接近實際情況下的聲場中氣泡壁運動的模型，并對不同參數(shù)下超聲空化氣泡振動情況進行了討論，得出以下主要結果：① 在等溫、等溫-絕熱、絕熱3種不同傳熱模式下，超聲空化氣泡動力學過程基本一致，最大瞬時振動半徑依次減??；② 空化氣泡初始半徑小于共振半徑時可以增強超聲空化效應；③隨著液體表面張力和液體黏滯系數(shù)的增大，空化效果變弱；隨著液體飽和蒸汽壓的增大，超聲空化效應減弱；④ 在初始半徑一定的前提下，需要設置合適的聲場激勵頻率來增強空化效果；⑤ 在合理的超聲聲壓范圍內，選取較大的聲壓幅值可以增強空化效應。基于本文改進的模型，未來將進一步研究雙泡以及泡群的動力學行為，并實現(xiàn)超聲空化成像。