萬廣生

三角函數(shù)最值問題側(cè)重于考查三角函數(shù)中的基本公式，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等.求解三角函數(shù)最值問題的方法很多，如換元法、數(shù)形結(jié)合法、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法等.本文主要介紹下列三種求解三角函數(shù)最值問題的措施.

一、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合法是求解三角函數(shù)問題的常用方法.將數(shù)形結(jié)合起來，可使三角函數(shù)問題變得直觀、具體.在解答三角函數(shù)最值問題時，可根據(jù)題意或者函數(shù)式的幾何意義，畫出相應(yīng)的圖形，通過分析函數(shù)圖象的變化趨勢、最高點、最低點、對稱性、周期性等，求得函數(shù)在某一個區(qū)間上的最值.有時，可將y=sinx、y=cosx、y=tanx的圖象進行伸縮、翻折、旋轉(zhuǎn)，從而得到滿足題意的圖象.

例1.

由分式可聯(lián)想到直線的斜率公式，于是將其看作定點（-3，-2）和單位圓上一點（cosx，sinx）連線的斜率.然后畫出相應(yīng)的圖形，便可通過分析圖形，明確直線的斜率取得最值的情形，再根據(jù)圓的性質(zhì)：切點到圓心的距離為半徑，建立關(guān)系式，即可求得函數(shù)式的最值.

二、利用函數(shù)的單調(diào)性

對于只含有一種函數(shù)名稱，或可化簡為只含有一種函數(shù)名稱的函數(shù)式，我們可利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的最值.若函數(shù)的定義域內(nèi)含有多個單調(diào)區(qū)間，則需根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得每個單調(diào)區(qū)間上的最值，再將所得的結(jié)果進行比較，較大的為最大值，較小的為最小值.

解答本題，需先根據(jù)輔助角公式，將函數(shù)式化簡為只含一種函數(shù)名稱的式子，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出最值.

三、利用一元二次方程的根的判別式

對于含有二次式的三角函數(shù)式，通?？刹捎门袆e式法來求最值.首先需將y看作參數(shù)，構(gòu)造關(guān)于x的一元二次方程；然后根據(jù)方程有解，建立關(guān)于判別式的不等式△≥0；再解不等式，得到對應(yīng)的解集，即可求得三角函數(shù)的最值.

例3.

利用一元二次方程的根的判別式求函數(shù)的最值，需確保方程的二次項的系數(shù)不為0.若二次項的系數(shù)為參數(shù)，則需對其進行討論.

相比較而言，第一、二種措施比較常用，且適用范圍較廣；第三種措施的適用范圍較窄，但是較為便捷.同學(xué)們在求最值時，要注意根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點，選擇與之相應(yīng)的措施進行求解.

（作者單位：甘肅省慶陽市環(huán)縣第四中學(xué)）