魏傳安,余桐

（海南醫(yī)學(xué)院 生物醫(yī)學(xué)信息與工程學(xué)院,?？?571199）

0 引言

對任意的復(fù)數(shù)x,定義移位階乘為

Long[1]提出了一個與二重級數(shù)有關(guān)的有趣猜想: 設(shè)p是任意奇素數(shù),則

Swisher[2]證明了上述猜想.

設(shè)q和x是任意復(fù)數(shù).定義q-移位階乘為

為了方便,有時候也會使用簡化符號:

本文用[r]=1+q+q2+···+qr-1表示q-整數(shù),用Φr(q) 表示q的第r階分圓多項式:

上式中:ξ是一個r次本原單位根.Gu等[3]給出了式(1)的一個q-模擬: 設(shè)n是任意的正奇數(shù),于是

如果讀者想了解最近出現(xiàn)的同余關(guān)系的q-模擬及相關(guān)的技巧,可以參見文獻(xiàn)[4-11].

根據(jù)Gasper等[12]所提出的方法,可以把q-級數(shù)定義成

設(shè)n是一個非負(fù)整數(shù),從而Watson的8?7變換公式[12]可以表達(dá)為

在式(2)中,令b→+∞,則有

利用式(2)與式(3),本文證明下面3 個定理成立.

定理 1對任意的正奇數(shù)n,有

在定理1 中,取n為一個奇素數(shù)p,令q→1,則有推論 1 的同余式.

推論 1設(shè)p是一個奇素數(shù),則

定理 2對任意的正奇數(shù)n,有

在定理2 中,取n為一個奇素數(shù)p,令q→1,則可推導(dǎo)出推論 2.

推論 2設(shè)p是一個奇素數(shù),則

定理 3對任意的正奇數(shù)n＞1,有

上式中:[n]q2=1+q2+(q2)2+···+(q2)n-1.

在定理3 中,取n為一個奇素數(shù)p,令q→1,則可得推論 3.

推論 3設(shè)p＞3是素數(shù),則

1 定理1 的證明

對式(2)進(jìn)行參數(shù)變換:

之后,可以繼續(xù)下面的計算過程:

通過關(guān)系式:

并且注意到

其中R(q) 與S(q) 表示展開式中的剩余部分,能夠推導(dǎo)出

類似地,有

由這兩個q-同余式得

由一個已知的q-同余式[5]改寫得

將式(5)和式(6)代入式(4),有

根據(jù)關(guān)系式

可推導(dǎo)出

2 定理2 的證明

對式(3)進(jìn)行參數(shù)變換:

與定理1 的證明類似,把式(5)和式(8)代入式(7),得到

考慮到這個公式與定理2 等價,于是定理2 得證.

3 定理3 的證明

通過式(2),能夠建立下列等式:

在式(5)中,用q2替換q,有

由一個已知的q-同余式[4]得

把式(10)和式(11)代入式(9),可以推導(dǎo)出

定理3 得證.