王楠，戴江斌

(1.西安體育學(xué)院 體育教育學(xué)院，陜西 西安 710068；2.空軍工程大學(xué) 空管領(lǐng)航學(xué)院，陜西 西安 710051)

武器-目標(biāo)分配（Weapon-Target Assignment,WTA）問(wèn)題是軍事運(yùn)籌領(lǐng)域的重要研究問(wèn)題[1]，是根據(jù)作戰(zhàn)體系的作戰(zhàn)目標(biāo)、平臺(tái)武器配置情況，按照最優(yōu)化分配原則，將不同武器分配給不同目標(biāo)，從而實(shí)現(xiàn)最大作戰(zhàn)效能的過(guò)程.按照不同的分類(lèi)方式，WTA 問(wèn)題可以劃分為多種類(lèi)型.按照決策階段的劃分，WTA 問(wèn)題可以分為靜態(tài)WTA（Static WTA,SWTA）和動(dòng)態(tài)WTA（Dynamic WTA,DWTA），SWTA是在一個(gè)作戰(zhàn)階段將所有武器分配給目標(biāo)，而DWTA 是在不同作戰(zhàn)階段，分批進(jìn)行武器到目標(biāo)的分配[2].按照決策目標(biāo)的劃分，WTA 問(wèn)題可以分為多目標(biāo)WTA 和單目標(biāo)WTA，單目標(biāo)WTA 是在優(yōu)化過(guò)程中只有一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，而多目標(biāo)WTA 有多個(gè)優(yōu)化目標(biāo).按照對(duì)抗形式的劃分，WTA 問(wèn)題可以分為直接對(duì)抗式WTA 和間接對(duì)抗式WTA，直接對(duì)抗式WTA 是以直接消滅敵方為作戰(zhàn)目標(biāo)，目標(biāo)打擊對(duì)象是敵方武器平臺(tái)，間接對(duì)抗式WTA 是以打擊防御方資源為作戰(zhàn)目標(biāo)，目標(biāo)打擊對(duì)象是敵方武器平臺(tái)防御的資源.

WTA 問(wèn)題是一個(gè)典型的多項(xiàng)式復(fù)雜程度非確定性完全（Non-determinism Polynomial Complete,NPC）問(wèn)題[3]，其計(jì)算難度隨維度增加呈現(xiàn)指數(shù)級(jí)增長(zhǎng).對(duì)于低維度、簡(jiǎn)單約束的WTA 問(wèn)題，可以采用匈牙利算法[4]、分支定界方法[5-6]和拉格朗日松弛方法[7]等.這類(lèi)方法的優(yōu)勢(shì)在于計(jì)算方式簡(jiǎn)單，能夠以較小的計(jì)算復(fù)雜度求解得到較優(yōu)解甚至是最優(yōu)解；但劣勢(shì)在于面對(duì)中大規(guī)模問(wèn)題時(shí)，方法適用性會(huì)受到一定程度影響.智能優(yōu)化算法通過(guò)模擬生物智能行為，以一定的搜索策略在解空間進(jìn)行尋優(yōu)，具有精度高、收斂快和適用廣的優(yōu)勢(shì)，能夠用于求解高維度、復(fù)雜約束的WTA 問(wèn)題.文獻(xiàn)[8]針對(duì)存在空間約束的 WTA 問(wèn)題，基于遺傳算法（Genetic Algorithm,GA）進(jìn)行問(wèn)題求解，每個(gè)染色體被編碼為具有“禁止位”的二進(jìn)制矩陣進(jìn)而表征問(wèn)題約束，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的交叉和變異算子 在整個(gè)進(jìn)化過(guò)程中能夠保證每條染色體均為 WTA 問(wèn)題的有效解決方案.文獻(xiàn)[9]以最小化幸存目標(biāo)的總預(yù)期價(jià)值為優(yōu)化目標(biāo)建立WTA 問(wèn)題模型，采用并行模擬退火算法（Parallel Simulated Algorithm,PSA）對(duì)模型進(jìn)行求解，并對(duì)隨機(jī)生成的12 個(gè)實(shí)例進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明并行化計(jì)算機(jī)制能夠有效提高求解效率.文獻(xiàn)[10]以最大化目標(biāo)打擊效果和最小化彈藥消耗、總作戰(zhàn)時(shí)間為優(yōu)化目標(biāo)，考慮資源約束、可行性約束和火力轉(zhuǎn)移約束等約束條件，建立了多目標(biāo)多約束問(wèn)題模型，并采用第2 代非支配排序遺傳算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm,NSGA-Ⅱ）對(duì)模型進(jìn)行求解，數(shù)值模擬結(jié)果表明，NSGA-Ⅱ算法可以在有限時(shí)間內(nèi)找到近似最優(yōu)Pareto 前沿.文獻(xiàn)[11]針對(duì)DWTA 求解速度慢、搜索效率低的問(wèn)題，提出包含排序選擇和精英引導(dǎo)、啟發(fā)式因子等機(jī)制的改進(jìn)人工蜂群算法（Improved Artificial Bee Colony,IABC），并通過(guò)不同尺度下的DWTA 求解仿真，驗(yàn)證了算法求解精度的優(yōu)勢(shì).文獻(xiàn)[12]以目標(biāo)生存概率總期望值最小為優(yōu)化目標(biāo)建立問(wèn)題模型，通過(guò)離散化方式，實(shí)現(xiàn)了WTA 問(wèn)題動(dòng)態(tài)-靜態(tài)轉(zhuǎn)換，并采用改進(jìn)差分進(jìn)化算法（Improved Differential Evolution,IDE）算法進(jìn)行求解，并在大、中和小規(guī)模3 種場(chǎng)景下驗(yàn)證了算法的優(yōu)越性.

目前已有大量關(guān)于WTA 問(wèn)題的研究，本文在充分分析現(xiàn)有研究成果基礎(chǔ)上，建立了間接對(duì)抗式條件下最大化目標(biāo)打擊收益和最小化打擊彈藥成本的靜態(tài)WTA 雙目標(biāo)優(yōu)化模型.針對(duì)模型特點(diǎn)，提出改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法（Improved NSGA-Ⅱ,INSGA-Ⅱ）進(jìn)行模型求解，算法關(guān)鍵環(huán)節(jié)主要包括種群編碼與解碼方法、提高種群分布性方法、種群進(jìn)化機(jī)制和約束處理機(jī)制等，并通過(guò)與其他算法在收斂性指標(biāo)、均勻性指標(biāo)和寬廣性指標(biāo)3 個(gè)性能指標(biāo)上的對(duì)比，驗(yàn)證了INSGA-Ⅱ算法的優(yōu)越性.

1 WTA 數(shù)學(xué)模型與多目標(biāo)優(yōu)化

1.1 WTA 問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型建立WTA 問(wèn)題的要素主要包括武器和目標(biāo)兩大類(lèi)，首先定義WTA 問(wèn)題的要素種類(lèi)和屬性.武器平臺(tái)集合記為SW={W1,W2,···,WN}，其中，N為武器平臺(tái)數(shù)量，第i個(gè)武器平臺(tái)Wi的載彈量為li，每個(gè)彈藥成本均為ci.定義載彈量矩陣L和彈藥成本矩陣C分別為：

目標(biāo)集合記為 ST={T1,T2,···,TM}，其中，M為目標(biāo)數(shù)量，第j個(gè)目標(biāo)Tj的威脅程度為ej.第i個(gè)武器平臺(tái)Wi的每個(gè)彈藥對(duì)第j個(gè)目標(biāo)Tj的毀傷概率為pij，定義威脅程度矩陣E和毀傷概率矩陣P為：

式中，pij表示毀傷概率矩陣中第i行第j列的元素值.

在數(shù)學(xué)模型建立過(guò)程中，需要分析模型的約束條件和優(yōu)化目標(biāo).

1.1.1 模型的約束條件 主要包括單武器平臺(tái)載彈量約束、目標(biāo)分配彈藥量約束和總載彈量約束.

（1）對(duì)于第i個(gè)武器平臺(tái)Wi而言，打擊目標(biāo)所用彈藥數(shù)量應(yīng)不超過(guò)其載彈量li，即有

式中，xij表示為WTA 決策變量矩陣X中第i行第j列的元素值.定義WTA 決策變量矩陣X為：

矩陣X中的行表示武器平臺(tái)，列表示目標(biāo)，元素0≤xij≤li表示第i個(gè)武器平臺(tái)Wi分配給第j個(gè)目標(biāo)Tj的彈藥數(shù)量，若xij=0，則表示第i個(gè)武器平臺(tái)Wi未分配給第j個(gè)目標(biāo)Tj.

（2）為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)打擊效果，對(duì)于第j個(gè)目標(biāo)Tj，必須有武器平臺(tái)對(duì)其進(jìn)行打擊；且為節(jié)約彈藥量，對(duì)于第j個(gè)目標(biāo)Tj，所有武器平臺(tái)分配的彈藥量不超過(guò)sj，即有

定義所有目標(biāo)的打擊彈藥量矩陣S為：

（3）所有目標(biāo)分配的彈藥量上限值總和必須不超過(guò)所有武器平臺(tái)載彈量的總和，即有

1.1.2 模型的優(yōu)化目標(biāo) 主要包括最大化目標(biāo)打擊收益和最小化打擊彈藥成本.

（1）對(duì)目標(biāo)的打擊收益通過(guò)目標(biāo)的威脅程度進(jìn)行度量，打擊的目標(biāo)威脅程度越高，消除對(duì)我方武器平臺(tái)威脅的效果越好.第i個(gè)武器平臺(tái)Wi對(duì)第j個(gè)目標(biāo)Ti的殺傷概率為：

所有武器平臺(tái)對(duì)第j個(gè)目標(biāo)Tj的殺傷概率為：

則定義武器平臺(tái)對(duì)目標(biāo)的打擊收益為：

（2）定義打擊彈藥成本為：

根據(jù)WTA 問(wèn)題的約束條件和優(yōu)化目標(biāo)，可以建立數(shù)學(xué)模型為：

式中，第3 個(gè)約束是作戰(zhàn)指揮或參謀人員根據(jù)武器平臺(tái)彈藥情況，對(duì)S中元素進(jìn)行取值設(shè)定滿足的.

1.2 多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題與Pareto 解集如式（16）所示的數(shù)學(xué)模型是典型的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題（Multiobjective Optimization Problem,MOP），即優(yōu)化目標(biāo)不止1個(gè)，優(yōu)化目標(biāo)之間可能是不相容，甚至是沖突的.給定決策向量Y=(y1,y2,···,yQ)，若滿足約束

假定有s個(gè)沖突的優(yōu)化目標(biāo)，定義優(yōu)化目標(biāo)為：

定義 1Pareto 最優(yōu)解.給定多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題minf(Y)，若Y*∈Ψ，且滿足式（17）和式（18），若不存在其他Yˉ*∈Ψ，使得

成立，且至少一個(gè)是嚴(yán)格不等式，則稱(chēng)Y*為Pareto最優(yōu)解.

定義 2Pareto 支配關(guān)系.給定多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題 minf(Y)，令Y1，Y2∈Ψ，若滿足對(duì) ?k，1≤k≤Q，有fk(Y2)≥fk(Y1)成立，或者 ?k，1≤k≤Q，有fk(Y2)≥fk(Y1)成立，則稱(chēng)解Y1支配Y2，記作Y1?Y2.若滿足對(duì) ?k，1≤k≤Q，有fk(Y1)≥fk(Y2)成立，或者 ?k，1≤k≤Q，有fk(Y1)＞fk(Y2)成立，則稱(chēng)解Y2支配Y1，記作Y2?Y1.若Y1和Y2互不支配，則稱(chēng)Y1等價(jià)于Y2，記作Y1～Y2.

定義 3Pareto 解集.給定多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題minf(Y)，定義Pareto 解集 SY*為：

2 INSGA-Ⅱ算法

NSGA-Ⅱ算法是Deb 等在2002 年提出的多目標(biāo)優(yōu)化算法[13]，其通過(guò)快速非支配排序、擁擠距離計(jì)算和精英保留策略等算法機(jī)制，實(shí)現(xiàn)了MOP 的高效求解.但是NSGA-Ⅱ算法存在解集分布性較差等問(wèn)題，因此需要對(duì)NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行相應(yīng)改進(jìn)，即設(shè)計(jì)特定的編碼與解碼方式、約束處理機(jī)制等，用于求解如式（16）所示的MOP.

2.1 種群編碼與解碼方法在采用INSGA-Ⅱ算法求解式（16）時(shí)，需要在一定的編碼空間進(jìn)行.編碼過(guò)程被定義為問(wèn)題空間到編碼空間的映射，解碼過(guò)程被定義為編碼空間到問(wèn)題空間的映射.種群編碼需遵循完備性、健全性和對(duì)應(yīng)性原則，而種群解碼需確保簡(jiǎn)單、快速.

在解碼過(guò)程中，將所有元素向下取整，整數(shù)部分取值即為分配的目標(biāo)編號(hào).舉例來(lái)說(shuō)，若編碼元素q4為3.137 1，整數(shù)部分為3，表示所有彈藥中第4 個(gè)彈藥分配給第3 個(gè)目標(biāo).解碼后，通過(guò)所有解碼信息可以構(gòu)建WTA 決策變量矩陣X.

2.2 提高種群分布性方法傳統(tǒng)的NSGA-Ⅱ算法在計(jì)算擁擠距離時(shí)，僅考慮相鄰個(gè)體之間的距離，未考慮在不同子目標(biāo)上的差異程度[14].因此，在INSGA-Ⅱ算法中，擁擠距離的計(jì)算綜合考慮了相鄰個(gè)體之間的距離及其在不同子目標(biāo)上的差異程度，計(jì)算公式為：通過(guò)一個(gè)實(shí)際案例說(shuō)明采用式（22）進(jìn)行擁擠距離計(jì)算時(shí)，能夠提高種群分布性.如圖1 所示，為不同情況下的種群維護(hù)結(jié)果.

圖1 不同情況下的種群維護(hù)結(jié)果Fig.1 Results of population maintenance under different conditions

在圖1中，情況1 中的20 個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成Pareto前沿，節(jié)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)取值分別為1～20，間隔為1，按左上到右下順序分別記節(jié)點(diǎn)序號(hào)為1～20.按照傳統(tǒng)擁擠距離計(jì)算公式，除節(jié)點(diǎn)1 和20外，所有節(jié)點(diǎn)擁擠距離均相等，在去除擁擠距離最小的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，情況1 選擇了節(jié)點(diǎn)18 和19.節(jié)點(diǎn)5、6 和7取值分別為（5,16）、（6,15）和（7,14），將節(jié)點(diǎn)6 的值修改為（5.5,14.5），則傳統(tǒng)計(jì)算公式下，節(jié)點(diǎn)5、6 和7 的擁擠距離均不會(huì)變，因此，在去除擁擠距離最小的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，情況2 選擇了節(jié)點(diǎn)7 和19.而在采用式（22）時(shí)，節(jié)點(diǎn)5 和7 的擁擠距離最小，因此，在去除擁擠距離最小的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，情況2 選擇了節(jié)點(diǎn)5 和7.需要說(shuō)明的是，修改后的節(jié)點(diǎn)6 應(yīng)該與節(jié)點(diǎn)5 和7 等距，但由于圖形橫坐標(biāo)壓縮的原因，形成了如圖1 所示的效果，這是正?，F(xiàn)象.

2.3 種群進(jìn)化機(jī)制采用NSGA-Ⅱ算法的進(jìn)化機(jī)制，即基于多項(xiàng)式變異和模擬二進(jìn)制交叉方法產(chǎn)生新個(gè)體，具體方法如下：首先，基于二進(jìn)制錦標(biāo)賽選擇策略確定父種群；然后，在父種群中隨機(jī)選取個(gè)體q1和q2，并通過(guò)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù) Ξ1決定進(jìn)行交叉或變異操作.

若Ξ1＜η，則進(jìn)行交叉操作，產(chǎn)生2 個(gè)子代個(gè)體具體計(jì)算公式為：

式中，εc為交叉因子.

若Ξ1≥η，則進(jìn)行變異操作，在父種群中隨機(jī)選取個(gè)體q3，產(chǎn)生1 個(gè)子代個(gè)體，具體計(jì)算公式為：

式中，Ξ3為隨機(jī)數(shù).當(dāng)q的取值超出 [0,M+1-ι]的取值范圍時(shí)，則取值為最近邊界值.

2.4 約束處理機(jī)制實(shí)際上，式（16）中的3 個(gè)約束條件，第1 個(gè)約束條件可以通過(guò)種群編碼進(jìn)行滿足，第3 個(gè)約束條件可以通過(guò)仿真設(shè)定進(jìn)行滿足，而第2 個(gè)約束條件需要采用一定的約束處理機(jī)制進(jìn)行滿足.對(duì)于含約束條件的優(yōu)化問(wèn)題，一般的處理方法主要包括強(qiáng)制轉(zhuǎn)換、罰函數(shù)和 ε約束法等，由于式（16）所示的優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)可行解占比較低問(wèn)題，主要采用強(qiáng)制轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行約束處理.

通過(guò)以上的約束處理方式，可以生成滿足第2個(gè)約束條件的可行解，從而保證算法總是在可行解空間進(jìn)行搜索.

2.5 算法性能指標(biāo)對(duì)于一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化算法，存在多種指標(biāo)對(duì)其性能進(jìn)行評(píng)價(jià).一般而言，主要包括收斂性指標(biāo)和分布性指標(biāo).

收斂性指標(biāo)定義為求解得到的Pareto 解集Psol和真實(shí)Pareto 前沿Ptru的趨近程度，但對(duì)于復(fù)雜MOP，真實(shí)Pareto 前沿Ptru是不易獲得的.因此，為比較兩種多目標(biāo)優(yōu)化算法的收斂性性能，可采用一些替代方法，本文通過(guò)比較兩種算法求解得到的Pareto 解集之間的覆蓋率進(jìn)行收斂性對(duì)比.對(duì)于的覆蓋率定義為：

因此，采用如式（26）、（27）和（29）所示的收斂性指標(biāo)、均勻性指標(biāo)和寬廣性指標(biāo)作為算法性能指標(biāo)，其中，收斂性指標(biāo)和寬廣性指標(biāo)越大越好，均勻性指標(biāo)越小越好.

2.6 算法流程綜上所述，可以給出INSGA-Ⅱ算法的算法流程如下：

步驟 1隨機(jī)初始化種群，限定種群中個(gè)體元素取值范圍為 [0,M+1-ι].

步驟 2按照選擇、交叉和變異操作方法，基于父種群產(chǎn)生一定數(shù)量的子種群.

步驟 3將父種群和子種群進(jìn)行混合，并對(duì)混合種群中個(gè)體進(jìn)行解碼和約束處理后，得到所有個(gè)體對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值.

步驟 4根據(jù)所有個(gè)體目標(biāo)函數(shù)值的非支配等級(jí)和擁擠距離，確定精英個(gè)體為下一代種群.

步驟 5循環(huán)上述操作直至達(dá)到最大迭代次數(shù)，并輸出最終Pareto 解集.

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證本文算法的有效性和優(yōu)越性，在處理器為Intel(R) Core(TM) i7-10 510 CPU 2.30GHz 計(jì)算機(jī)上使用Matlab 2010b 進(jìn)行仿真.

3.1 仿真場(chǎng)景設(shè)定設(shè)定多組仿真場(chǎng)景，包括小規(guī)模、中規(guī)模和大規(guī)模3 種場(chǎng)景，每種場(chǎng)景的武器平臺(tái)和目標(biāo)數(shù)量各不相同.表1 為3 種場(chǎng)景下不同武器平臺(tái)和目標(biāo)數(shù)量組合.

表1 不同場(chǎng)景下武器平臺(tái)和目標(biāo)數(shù)量組合Tab.1 Combinations of weapon platforms and target numbers in different scenarios

載彈量矩陣L中各元素值為 3+Ξ·(6-3)」，Ξ為取值范圍在(0,1)的隨機(jī)數(shù)，·」為向下取整函數(shù)；彈藥成本矩陣C中各元素值為 0 .15+Ξ·(0.65-0.15)；威脅程度矩陣E中各元素值為 0 .35+Ξ·(0.85-0.35)；毀傷概率矩陣P中各元素值為 0 .25+Ξ·(0.98-0.25)；打擊彈藥量矩陣S中各元素值為 2+Ξ·(5-2)」.為滿足式（16）的第3 個(gè)約束，在生成載彈量矩陣L和打擊彈藥量矩陣S后均進(jìn)行約束滿足判斷，若不滿足，則循環(huán)進(jìn)行生成直至滿足約束.

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果實(shí)驗(yàn)1 第1 組仿真實(shí)驗(yàn)在典型場(chǎng)景取值下進(jìn)行，以N=8、M=8 為例，根據(jù)實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置情況，生成各參數(shù)矩陣L、S、C、E和P如下.

為驗(yàn)證INSGA-Ⅱ算法的改進(jìn)效果，將INSGA-Ⅱ算法與NSGA-Ⅱ算法在收斂性、均勻性和寬廣性上進(jìn)行對(duì)比.算法參數(shù)設(shè)置方面：種群數(shù)量均設(shè)置為50，交叉概率為0.9，變異概率為0.5.如圖2 所示，為INSGA-Ⅱ算法與NSGA-Ⅱ算法對(duì)比情況.

從圖2 可以看出，與傳統(tǒng)NSGA-Ⅱ算法相比，改進(jìn)后的INSGA-Ⅱ算法在收斂性上要更優(yōu).而在均勻性和寬廣性上，隨著迭代次數(shù)的增加，INSGA-Ⅱ算法也要更優(yōu).因此，對(duì)NSGA-Ⅱ算法的改進(jìn)，能夠使所解保持良好分布性能.

圖2 INSGA-Ⅱ與NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行對(duì)比情況Fig.2 Comparison between INSGA-Ⅱ and NSGA-Ⅱ

實(shí)驗(yàn)2 第2 組仿真實(shí)驗(yàn)與第1 組仿真實(shí)驗(yàn)條件相似.將INSGA-Ⅱ算法與多目標(biāo)粒子群算法[15,16]（Multi-objective Particle Swarm Optimization,MOPSO）、多目標(biāo)人工蜂群算法[17,18]（Multi-objective Artificial Bee Colony,MOABC）和多目標(biāo)人工魚(yú)群算法[19]（Multi-objective Artificial Fish School Algorithm,MOAFSA）在收斂性、均勻性和寬廣性上進(jìn)行對(duì)比.算法參數(shù)設(shè)置方面：INSGA-Ⅱ算法設(shè)置與仿真實(shí)驗(yàn)1 相同；MOPSO 算法中的學(xué)習(xí)因子c1和c2 均設(shè)置為1.494 45；MOABC 算法的放棄閾值設(shè)置為10；MOAFSA 算法的試探次數(shù)設(shè)置為30，擁擠度因子為0.618，步長(zhǎng)為0.1.

如圖3～5 所示，為INSGA-Ⅱ算法與MOPSO、MOABC 和MOAFSA 算法對(duì)比情況.從圖3 可以看出，與MOPSO 算法相比，INSGA-Ⅱ算法在收斂性和均勻性上的優(yōu)勢(shì)并不恒定，在某些迭代次數(shù)下更劣，但總體上更優(yōu)；而在寬廣性上，INSGA-Ⅱ算法優(yōu)勢(shì)較為明顯.從圖4 可以看出，與MOABC 算法相比，INSGA-Ⅱ算法在收斂性、均勻性和寬廣性上均有一定優(yōu)勢(shì)，這體現(xiàn)了INSGA-Ⅱ算法相比于MOABC 算法的優(yōu)越性能.從圖5 可以看出，與MOAFSA 算法相比，INSGA-Ⅱ算法在收斂性和均勻性上總體占優(yōu)，但在寬廣性上稍劣.

圖3 INSGA-Ⅱ與MOPSO 算法進(jìn)行對(duì)比情況Fig.3 Comparison between INSGA-Ⅱ and MOPSO

圖4 INSGA-Ⅱ與MOABC 算法進(jìn)行對(duì)比情況Fig.4 Comparison between INSGA-Ⅱ and MOABC

圖5 INSGA-Ⅱ與MOAFSA 算法進(jìn)行對(duì)比情況Fig.5 Comparison between INSGA-Ⅱ and MOAFSA

實(shí)驗(yàn)3 以如表1 所示的所有武器平臺(tái)和目標(biāo)數(shù)量組合為例，進(jìn)行第3 組仿真實(shí)驗(yàn)，各算法均迭代100次，分析各算法迭代一定次數(shù)后Pareto 前沿分布情況.如圖6～8 所示，分別為3 種場(chǎng)景下各算法迭代100 次下的Pareto 前沿分布情況.

從圖6～8 可以看出，除了在小規(guī)模場(chǎng)景N=8、M=5 情況下，INSGA-Ⅱ算法優(yōu)化解并未占據(jù)明顯優(yōu)勢(shì)，在其他場(chǎng)景情況下，INSGA-Ⅱ算法優(yōu)化解均在Pareto 最前沿，從而驗(yàn)證了算法的優(yōu)越性.

圖6 小規(guī)模場(chǎng)景下各算法Pareto 前沿Fig.6 Pareto frontiers of all algorithms in small-scale scenario

圖7 中規(guī)模場(chǎng)景下各算法Pareto 前沿Fig.7 Pareto frontiers of all algorithms in medium-scale scenario

實(shí)驗(yàn)4 以如表1 所示的N=8、M=8，N=24、M=24和N=56、M=56 場(chǎng)景為例，進(jìn)行第4 組仿真實(shí)驗(yàn)，各算法均運(yùn)行30次，每次運(yùn)行均迭代100次，分析Pareto 前沿分布情況.如圖9～11 所示，分別為N=8、M=8，N=24、M=24和N=56、M=56 時(shí)各算法運(yùn)行30 次Pareto 前沿.從圖9～11 可以看出，在N=8、M=8，N=24、M=24和N=56、M=56 場(chǎng)景下，INSGA-Ⅱ算法的優(yōu)化效果均要優(yōu)于其他算法.

圖8 大規(guī)模場(chǎng)景下各算法Pareto 前沿Fig.8 Pareto frontiers of various algorithms in large-scale scenario

圖9 N=8，M=8 時(shí)算法運(yùn)行30 次Pareto 前沿Fig.9 Pareto frontier where the algorithm runs 30 times when N=8 and M=8

圖10 N=24，M=24 時(shí)算法運(yùn)行30 次Pareto 前沿Fig.10 Pareto frontier where the algorithm runs 30 times when N=24 and M=24

圖11 N=56，M=56 時(shí)算法運(yùn)行30 次Pareto 前沿Fig.11 Pareto frontier where the algorithm runs 30 times when N=56 and M=56

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)間接對(duì)抗式WTA 問(wèn)題，本文建立了綜合考慮武器平臺(tái)對(duì)目標(biāo)的打擊收益和打擊彈藥成本的靜態(tài)WTA 雙目標(biāo)優(yōu)化模型，約束條件主要包括單武器平臺(tái)載彈量約束、目標(biāo)分配彈藥量約束和總載彈量約束.為求解該模型，提出包括種群編碼與解碼、提高種群分布性、種群進(jìn)化和約束處理等方法機(jī)制的INSGA-Ⅱ算法.在仿真實(shí)驗(yàn)及分析方面，設(shè)置小規(guī)模、中規(guī)模和大規(guī)模3 種場(chǎng)景下的武器-目標(biāo)數(shù)量取值組合，通過(guò)多組仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出算法的尋優(yōu)能力優(yōu)越性.下一步，可以考慮事件驅(qū)動(dòng)的影響，對(duì)大規(guī)模場(chǎng)景下的動(dòng)態(tài)WTA 開(kāi)展研究.