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        一類二階中立型時滯微分方程的振動性

        2022-11-28 03:00:02趙玉萍
        關(guān)鍵詞:振動研究

        趙玉萍

        (青海民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,青海 西寧 810007)

        考慮二階非線性中立型時滯微分方程

        函數(shù)x(t)稱為方程(1)的一個解,如果函數(shù)z(t)和r(t)u(x(t))|z′(t)|α-1z′(t)連 續(xù)可微且在區(qū)間 [t0,∞)上x(t)滿足方程(1).方程(1)的一個非平凡解稱為振動的,如果它有任意大的零點(diǎn),否則,稱它為非振動的.方程(1)的一切解均振動,則稱方程(1)為振動的.

        近年來,二階非線性中立型時滯微分方程被廣泛應(yīng)用在智能機(jī)器人、天體物理、動力系統(tǒng)和其他高新技術(shù)領(lǐng)域中,許多學(xué)者對其振動性的研究產(chǎn)生了濃厚興趣[1-11].Agarwal[1]研究了二階半線性中立型時滯微分方程

        的振動性.

        吳英柱[2]將上述方程進(jìn)行了擴(kuò)展,研究了二階非線性中立型時滯微分方程

        的振動性,給出了多個振動定理,改進(jìn)了文獻(xiàn)[1]的結(jié)果.

        武秀麗[3]研究了二階非線性中立型時滯微分方程

        的振動性,獲得了3 個振動定理,進(jìn)一步改進(jìn)了文獻(xiàn)[2]的結(jié)果.方程(2)~(4)都是本文所考慮方程(1)的特例,本文借助Riccati 變換、微分中值定理和不等式技巧研究方程(1)的振動性,建立新的振動準(zhǔn)則,推廣和改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)的研究結(jié)果,本文研究的方程更廣泛.

        1 基本引理

        為了證明文中的結(jié)果,先介紹下面幾個引理.

        2 主要結(jié)果

        定理 1設(shè)條件(H1)~(H4)成立,若存在函數(shù) φ (t)∈([t0,+∞),R+),使得

        其中B(t)=q(t)δ(t)(1-p(σ(t)))β,則方程(1)振動.

        證明設(shè)x(t)是方程(1)的非振動解,不失一般性,設(shè)x(t) 為 [t0,∞)上 的正解(x(t)<0的情況類似可證),對引理3 中的(13)式從t0到t積分,得

        當(dāng)t→∞時,由已知得w(t)→-∞,這與w(t)>0矛盾.定理3 證畢.

        下面用Philos 型積分平均給出定理4,考慮集合D={(t,s):t≥s≥t0},D0={(t,s):t>s≥t0}.

        函數(shù)H∈C(D,R),稱為屬于D類,記做H(t,s)∈X,如果H滿足下列條件:

        其中B(t)=q(t)δ(t)(1-p(σ(t)))β,則方程(1)振動.

        證明設(shè)x(t)是方程(1)的非振動解,不失一般性,設(shè)x(t) 為 [t0,∞)上 的正解(x(t)<0的情況類似可證),由引理2 中的(12)式和(H4),可得

        3 結(jié)果的應(yīng)用

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