孫兆樂，程林松，賈 品，金子一，張向陽

(中國石油大學(北京)，北京 102249)

0 引 言

產(chǎn)量遞減分析對油氣田的開發(fā)部署規(guī)劃及生產(chǎn)動態(tài)預測具有重要意義。目前，油氣井產(chǎn)量遞減分析方法主要為經(jīng)驗遞減法[1-3]及現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析[4-7]。常規(guī)油井產(chǎn)能評價主要采用Arps遞減分析[2]，能快速擬合油井的生產(chǎn)動態(tài)并進行預測。Ilk等[8]和Valko等[9]分別改進了Arps遞減方法，使其適用于非穩(wěn)態(tài)階段及非常規(guī)油氣井。但經(jīng)驗遞減法要求井底流壓不變，且只能對油井的遞減趨勢做出判斷?，F(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析是油氣藏工程研究熱點之一[10]，主要為Fetkovich遞減曲線圖版和Blasingame遞減曲線圖版[11]。Fetkovich[12]將Arps遞減曲線分析范圍擴展至早期不穩(wěn)定流動階段；Pratikno等[13]建立了不同導流能力下，圓形封閉油藏中有限導流垂直裂縫井的Fekotvich-McCray圖版；Doublet等[14]引入產(chǎn)量積分，減弱了擬合多解性。Fetkovich類方法主要適用于定壓生產(chǎn)井[15]。Blasingame等[16]引入了物質(zhì)平衡擬時間函數(shù)和擬壓力規(guī)整化產(chǎn)量，考慮到了產(chǎn)量和井底流壓的變化情況,將邊界流階段變?yōu)橐粭l調(diào)和遞減曲線；Agarwal等[17]建立了Agarwal-Gardner圖版，降低了擬合分析的多解性；Blasingame等[18-19]建立了NPI產(chǎn)量積分圖版，減少了分散數(shù)據(jù)的影響。Blasingame類方法更多應用于氣井的產(chǎn)能分析[11]。

投產(chǎn)初期的油井處于高產(chǎn)能狀態(tài)，產(chǎn)量和井底壓力未出現(xiàn)明顯遞減趨勢。油井生產(chǎn)數(shù)據(jù)的變化更多源自生產(chǎn)制度的調(diào)整，由于每天開井生產(chǎn)的時間不固定，日產(chǎn)量并不能代表油井正常生產(chǎn)時的產(chǎn)能，常用產(chǎn)量遞減分析方法并不適用。因此，利用杜哈美原理[20]，將油井變產(chǎn)量生產(chǎn)的產(chǎn)能評價問題轉(zhuǎn)化定產(chǎn)量形式，提出規(guī)整化產(chǎn)量和和物質(zhì)平衡時間2個評價指標，使變產(chǎn)量動態(tài)數(shù)據(jù)規(guī)整并具有規(guī)律性，便于建立對油井產(chǎn)能的初步認識。將分析結(jié)果與典型圖版進行曲線擬合，進而反演解釋儲層參數(shù)。

1 油井變產(chǎn)量生產(chǎn)滲流數(shù)學模型

假設(shè)地層均質(zhì)、等厚，原始地層壓力為pi，圓形地層封閉邊界中心有一口直井，以不定產(chǎn)量q(t)進行生產(chǎn)，流體為單相油、微可壓縮，徑向流入井筒，不考慮溫度變化。該物理模型的滲流數(shù)學方程表達式為[20]：

(1)

(2)

式中：p為地層壓力，MPa；pi為原始地層壓力，MPa；rw為井筒半徑，m；r為地層測試點到井筒中心的距離，m；re為地層邊界到井筒中心的距離，m；K為儲層滲透率，mD；η為導壓系數(shù)；Ct為綜合壓縮系數(shù)；μ為流體黏度，mPa·s；h為儲層厚度，m；q為油井日產(chǎn)量，m3/d；t為時間，d。

引入無量綱物理量：

(3)

(4)

(5)

式中：pD為無因次壓力；rD為無因次距離；tD無因次時間；φ為孔隙度；B為流體體積系數(shù)。

利用杜哈美定理求解圓形封閉邊界直井變產(chǎn)量生產(chǎn)的壓力解：

(6)

式中：τ為輔助計算變量；pwf為井底壓力，MPa；q(τ)為非時間變量邊界條件下的產(chǎn)量，m3。

式(6)中，pD(t-τ)為圓形地層封閉邊界直井定產(chǎn)量生產(chǎn)的壓力解，Earlugher等[21-23]給出了確定定產(chǎn)解：

(7)

式中：S為表皮系數(shù)；J0為第一類零階貝塞爾函數(shù)；xn為第一類一階貝塞爾函數(shù)的根；n為無窮級數(shù)計數(shù)器。

對式(6)中含時間項進行離散化處理：

(8)

式中：tj為第j天；tm為當前時間，d。

將生產(chǎn)井邊界條件r=rw代入式(7)得到定產(chǎn)量解，得到圓形有界地層中心一口生產(chǎn)井以定產(chǎn)量生產(chǎn)時的井底壓力解：

(9)

式中：pw為定產(chǎn)量井底壓力，MPa。

將式(9)代入式(8)，得到井底流壓解：

(10)

(11)

式中：Q為累計產(chǎn)油量，t。

壓力波傳播到邊界后，無窮級數(shù)項可忽略，式(10)可化簡為：

(12)

將式(12)兩邊同時除以q(t)，得到圓形有界地層變產(chǎn)量生產(chǎn)井底壓力近似解：

(13)

(14)

(15)

式中：tcr為物質(zhì)平衡時間,d；JNo為規(guī)整化產(chǎn)量，m3/MPa。

對于油井的變產(chǎn)量生產(chǎn)情況，基于杜哈美原理推導處理后，通過引入物質(zhì)平衡時間及規(guī)整化產(chǎn)量進行表征，使油井壓力與產(chǎn)量的關(guān)系在形式上與定產(chǎn)量相同，將不規(guī)律的油井生產(chǎn)數(shù)據(jù)規(guī)整化，變量本身不具有物理意義。該數(shù)據(jù)處理方法簡便，使得基于常規(guī)定壓解的動態(tài)分析方法可以適用，實現(xiàn)了變產(chǎn)量油井的定量評價。

2 油田地層參數(shù)的反演解釋

典型圖版的曲線擬合是現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析方法的核心，即將實測曲線與樣版曲線進行擬合進而求解儲層參數(shù)[11]。實測曲線是預處理后的油井規(guī)整化產(chǎn)量與物質(zhì)平衡時間的雙對數(shù)曲線，而圖版是依據(jù)理論模型的動態(tài)特征繪制的曲線。在相同的坐標系及坐標比例下，通過將實測數(shù)據(jù)在圖版內(nèi)上下左右平移，使理論曲線和實測曲線重合度達到最佳，再根據(jù)重合點的比例關(guān)系，從而求得儲層的物性參數(shù)。

采用Stehfest數(shù)值反演方法，可以獲得經(jīng)歸一化處理后的規(guī)整化產(chǎn)量遞減曲線圖版，利用圖版擬合就可反演儲層的關(guān)鍵參數(shù)。擬合步驟為：①輸入基礎(chǔ)地層參數(shù)、關(guān)鍵參數(shù)初始值、油井生產(chǎn)數(shù)據(jù)；②生產(chǎn)數(shù)據(jù)歸一化預處理；③求取油井的定產(chǎn)量生產(chǎn)的壓力解；④利用杜哈美原理，得到變產(chǎn)量生產(chǎn)井底壓力的解；⑤利用物質(zhì)平衡方法、結(jié)合牛頓迭代法進行曲線擬合；⑥輸出擬合結(jié)果。

3 數(shù)值模擬模型驗證

為了驗證所建立油井變產(chǎn)量生產(chǎn)數(shù)據(jù)評價方法的準確性，運用油藏商業(yè)數(shù)值模擬軟件tNavigator?，建立封閉邊界圓形地層中心一口直井變產(chǎn)量生產(chǎn)的數(shù)值模型，地層為均質(zhì)、等厚，流體為單相油、微可壓縮，儲層、流體相關(guān)參數(shù)見表1。設(shè)定油井以不同的日產(chǎn)量進行生產(chǎn)。

表1 數(shù)值模擬模型相關(guān)參數(shù)Table 1 The relevant parameters of numerical simulation model

為了充分模擬油井的早期以不定產(chǎn)量投產(chǎn)的工作模式，設(shè)置100、200、300、400 m3/d 4個日產(chǎn)油量，每個日產(chǎn)油量生產(chǎn)3個月，1 a為1個周期。開井投產(chǎn)3 a，模型油井的產(chǎn)量并沒有出現(xiàn)遞減趨勢，因此，傳統(tǒng)產(chǎn)量遞減分析方法不適用。圖1為模型運行的含油飽和度結(jié)果，判斷油井的最終井控半徑約為820 m。

圖1 數(shù)值模擬含油飽和度結(jié)果Fig.1 The numerical simulation results of oil saturation

將模型油井變產(chǎn)量制度生產(chǎn)的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)進行預處理，轉(zhuǎn)化為規(guī)整化產(chǎn)量和物質(zhì)平衡時間2個新評價指標，繪制二者關(guān)系圖(圖2a)。由圖2a可知：規(guī)整化產(chǎn)量與物質(zhì)平衡時間呈明顯負相關(guān)，生產(chǎn)動態(tài)數(shù)據(jù)具有規(guī)律性；曲線截距可以判斷油井初始產(chǎn)能高低，遞減率反映了擬采油指數(shù)遞減的快慢，這種處理方法可以用于定量評價開發(fā)時間不長的變產(chǎn)量生產(chǎn)油井的產(chǎn)能。

將模型油井的儲層地層參數(shù)及生產(chǎn)數(shù)據(jù)導入擬合程序，生產(chǎn)數(shù)據(jù)進行歸一化處理計算得到規(guī)整化產(chǎn)量及物質(zhì)平衡時間，并繪制雙對數(shù)曲線，在圖版上尋求最佳擬合曲線，擬合結(jié)果見表2及圖2b。由表2可知：反演參數(shù)與模型初始參數(shù)相比，相對誤差不超過10%，證明通過規(guī)整化產(chǎn)量及物質(zhì)平衡時間反演解釋地層參數(shù)的方法準確性高。由圖2b可知：曲線表現(xiàn)出典型的現(xiàn)代產(chǎn)量遞減曲線理論圖版的特征，規(guī)律性明顯，典型圖版包括不穩(wěn)定流和邊界流2個流動階段。當圖版曲線均與實測曲線重合后，根據(jù)重合點和重合曲線的特征參數(shù)，計算相關(guān)的地層參數(shù)。

4 實例分析

以大慶油田P1-2井為例，其地層參數(shù)見表3，典型井的生產(chǎn)動態(tài)見圖3。由圖3可知，該井投產(chǎn)時間不足2 a，單井日產(chǎn)油量波動較大，且沒有出現(xiàn)明顯遞減趨勢，難以利用常規(guī)產(chǎn)量遞減分析方法評價。通過生產(chǎn)數(shù)據(jù)的預處理，得到其物質(zhì)平衡時間及規(guī)整化產(chǎn)量指標，利用程序擬合出變產(chǎn)量生產(chǎn)油井的早期遞減曲線及遞減公式(圖4)，可作為評價油井產(chǎn)能的依據(jù)。

圖2 數(shù)值模型井生產(chǎn)數(shù)據(jù)預處理及圖版擬合結(jié)果Fig.2 The numerical model well production data preprocessing and plot fitting results

表2 程序反演解釋參數(shù)與數(shù)值模型參數(shù)及誤差Table 2 The program inversion interpretation parameters and numerical model parameters and errors

由圖4可知：油井的流動已經(jīng)達到了邊界流階段，滿足利用典型圖版進行反演分析；不穩(wěn)定流階段的擬合存在多解性，參考測井解釋、產(chǎn)能結(jié)果進行分析；邊界流階段利用圖版確定的井控儲量基本一致。利用上述典型圖版擬合方法，最終獲得擬合結(jié)果(圖5、表4)，與DST解釋結(jié)果對比，相對誤差在合理范圍內(nèi)。

表3 典型井地層參數(shù)Table 3 The formation parameters of typical wells

圖3 P1-2井的生產(chǎn)動態(tài)Fig.3 The production dynamics of Well P1-2

圖4 規(guī)整化產(chǎn)量-物質(zhì)平衡時間擬合遞減曲線Fig.4 The normalized production-material balance time fitting decline curve

圖5 規(guī)整化產(chǎn)量遞減曲線圖版反演結(jié)果Fig.5 The inversion results of normalized production decline curve plot

表4 程序反演解釋參數(shù)及誤差Table 4 The program inversion interpretation parameters and errors

5 結(jié) 論

(1) 基于杜哈美原理，可將圓形有界地層單井變產(chǎn)量壓力與產(chǎn)量解轉(zhuǎn)化為圓形有界地層定產(chǎn)解。

(2) 以變產(chǎn)量制度生產(chǎn)的油井，僅利用常規(guī)生產(chǎn)數(shù)據(jù)日產(chǎn)量和井底流壓，經(jīng)規(guī)整化產(chǎn)量及物質(zhì)平衡時間2個新評價指標預處理后，生產(chǎn)曲線表現(xiàn)出定產(chǎn)井遞減圖版特征，實現(xiàn)了對油井變產(chǎn)量生產(chǎn)動態(tài)數(shù)據(jù)的定量分析，成本低，資料來源廣泛。

(3) 在規(guī)整化產(chǎn)量遞減曲線典型圖版中，利用多條曲線來輔助擬合，定量反演解釋儲層參數(shù)，對確定單井井控儲量、合理部署油井分布、節(jié)約建設(shè)資源具有重要意義。