陳 丹, 王芳貴, 林詩雨

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

本文恒設(shè)R是交換環(huán).眾所周知,在整環(huán)的環(huán)結(jié)構(gòu)刻畫中,商域常常要發(fā)揮重要作用,所獲得的結(jié)論也非常豐富.因此,學(xué)者們希望把整環(huán)的環(huán)結(jié)構(gòu)刻畫的方法和相關(guān)研究推廣到有零因子的交換環(huán)上.傳統(tǒng)地,人們以R的完全分式環(huán)T(R)(設(shè)S是環(huán)R的非零因子乘法封閉集,則T(R):=RS稱為R的完全分式環(huán))的行為來代替整環(huán)時商域的行為.在實(shí)際應(yīng)用中,T(R)的作用主要限于對正則理想的討論,即那些包含正則元的理想.例如,整環(huán)R是Dedekind整環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)R的非零理想是可逆理想,把Dedekind整環(huán)推廣到交換環(huán)時,自然地,學(xué)者們則把Dedekind環(huán)定義為滿足正則理想的可逆的交換環(huán).

然而正則理想和T(R)在推廣整環(huán)上一些經(jīng)典結(jié)果時,也存有不足之處.例如,設(shè)R是整環(huán),則R是整閉整環(huán)(在R的商域中的整閉包即R自身)當(dāng)且僅當(dāng)多項(xiàng)式環(huán)R[x]是整閉整環(huán).這一結(jié)果推廣到交換環(huán)時,Brewer等[1]注意到,“R在T(R)中整閉當(dāng)且僅當(dāng)R[x]在T(R[x])中整閉環(huán)”是不成立的,因而Lucas[2]關(guān)注了R的所謂有限分式環(huán)Q0(R),即由半正則理想構(gòu)成的理想乘法系確定的環(huán),這是R的一類比T(R)更大的擴(kuò)環(huán).借助Q0(R),Lucas[3]證明了若R是約化環(huán),則R在Q0(R)中整閉當(dāng)且僅當(dāng)R[x]在T(R[X])中整閉.由此可見,當(dāng)把整環(huán)上的某些結(jié)果推廣到交換環(huán)上時,Q0(R)的行為要好于T(R)的行為.

在文獻(xiàn)[3]中,Lucas首次借助R的有限生成半正則理想到R的同態(tài)等價類給出了有限分式環(huán)Q0(R)的構(gòu)造.設(shè)I是R的理想,若I中包含R的一個非零因子,則I稱為正則理想;若存在I的有限生成子理想I0,使得ann(I0)=0,則I稱為R的半正則理想.相應(yīng)地,理想I稱為R的非半正則理想,是指對I的任意的有限生成子理想J,都有ann(J)≠0.用表示R的有限生成半正則理想的集合.顯然是R的理想乘法系,即R∈,且對任意I,J∈,有IJ∈.設(shè)x表示R上的未定元.容易看到,設(shè)b0,b1,…,bn∈R,則理想I:=(b0,b1,…,bn)是半正則理想當(dāng)且僅當(dāng)多項(xiàng)式

f(x):=b0+b1x+…+bnxn

是R[x]的非零因子(參見文獻(xiàn)[4]).因此,Q0(R)更確切地可等價定義為

使得Iα?R},

其中T(R[x])表示多項(xiàng)式環(huán)R[x]的完全商環(huán),即T(R[x])=R[x]S,這里S表示R[x]的非零因子乘法集.對α∈Q0(R),α也可以明確表示為

本文從對環(huán)R與環(huán)Q0(R)的相互關(guān)系進(jìn)行對比研究入手,發(fā)現(xiàn)Q0(R)的許多性質(zhì)集中表現(xiàn)在非半正則理想上.為了給出R的理想與環(huán)Q0(R)的理想的對比關(guān)系,引入了Lucas模和模的Lucas包絡(luò)概念,并證明了理想I的Lucas包絡(luò)Q0(I)≠Q(mào)0(R)當(dāng)且僅當(dāng)I是R的非半正則理想.作為應(yīng)用,在第3節(jié)中也引入了Q0-Noether環(huán)的概念,即滿足非半正則理想升鏈條件的環(huán),并證明了關(guān)于Q0-Noether環(huán)的Hilbert基定理,即R是Q0-Noether環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)多項(xiàng)式環(huán)R[x1,x2,…,xn]是Q0-Noether環(huán).

1 環(huán)Q0(R)和Lucas模

設(shè)M是R-模,定義

tor(M)={z∈M|存在J∈,使得Jz=0},

引理 1.1設(shè)M是R-模,f(x)∈R[x].若f(x)是M的零因子,則存在u∈M,u≠0,使得

f(x)u=0.

證明類似于文獻(xiàn)[4]中定理1.7.7的證明.

1)M是Lucas模;

Jz=f(J)=g(J)=Jy.

現(xiàn)在假設(shè)反之條件成立.對任何f:J→M,則存在同態(tài)g:R→E(M),使得對任何a∈J,有f(a)=g(a).記g(1)=z,則

Jz=g(J)=f(J)?M,

由條件有z∈M.因此,g:R→M是f的擴(kuò)張,由命題1.4的1)有M是Lucas模.

命題 1.6設(shè)N是Lucas模,M是N的子模,則以下各條等價:

1)M是Lucas模;

證明1)?2) 設(shè)M是Lucas模,因?yàn)镸?N,故可以假設(shè)E(M)?E(N).于是可記

E(N)=E(M)⊕A,

則有

z=y+a,y∈E(M),a∈A.

3)?2) 顯然.

稱之為M的Lucas包絡(luò).

1)Q0(M)是Lucas模;

2) 若N是Lucas模,且M?N,則Q0(M)?N,于是Q0(M)是包含M的最小Lucas模;

3)M是Lucas模當(dāng)且僅當(dāng)Q0(M)=M;

4)Q0(Q0(M))=Q0(M);

5) 若A是M的子模,則Q0(A)?Q0(M).

證明1) 設(shè)Jz?Q0(M),其中

Jz?M?N.

注意到z∈E(M)?E(N),由命題1.5有z∈N.

3) 由2)即知.

4) 由3)即知.

5) 由于A?M?Q0(M)以及Q0(M)是Lucas模,由2)得到Q0(A)?Q0(M).

其中T(M[x])表示M[x]在R[x]的非零因子構(gòu)成的乘法封閉集S下的局部化,即

T(M[x])=M[x]S.

顯然,H是R-模.

1) 設(shè)

2)Q0(M)=H.

證明1) 類似于文獻(xiàn)[4]中命題6.4.4的證明.

2) 先證明H是M的本性擴(kuò)張,即H?E(M).

設(shè)

其中,ui∈M,i=0,1,…,n,α≠0,則

故

則

故

由dkα=uk,得到對任何i、k,有dkui=bkui=biuk,故Q0(M)?H,于是得到Q0(M)=H.

定義

于是Q0(M)作成了一個Q0(R)-模.特別地,Lucas模其實(shí)是Q0(R)-模.此外,若A是M的子模,則Q0(A)是Q0(M)的Q0(R)-子模.特別地,若I是R的理想,則Q0(I)是Q0(R)的理想.

下面給出Q0(R)的理想與R的理想的關(guān)系.

命題 1.101) 設(shè)J是R的有限生成半正則理想,則Q0(J)=Q0(R).特別地,若a∈R是非零因子,則Q0(Ra)=Q0(R).

3) 若I是R的非半正則理想,則Q0(I)是Q0(R)的非半正則理想.

4) 設(shè)a∈R,若a是R的零因子,則

Q0(Ra)?Q0(ann(ann(a))≠Q(mào)0(R).

證明1) 由J1?J,故1∈Q0(J).由于Q0(J)是Q0(R)的理想,對任意的r∈Q0(R),有r·1∈Q0(J),故Q0(R)?Q0(J),因此Q0(J)=Q0(R).特別地,a∈R是非零因子,因此ann(Ra)=0,Ra是R的有限生成半正則理想,則Q0(Ra)=Q0(R).

Q0(I)=Q0(R).

4) 因?yàn)镽a·ann(a)=0,因此

Ra?ann(ann(a)),

故有Ra?ann(ann(a))?R.從而

Q0(Ra)?Q0(ann(ann(a))≠Q(mào)0(R).

若有Q0(ann(ann(a))=Q0(R),則由命題1.10的2)知存在J∈,使得J?ann(ann(a)).于是對任何b∈ann(a),有Jb=0.由于J是半正則的,故b=0,即ann(a)=0,這與a是零因子的事實(shí)矛盾,故

Q0(ann(ann(a))≠Q(mào)0(R).

2 非半正則素理想

由命題1.10,環(huán)R與環(huán)Q0(R)之間的聯(lián)系主要依賴于非半正則理想,下面著重討論R的非半正則理想性質(zhì).

證明設(shè)N是I的有限生成子理想,則存在下標(biāo)k,使得N?Ik.由于Ik是非正則的,故annR(N)≠0.因此,I是非半正則理想.

引理 2.21) 設(shè)I是R的非半正則理想,則存在R的極大的非半正則理想m,使得I?m.

2)R的極大的非半正則理想是素理想.

證明1) 對偏序集

Γ={A|A是R的非半正則理想,且I?A},

由于I∈Γ,故Γ非空.用集合的包含關(guān)系作為序關(guān)系,則Γ就做成了一個偏序集.設(shè){Ai}是Γ中的一個鏈,由引理2.1可得A=∪Ai是R的非半正則理想.若A=R,因?yàn)镽是半正則理想,故矛盾,則A≠R,且A∈Γ,故A是理想{Ai}的上界.由Zorn引理,存在R的極大的非半正則理想m,使得I?m.

命題 2.3設(shè)p是R的素理想,則以下各條等價:

1) p是R的非半正則理想;

2)Q0(p)是Q0(R)的素理想;

3)Q0(p)≠Q(mào)0(R);

4)Q0(p)是Q0(R)的非半正則理想;

5)Q0(p)∩R=p.

2)?3) 顯然.

3)?1) 由命題1.10即得.

1)?4) 由命題1.10的3)即得.

4)?3) 顯然.

5)?3) 顯然.

定理 2.4設(shè)I是R的非半正則理想,P是Q0(I)上的極小素理想,則P是Q0(R)的非半正則理想,且P=Q0(p),其中p=P∩R.

假設(shè)反之條件成立.設(shè)z∈M,令I(lǐng)=ann(z),對m∈-Max(R),由于在Mm中,故存在s∈R,s?m,使得sz=0,故Im.由引理2.2的1),I是半正則理想,故有J∈,使得J?I,于是有Jz=0,即M是-撓模.

命題 2.6對R-模M,以下各條等價:

2)?3) 0→A→F→M→0是正合列,其中F是自由模.由命題2.6的2)有F?Q0(A).

證明在命題2.6的3)中取A=N,F=Q0(N),M=Q0(N)/N即得.

3 Q0-Noether環(huán)

下面借助上節(jié)討論的非半正則理想來引入Q0-Noether環(huán)的概念,并討論其Hilbert基性質(zhì).

定義 3.1環(huán)R稱為Q0-Noether環(huán),是指R的的任何非半正則理想的升鏈都是穩(wěn)定的,即若

I1?I2?…?In?…

是R的非半正則理想升鏈,則存在正整數(shù)m,使得當(dāng)m≥n時,恒有In=Im.

定理 3.2對環(huán)R,以下條件等價:

1)R是Q0-Noether環(huán);

2)R有關(guān)于非半正則理想的極大條件,即R的任何非半正則理想的非空集合必有極大元;

3)R的任何非半正則理想都是有限生成的.

證明1)?2) 設(shè)Γ是R的任何非半正則理想的非空集合,反設(shè)Γ中無極大元,任取I1∈Γ,則I1不是極大元,因此有I2∈Γ,使得I1?I2.由于I2也不是極大元素,故存在I3∈Γ,使得I2?I3.如此進(jìn)行下去,則在R中有一個不穩(wěn)定的非半正則理想升鏈

I1?I2?I3?…?In?…

這與R是Q0-Noether環(huán)的事實(shí)矛盾.因此,反設(shè)不成立.

2)?3) 設(shè)I是R的非半正則理想,令

Γ={A?I|A是有限生成的}.

由于0∈Γ,故Γ非空.由假設(shè)條件2)知Γ有極大元A.若A≠N,則存在z∈I-A,于是A1=A+Rz是I的有限生成子理想,且真包含A.這與A的極大性矛盾,因此I=A是有限生成的.

I=Rz1+Rz2+…+Rzk,z1,z2,…,zk∈I,

故存在一個m,使得zi∈Im,i=1,2,…,k.因此,有I=Im.于是當(dāng)n≥m時,In=Im,故該升鏈?zhǔn)欠€(wěn)定的.

命題 3.3若R的有限生成半正則理想是正則理想,則R是Q0-Noether環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R滿足非正則理想的升鏈條件.

證明顯然正則理想都是半正則理想,從而非半正則理想都是非正則理想.由命題3.3的條件,有限生成半正則理想是正則理想,故半正則理想也是正則理想,從而非正則理想都是非半正則理想,故斷語為真.

命題 3.4設(shè)R是任何環(huán),則在多項(xiàng)式環(huán)R[x]中,有限生成半正則理想是正則理想.

證明設(shè)A是R[x]的半正則理想,由文獻(xiàn)[4]中習(xí)題6.31(2),A中包含有非零因子,從而是正則理想.

結(jié)合命題3.3和命題3.4知,R[X]是Q0(R)-Noether環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R[x]滿足非正則理想的升鏈條件.下面證明關(guān)于Q0-Noether環(huán)的Hilbert基定理.

設(shè)A是R[x]的理想,用Ln(A)表示0與元素a的集合,其中a是某個n次多項(xiàng)式f∈A的首項(xiàng),則Ln(A)是R的理想.

引理 3.5設(shè)A、B是R[x]的非零理想,則有:

1) 若i≤j,則Li(A)?Lj(A);

2) 若A?B,則對任何n,有Ln(A)?Ln(B);

3) 設(shè)A?B,則A=B當(dāng)且僅當(dāng)對任何n,有

Ln(A)=Ln(B).

證明參見文獻(xiàn)[10]的引理7.12.

引理 3.61) 設(shè)A是R[x]的非正則理想,則對任何m,Lm(A)是R的非半正則理想;

2) 設(shè)I是R的非半正則理想,則I[x]是R[x]的非正則理想.

證明1) 反設(shè)Lm(A)是半正則的,則存在一個半正則理想J=(d1,d2,…,dn)?Lm(A),于是有m次多項(xiàng)式f1,f2,…,fn∈A,使得fi的首項(xiàng)系數(shù)就是di,i=1,2,…,n.因?yàn)锳是R[x]的理想,從而有

f=f1+xm+1f2+x2m+1f3+…+x(n-1)m+1fn∈A.

用c(f)表示f的系數(shù)生成的理想,則J?c(f).因此,c(f)是半正則的,故f是A中的非零因子.因?yàn)锳是R[x]的非正則理想,A不含有非零因子,故矛盾.

2) 反設(shè)I[x]是正則理想,則I[x]有非零因子f.記f=anxn+…+a1x+a0,則ai∈I,且有

J:=(a0,a1,…,an)

是R的半正則理想,這與I是非半正則的假設(shè)矛盾.

定理 3.7(Hilbert基定理) 環(huán)R是Q0-Noether環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對任何n≥1,多項(xiàng)式環(huán)R[x1,x2,…,xn]是Q0-Noether環(huán).

證明設(shè)R是Q0-Noether環(huán),為證明多項(xiàng)式環(huán)R[x1,x2,…,xn]是Q0-Noether環(huán),只需要對n=1的情形進(jìn)行證明.由命題3.3與命題3.4,只要證明R[x]滿足非正則理想的升鏈條件即可.

設(shè)A1?A2?…?An?…是R[x]的非正則理想的升鏈,對任何m、n,由引理3.6,Lm(An)是R的非半正則理想.注意當(dāng)i≤m,j≤n時,Li(Aj)?Lm(An),從而

L0(A0)?L1(A1)?L2(A2)?…

?Ln(An)?Ln+1(An+1)?…

是R的非半正則理想的升鏈.由于R是Q0-Noether環(huán),故存在m,使得

Lm(Am)=Lm+1(Am+1)=…=

Lm+k(Am+k)=….

設(shè)i≥m且j≥m,取定k,使得i≤m+k,j≤m+k,由于

Lm(Am)?Li(Ak)?Lm+k(Am+k),

則有

Li(Aj)=Lm(Am).

對固定的i,Li(A0)?Li(A1)?…?Li(An)?…是R的非半正則理想升鏈,故存在mi,使得j≥mi時,有Li(Aj)=Li(Ami).

情形1i≥m,由前面的分析知取mi=m即能滿足要求;

情形2i

綜上可知mi有上界,設(shè)為k,于是當(dāng)j≥k時,對一切i,恒有Li(Aj)=Li(Ak).由引理3.5的3),Aj=Ak,故給定的非正則理想升鏈?zhǔn)欠€(wěn)定的.因此,R[x]是Q0-Noether環(huán).

反之,設(shè)多項(xiàng)式環(huán)R[x1,x2,…,xn]是Q0-Noether環(huán),同樣只需要對n=1的情況進(jìn)行證明,即設(shè)R[x]是Q0-Noether環(huán).

設(shè)I1?I2?…?In?…是R的非半正則理想升鏈,由引理3.6的2)知

I1[x]?I2[x]?…?In[x]?…

是R[x]的非正則理想升鏈.由于R[x]是Q0-Noether環(huán),則存在正整數(shù)m,使得當(dāng)m≥n時,恒有In[x]=Im[x].自然地,當(dāng)m≥n時,恒有In=Im,從而R是Q0-Noether環(huán).

顯然Noether環(huán)是Q0-Noether環(huán).

注 3.8Q0-Noether環(huán)不是Noether環(huán)是顯然的.例如,設(shè)R是整環(huán),但不是Noether環(huán),則R的非半正則理想只有零理想,從而R是Q0-Noether環(huán),但R不是Noether環(huán).