徐文藝

(江蘇省揚州大學旅游烹飪學院營養(yǎng)2001班，225000)

一、引言

轉(zhuǎn)眼進入大學校園已兩個多月了,通過《高等數(shù)學》課程的學習,筆者接受了現(xiàn)代數(shù)學的一些思想,對中學數(shù)學產(chǎn)生了新的認知,又觸發(fā)了我對數(shù)學的研究興趣．記得曾做個如下一道題.

這是一道能激發(fā)學生思維火花的典型習題.在初步理解“數(shù)學是研究數(shù)、形和關(guān)系的科學”的觀點后,對該題進行了再思考,獲得了新認識，本文據(jù)此對這道題再作一些探索．

二、思考

1.囿于數(shù),技巧解困

在已知函數(shù)解析式的條件下比較兩個數(shù)的大小,如果局限在“數(shù)”的認知范圍,常用的解題思路是“作差比較”或“作商比較”．

解法1(平方比較)

作差比較大小,由于題設(shè)中帶絕對值的兩個數(shù)直接作差求解時變形去絕對值比較麻煩,故采取平方比較．先估計大小，明確方向不妨取a=0,b=1時,知|f(a)-f(b)|小,這樣明確方向．于是

|f(a)-f(b)|2<|a-b|2

?2ab0,

可知恒有|f(a)-f(b)|<|a-b|成立．

解法2(作商比較)

評注從作商比較過程看,分子有理化、放縮變形是可能會遇到的困難．

2.遷移形,思路開闊

解法3(聯(lián)系平面幾何)

解法4(聯(lián)系解析幾何)

解法5(聯(lián)系向量)

解法6(聯(lián)系復(fù)數(shù))

3.放眼關(guān)系,思維提升

如果從現(xiàn)代數(shù)學的研究對象“關(guān)系”角度考慮本題的解法,還可以得到以下三種解題方法．

解法7(聯(lián)系解析幾何)

解法8(換元法)

解法9(利用中值定理)

三、啟示

記得語文老師曾說過,好戲是“捏”出來的.我感到好題也需要不斷揣摩,站在不同的觀點,就會有不同的感受.解決數(shù)學問題時觀其形、究其本,無論從哪個角度觀察,其根本是數(shù)學思想方法及其靈活運用．