南通市小海中學(xué) 張中華
本節(jié)課是普通高中教科書(shū)蘇教版選擇性必修一第一章第五節(jié)第二課時(shí),它是平面解析幾何“直線”這一章內(nèi)容的最后一節(jié).主要內(nèi)容就是點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)及應(yīng)用.為了讓學(xué)生將本章知識(shí)熟悉地帶到這節(jié)新課的公式推導(dǎo)中,筆者采用了單元教學(xué)的模式來(lái)設(shè)計(jì)本節(jié)課.以下是本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程及設(shè)計(jì)思路.
活動(dòng)一:實(shí)例引入.
如圖1,某漁排M的施工船P正在海中進(jìn)行施工作業(yè),接到臺(tái)風(fēng)預(yù)警通知:某臺(tái)風(fēng)在海洋中成型,其中心為T(mén),已知臺(tái)風(fēng)的影響范圍是半徑為r的圓形,運(yùn)行軌跡為與漁排一邊平行的直線.請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合圖2用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,來(lái)說(shuō)說(shuō)由此實(shí)例,能提出哪些問(wèn)題?
圖1
圖2
用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界(1)開(kāi)始時(shí),船P是否有危險(xiǎn)?(1)求點(diǎn)P與點(diǎn)T之間距離,與r比較(2)臺(tái)風(fēng)運(yùn)行過(guò)程中,船P是否有危險(xiǎn)?(2)求點(diǎn)P到直線的距離,與r比較(3)臺(tái)風(fēng)運(yùn)行過(guò)程中,漁排是否有危險(xiǎn)?(3)求漁排M靠近臺(tái)風(fēng)的一邊到直線的距離,與r比較
設(shè)計(jì)思路:用了常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題引入,但又用了不常規(guī)的開(kāi)放性式提問(wèn),讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)審視這個(gè)世界,充分調(diào)動(dòng)他們的積極性,讓他們發(fā)散性地去思索這個(gè)實(shí)例能帶來(lái)的問(wèn)題,并且用數(shù)學(xué)的思維來(lái)思考解決所提出的問(wèn)題.讓他們體會(huì)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的轉(zhuǎn)化過(guò)程以及用數(shù)學(xué)的思維來(lái)反饋解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
活動(dòng)二:提煉思維,引出課題(如圖3).
圖3
設(shè)計(jì)思路:對(duì)前面學(xué)生所提出的三個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,運(yùn)用單元教學(xué)模式的思想,提煉成三個(gè)距離問(wèn)題.(1)兩點(diǎn)之間距離(已學(xué)知識(shí));(2)點(diǎn)到直線距離(本課所學(xué));(3)直線到直線之間的距離(本課知識(shí)擴(kuò)充).再借助兩點(diǎn)之間距離公式的推導(dǎo)方法進(jìn)而衍生點(diǎn)到直線距離的推導(dǎo)方法,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化出兩平行直線之間的距離公式的推導(dǎo)方法.
活動(dòng)三:深入探究,推導(dǎo)公式(如圖4).
圖4
組織學(xué)生分組討論,把推導(dǎo)點(diǎn)到直線距離公式的三種方法具體化,讓學(xué)生對(duì)具體的思維明朗化.接下去,學(xué)生分組推導(dǎo)公式并上臺(tái)展示.
即
兩式分別平方并相加,得
(A2+B2)[(x1-x0)2+(y1-y0)2]=(Ax0+By0+C)2.
通過(guò)整體思想,能簡(jiǎn)化運(yùn)算.
又PQ是Rt△PMN斜邊上高,則
生?。悍ㄈ?設(shè)點(diǎn)T(x,y),則PT2=(x-x0)2+(y-y0)2,消去y化簡(jiǎn),得
生戊:以上的解答都要對(duì)A=0及B=0加以檢驗(yàn).
設(shè)計(jì)思路:以學(xué)生小組討論的方式,并用流程圖的形式把三種方法的思維明朗化.在此過(guò)程中,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,并且使他們對(duì)三種方法的理解更加徹底.之后讓學(xué)生分組合作推導(dǎo)公式以加深學(xué)生對(duì)方法的理解及提升處理多參數(shù)的運(yùn)算能力.在運(yùn)算的過(guò)程中,學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)法一可通過(guò)整體思想來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算,可以此加深學(xué)生對(duì)整體思想的運(yùn)用,這樣為以后直線與圓及直線與圓錐曲線中的整體計(jì)算打下鋪墊.最后,由學(xué)生來(lái)指出推導(dǎo)過(guò)程要縝密并對(duì)特殊情況加以驗(yàn)證.這樣,既增強(qiáng)了學(xué)生的邏輯思維能力和合作能力,又加深了數(shù)學(xué)思維的縝密性,一舉多得.
活動(dòng)四:運(yùn)用公式,加深理解.
引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)兩條平行直線Ax+By+C1=0,Ax+By+C2=0(C1≠C2)之間的距離公式.
生:兩條平行直線間的距離,在一條直線上取點(diǎn),即可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.
過(guò)程如下:在Ax+By+C1=0上取點(diǎn)P(x0,y0),則點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+C2=0的距離
又Ax0+By0+C1=0,即Ax0+By0=-C1,則
師:至此,回到板書(shū),就可補(bǔ)充完整了.
例1分別求點(diǎn)P(-1,2)到下列直線的距離:
(1)y=-2x+10;(2)3y+5=0;(3)3x=2.
例2求兩條平行直線x+3y-4=0與2x+6y-9=0之間的距離.
例3已知直線l過(guò)原點(diǎn),且點(diǎn)M(5,0)到直線l的距離為3,求直線l的方程.
設(shè)計(jì)思路:通過(guò)推導(dǎo)兩條平行直線間的距離公式加深學(xué)生對(duì)形的認(rèn)識(shí)以及形轉(zhuǎn)化為數(shù)的能力,并且加深對(duì)點(diǎn)到直線距離公式的理解.通過(guò)例1加深學(xué)生對(duì)公式的運(yùn)用并且對(duì)直線垂直于x軸或平行于x軸這兩種特殊情況的認(rèn)識(shí),即可直觀地從形解決,亦可應(yīng)用公式.通過(guò)例2,引導(dǎo)學(xué)生注意兩條平行直線間距離公式的細(xì)節(jié),即直線一般式方程中x,y前的系數(shù)應(yīng)相等.通過(guò)例3,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式真正在具體問(wèn)題中的應(yīng)用能力.
本節(jié)課的板書(shū)設(shè)計(jì)即為活動(dòng)二中的圖3.本文中的課堂設(shè)計(jì),在立意上沒(méi)有單純地從點(diǎn)到直線的距離這一知識(shí)點(diǎn)出發(fā),而是通過(guò)單元教學(xué)模式,由具體的實(shí)例,把這一章節(jié)中的三個(gè)距離統(tǒng)一地提煉出來(lái),讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題.這樣,加深學(xué)生對(duì)這三個(gè)距離之間關(guān)系的認(rèn)識(shí),更加透徹地理解知識(shí)的本質(zhì).