崔海波，王成軍

(1．鄭州大學水利與環(huán)境學院，鄭州450001;2．中國水利水電第十一工程局有限公司，鄭州450001)

強度是表征建筑物安全因素中很重要的方面，而應力分析是校核強度的前提。重力壩的應力分析是為了判定壩體運用期和施工期是否滿足強度和穩(wěn)定方面的要求，同時也為研究、設計和施工中有關其他問題(如確定壩體混凝土強度分區(qū)以及在某些部位的配筋等)提供依據。用材料力學方法和有限元分析法求解壩體應力是目前求解壩體應力的常用方法。本文提出利用彈性力學方法求解任意水位時壩體應力，運用等效應力法、量綱分析法等，結合Saint－Venant原理和疊加原理，通過直角坐標系與極坐標系的轉換，最后給出了可以精確計算重力壩壩體內部應力的計算表達式。

1．壩體受力的等效轉化

一般情況下，實體重力壩的上游坡率取 1∶0．2 ～1∶0，下游壩坡可采用 1∶0．8 ～1∶0．6。在合理情況下，做如圖1的簡化，上游取1∶0，下游取1∶0．75，同時下游水位和土壓力等暫不考慮。進行這種簡化的目的旨在給出合理的公式，以體現該計算方法與材料力學的比較并便于計算。如圖1為一般重力壩簡化模型，以求給出壩體內部由于自重以及上游水壓力產生的應力的計算公式。當考慮其他荷載作用時，計算模型可做同等簡化。圖2為圖1的受力情況，水位h1為任意高度，b為壩頂寬度，水的密度用ρ表示，壩體的密度用ρ1表示，斷面其他尺寸如圖1所示，由疊加原理可知圖2的受力等效于圖3、圖4、圖5與圖6的受力疊加。

2．壩體內部應力的彈性解

2．1 工況1情況下重力壩壩體內部的應力計算

如圖3，壩體受水的壓力和自重的作用，水和壩的密度分別為ρg和ρ1g，在線彈性力學范圍內，應力必然與 ρg和p1g成正比，它們的量綱為 NL－3。假定問題有多項式解，其函數形式必然為 ρgN1，ρ1gN2，N1、N2為x，y，θ的函數，N1、N2必定是x，y的一次冪函數，應力函數中x，y的冪次要比各應力分量中的x，y的冪次高2次，因此應力函數φ必定是x，y的三次多項式，即取:

式(1)滿足雙調和方程:

同時，體力分量Fx=0，Fy=ρ1g ，由公式得相應的應力分量:

邊界條件:

整理則得:

于是有:

根據應力分量的坐標轉換公式

將式(5)的結果轉換到極坐標系下，以便和下述計算結果整合。轉換后的結果如下:

2．2 其他工況下的重力壩壩體內部應力計算

基于前面的詳細解答，圖4至圖6工況下的求解過程略去，直接給出相應的應力表達式導出結果如下:圖4工況下

圖5工況下

圖6工況下

利用疊加原理，即可得出重力壩任意水位時的壩體應力計算公式，如式(7)所示:

式(7)即為圖1所示重力壩模型的壩體內應力的彈性解計算表達式。

3．分析與討論

3．1 公式準確性驗證

結合工程實例《孤山湖水庫壩址混凝土重力壩設計》，對正常蓄水位時進行合理的簡化后，其相應的數據:b=9m，H=h1+h2=84m，h1=75m，h2=9m，h3=12m，n1=1∶0，n2=1∶0．75(即 α =37°)，γ =24KN/m3(即ρg=24KN/m3)，ρg=10KN/m3。當h2=0時，即為圖3模型。采用式(7)計算壩踵應力的結果為σr=－946．62KN/m2，σθ= －522．7KN/m2，τrθ=0，而用式(6)求得結果為 σr= － 840KN/m2，σ′r= －106．7KN/m2(壩頂的等效三角形產生的應力)，σθ=－522．7KN/m2，τrθ=0?？梢姡?7)計算得到的結果與理論結果較為吻合。

3．2 蓄水位高度對壩體應力的影響

3．2．1 當h1一定時，同一高度不同θ值時的應力變化

仍以《孤山湖水庫壩址混凝土重力壩設計》為例，取正常蓄水位時計算，數據如上，取r=50m，h2=9m，y=40m，當 x=0、5m、10m、15m、20m、25m、30m 時，其計算結果關系圖如圖7，其中:曲線1、曲線2 和曲線3 分別表示σr、σθ、τrθ與x的關系，即某一水位時，同一高程，不同點處的應力變化趨勢，同時給出用材料力學方法求得的關系圖(圖8)，以做出比較。

對比圖7和圖8可知，用兩種算法得出的應力結果的總體趨勢大致相同，當水位一定時，距離壩體迎水面越遠，σr越小，起初變化快，漸漸趨于穩(wěn)定;σθ則先增后減，主要是應力疊加的結果;τrθ不斷增大，變化則先緩后急，此種情況下得出的應力值及變化趨勢較為真實。

3．2．2 當h2不同時，壩體內同一點的應力變化情況

基本參數同上例，取r=50m、θ=20°的定點作為研究對象。根據工程實際情況，最低死水位以淤泥高程等因素控制，要求 h2＜52m，所以取數據 h2=0、5m、10m、15m、20m、25m、30m、40m、50m 作為控制點，其計算結果關系圖如圖9，其中曲線1、曲線2和曲線3分別表示σr、τrθ、h2與 的關系，即壩體內某一點應力與水位的關系，同時給出用材料力學方法求得的應力關系如圖10所示，以進行比較。

通過對以插值點擬合給出的圖形分析可知，兩種算法繪出的關系曲線基本符合實際，而用彈性力學方法得出的應力值更為真實，趨勢變化較明顯，同一點的σr呈現由減到增的趨勢，應力方向不變，主要是三角形法則疊加的結果，而σθ、τrθ的值的變化也主要是壩體重與水重產生的應力疊加的結果，壩體內τrθ可以為0。根據計算結果，當h2不同時，τrθ的變化最為明顯，更需要關注。

3．3 公式的適用性

由式(7)可知，只需知道一些基本參數即可求出壩體在任意水位時的應力值及其分析。圖1為重力壩簡化的理想模型，當上游壩體存在坡率或下游斜坡線不能直接與左頂點連成直線時，均可簡化為圖1所示的模型，但要考慮上面略去的三角形荷載產生的應力，因為上述驗證結果表明這部分應力不容忽視;如若存在其他力作用到重力壩上，只需對所建議公式加以修正即可。式(7)是求解重力壩任意點應力的基本公式，根據實際情況，可以基于該式衍生出符合實際的其他形式公式。

4．結論

4．1 基于彈性力學理論計算重力壩在任意水位下的壩體應力方法為重力壩壩體應力計算提供了一種新的方法、新的思路。較之材料力學公式和有限元分析方法求解重力壩壩體應力方法，該式雖然略顯繁瑣，但卻有它的獨特之處，可以較為精確地給出任意點處的應力大小。

4．2 本文建議公式不僅可以求解任意水位時壩體應力的大小，而且基于彈性力學方法，可以求解出壩體的應變以及位移，具有較強的延伸性。

［1］徐芝綸．彈性力學簡明教程［M］．北京:高等教育出版社，1990．

［2］劉海英．彈塑性力學簡明教程［M］．北京:中國時代經濟出版社，2011．

［3］林繼鏞．水工建筑物［M］．北京:水利水電出版社，2007．

［4］孫訓方，方孝淑，關來泰．材料力學［M］．北京:高等教育出版社，2009．

［5］潘家崢．重力壩的設計［M］．北京:水利水電出版社，1995．

［6］DL5108－1999．混凝土重力壩設計規(guī)范［S］．