李素波，張淑梅

（山西省平定縣第一中學(xué)校；北京師范大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院）

當今社會是大數(shù)據(jù)的時代，我們隨時隨地可以通過報刊、新聞媒體等渠道獲得大量數(shù)據(jù).然而，我們看到的往往不是原始數(shù)據(jù)，而是經(jīng)過處理的各類統(tǒng)計圖表，能夠從圖表中準確地讀取信息，已經(jīng)成為一個新時代公民的基本素養(yǎng).《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）更將數(shù)據(jù)分析作為六大核心素養(yǎng)之一特別提出.數(shù)據(jù)分析也是學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計部分應(yīng)該提升的基本能力.從日常的教學(xué)實踐中，筆者了解到部分教師對一些統(tǒng)計內(nèi)容的認識還不統(tǒng)一，尤其是對于由頻率分布直方圖估計總體數(shù)字特征這部分內(nèi)容.故撰寫此文，與各位同仁討論.

一、教學(xué)誤區(qū)與觀點

案例1：某教師的公開課教學(xué)片斷.

師：圖1為某班50名學(xué)生一次數(shù)學(xué)測試（滿分100分）成績的頻率分布直方圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].

師：圖1體現(xiàn)出了樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，然而原始數(shù)據(jù)丟失了.請大家思考，我們該如何利用頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？

學(xué)生思考.

師：事實上，在統(tǒng)計中，落在同一組的數(shù)據(jù)一般用中點值估計.下面誰來具體說一說如何估算這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)？

生1：我認為成績位于[)20，40的5名學(xué)生的得分都可以估為30分.同理，落在[)40，60內(nèi)的10名學(xué)生的得分都可以估為50分；落在[)60，80內(nèi)的20名學(xué)生的得分都可以估為70分；落在[ ]80，100內(nèi)的15名學(xué)生的得分都可以估為90分.這樣就可以將學(xué)生的平均成績估計為

師：很好.下面我們換一個角度來看上述平均數(shù)計算公式.經(jīng)過變形，上式可以繼續(xù)整理為.其中，30，50，70，90為各組的中點值，為相應(yīng)各組的頻率.誰來歸納一下，利用頻率分布直方圖，還可以怎樣估算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)？

生2：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)為每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和.

師：很好.我們再來思考如何利用頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)來估計眾數(shù).我們知道，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，那么在本例中，眾數(shù)是多少呢？

生3：由于70這個數(shù)據(jù)出現(xiàn)了20次，出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)就是70.

師：結(jié)合上述確定平均數(shù)和眾數(shù)的方法，我們繼續(xù)思考如何利用頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)估計中位數(shù)，誰來說一下？

生4：由于落在同一組的數(shù)據(jù)可以用中點值代替，所以成績位于[20，40)的5名學(xué)生都得了30分，同理落在[40，60)內(nèi)的10名學(xué)生都得了50分，落在[60，80)內(nèi)的20名學(xué)生都得了70分，落在[80，100]內(nèi)的15名學(xué)生都得了90分.也就是說，這已經(jīng)是一組具體可知的數(shù)據(jù)，可以認為這50名學(xué)生的成績是由5個30分，10個50分，20個70分和15個90分構(gòu)成的，按照由小到大的順序排列好之后，可以知道第25和第26個數(shù)據(jù)都是70分，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為

……

事實上，在統(tǒng)計學(xué)中，用頻率分布直方圖估計總體數(shù)字特征（包括平均數(shù)、中位數(shù)等），在沒有其他信息假設(shè)的情況下，通常認為頻率分布直方圖各小區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)是均勻分布的，并以此得到總體均值的估計公式、中位數(shù)的估計方法.

頻率分布直方圖中雖然無法體現(xiàn)原始數(shù)據(jù)，但知道每個小區(qū)間包含的數(shù)據(jù)個數(shù).均勻分布是一種常用的連續(xù)型分布，可以理解為該小組內(nèi)的幾個樣本數(shù)據(jù)是從均勻分布中抽取出來的.由于均勻分布的數(shù)學(xué)期望是中點值，所以我們可以用均勻分布的均值作為落在該小組內(nèi)的幾個樣本數(shù)據(jù)的均值的近似.例如，在該案例中，可以認為區(qū)間[)20，40內(nèi)的5個數(shù)據(jù)的均值近似為30，但不能解釋成這5個數(shù)據(jù)都是30，這是有本質(zhì)差別的.另外，從生4關(guān)于中位數(shù)的回答也可以看出，學(xué)生對于區(qū)間內(nèi)的均勻分布是缺乏理解的，誤認為同一小組內(nèi)的數(shù)都估計成中點值.

案例2：日常教學(xué)實踐中，學(xué)生提出的困惑.

曾經(jīng)有學(xué)生在課后向筆者提問：已知一個頻率分布直方圖的樣本量為100，其中區(qū)間[20，40)內(nèi)的頻率為0.1，那么[20，30)內(nèi)的頻率為什么就是0.05？[20，40)的頻率是繪制頻率分布直方圖時由頻數(shù)除以樣本量得到的，這無可厚非，但是[20，30)內(nèi)的頻率是0.05要怎么解釋呢？換句話說，[20，40)內(nèi)共10個數(shù)據(jù)，將區(qū)間一分為二，[20，30)與[30，40)內(nèi)就一定各有5個數(shù)據(jù)嗎？如果將區(qū)間劃分得更細致些，可得[20，21)內(nèi)的頻率為，進而得到在區(qū)間[20，21)內(nèi)的頻數(shù)為0.5，頻數(shù)怎么會是小數(shù)呢？如果設(shè)這10個數(shù)據(jù)中最小的數(shù)為x0，那么根據(jù)頻率分布直方圖的信息，可得[20，x0)內(nèi)的頻率為，然而卻沒有頻數(shù)，這不是矛盾了嗎？

值得肯定的一點是該生是善于思考的，但鑒于所學(xué)統(tǒng)計知識有限，有此疑問也不足為奇，這體現(xiàn)了其在用離散的眼光看問題.問題的關(guān)鍵在于學(xué)生對均勻分布的理解是淺層次的.頻率分布直方圖是從連續(xù)型隨機變量的角度出發(fā)設(shè)計的估算方法，設(shè)隨機變量X服從區(qū)間[a，b]上的均勻分布，則X落在區(qū)間[m，n]內(nèi)的概率.這里，X落在區(qū)間[m，n]內(nèi)的概率僅與該區(qū)間的長度n-m有關(guān)，與[m，n]在區(qū)間[a，b]內(nèi)的位置無關(guān).在頻率分布直方圖中，我們用這樣的連續(xù)型隨機變量的分布近似表示各區(qū)間內(nèi)樣本數(shù)據(jù)的分布肯定會產(chǎn)生誤差.因此，不能過分強調(diào)具體的離散數(shù)據(jù)是多少，這樣是不合適的，用離散的思維去解釋連續(xù)型問題，只能是近似估計，我們只是要讓這個估計更合理.例如，在該案例中，按照平均分配，[20，30)的長度為[20，40)的一半，就認為[20，30)內(nèi)的頻率為；[20，21)的長度為[20，40)的，就認為[)20，21內(nèi)的頻率為然而，對于“[20，30)內(nèi)的頻率是不是5”“[20，21)內(nèi)的頻數(shù)出現(xiàn)了小數(shù)”不應(yīng)該過分關(guān)注，只要認為其服從均勻分布就可以了.

二、案例分析

1.均勻分布

均勻分布是大學(xué)概率統(tǒng)計中最簡單的連續(xù)型隨機變量的分布，其定義如下.

事實上，在人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)3必修》（以下統(tǒng)稱“舊教材”）中的幾何概型中就出現(xiàn)過均勻分布的有關(guān)例題，教師對均勻分布的內(nèi)容是熟悉的.一般地，服從均勻分布的隨機變量落在某區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間本身的位置無關(guān)，僅取決于區(qū)間的長度.案例2中提及的學(xué)生沒有連續(xù)型隨機變量和均勻分布的認識，其實就是在理解上出現(xiàn)了問題.對此，教師要適當引導(dǎo)、及時糾正.

2.總體數(shù)字特征的估計

（1）總體均值的估計.

案例1中，在估算該班學(xué)生的平均成績時，需要學(xué)生估計頻率分布直方圖中各分組內(nèi)數(shù)據(jù)的和.對此，教師在設(shè)計教學(xué)時應(yīng)該循序漸進、逐步引導(dǎo).例如，可以讓學(xué)生思考區(qū)間[20，40)內(nèi)5個數(shù)據(jù)的和，是用5個20估計好還是用5個40估計好呢？讓他們意識到用5個20估計明顯估小了，而5個40明顯估大了，所以都不合適.[20，40)內(nèi)的均勻分布的均值為30，在沒有信息假設(shè)的情況下，統(tǒng)計中一般把5個數(shù)據(jù)的均值估計為中點值30.

不妨設(shè)區(qū)間[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]的均值依次為，顯然有，=90.設(shè)四個區(qū)間內(nèi)的頻率分別為f1，f2，f3，f4，顯然有.所以樣本數(shù)據(jù)的均值為

從運算的效果來看，似乎案例1中教師的授課方式也沒有問題，但從知識內(nèi)涵角度來看，并不可以理解為[20，40)內(nèi)的5個樣本數(shù)據(jù)全是，[40，60)內(nèi)的10個樣本數(shù)據(jù)全是，[60，80)內(nèi)的20個樣本數(shù)據(jù)全是，[80，100]內(nèi)的15個樣本數(shù)據(jù)全是.例如，這里的5×30是均值的5倍，但是不能解釋為其是5個30的和.

事實上，因為可以用頻率分布直方圖近似表示總體的分布密度，而總體的均值（數(shù)學(xué)期望）可以用分布密度得到，即取值與取該值概率的乘積之和，所以這里每個區(qū)間中點相當于取值，矩形面積近似表示取該值的概率，所以才有在頻率分布直方圖中樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.

（2）中位數(shù)的估計.

由中位數(shù)的意義，可知在樣本中有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的頻率分布直方圖的面積應(yīng)該相等.

案例1中，因為[20，60)的頻率為20×(0.005+0.01)=0.3，[20，80)的頻率為20×(0.005+0.01+0.02)=0.7，所以可知中位數(shù)位于[60，80)之間.不妨設(shè)中位數(shù)為x，則根據(jù)均勻分布，落在[60，x)內(nèi)的頻率為故有則x=70.所以在該例中，中位數(shù)的估計值為70.案例1中生4及大部分學(xué)生錯誤的根本在于陷入了“同一組內(nèi)的數(shù)據(jù)都用中點值代替”這一先入為主的誤區(qū).

（3）眾數(shù)的估計.

由于在一組具體可知的數(shù)據(jù)中，眾數(shù)定義為出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以在頻率分布直方圖中把眾數(shù)估計為最高矩形底邊中點的橫坐標.在案例1中，由于[60，80)上的矩形最高，所以眾數(shù)估計為70.然而關(guān)于這一統(tǒng)計結(jié)論也要正確理解，眾數(shù)為70分，僅說明考試成績位于[60，80)的學(xué)生人數(shù)是最多的，而不能說明成績?yōu)?0分的學(xué)生人數(shù)是最多的.

3.高考考查

利用頻率分布直方圖估計總體數(shù)字特征在高考中屢見不鮮.細心觀察就會發(fā)現(xiàn)，在估計中位數(shù)和眾數(shù)時，一般直接考查，沒有任何信息假設(shè).但是在考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)（方差）時，一般會給出“同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表”這一前提.之所以給出這一前提，筆者認為有以下幾點原因.第一，對于學(xué)生而言，想要完全理解由頻率分布直方圖估計總體數(shù)字特征的估計思想是有難度的，如連續(xù)型隨機變量、均勻分布等.一旦給出同一組中的數(shù)據(jù)用該組的中點值為代表這一前提，那么這組數(shù)據(jù)就是具體可知的，學(xué)生的思路是清晰明了的，這樣就可以大幅度降低理解和計算上的難度.第二，均值作為一組數(shù)據(jù)的代表，符合人們的直觀和經(jīng)驗，具體數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)總數(shù)除以數(shù)據(jù)總個數(shù)）和平均數(shù)估算公式（中點值與頻率乘積之和）兩種方法計算的結(jié)果是一致的，因此也能起到考查統(tǒng)計里頻率分布直方圖中平均數(shù)的估計方法的目的.第三，將平均數(shù)與方差一起考查時，給出這一前提變得十分必要.由于高中階段不涉及連續(xù)型隨機變量的方差計算，只能對一組離散的數(shù)據(jù)求方差，而方差公式與每一個樣本數(shù)據(jù)息息相關(guān)，所以必須給出這一前提才能求方差.

題目（2019年全國Ⅱ卷·文19）某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表如表1所示.

表1 產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表

（1）分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例；

（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.（精確到0.01.）

【評析】在此題的第（2）小題中，要求同時估計平均數(shù)與方差（或標準差），那么“同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表”這一前提是必須給出的，否則無法計算方差.

三、結(jié)束語

人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》中由頻率分布直方圖估計總體數(shù)字特征這一知識點的呈現(xiàn)方式上與舊教材相比，更突出了估計方法，也就是對均勻分布的滲透.作為教師，我們要正確理解教材編寫者的意圖，深入研究教材，不可斷章取義、片面理解.統(tǒng)計學(xué)關(guān)注的重點不是對與錯，而是面對實際問題如何給出更好的決策.希望通過本文，能夠幫助學(xué)生理解由頻率分布直方圖估計樣本均值、中位數(shù)、眾數(shù)等的估計思想，進一步提升學(xué)生的統(tǒng)計素養(yǎng).