付興建，呂永霞，嚴航

(北京信息科技大學 自動化學院，北京 100192)

0 引言

容錯控制是當電子控制系統(tǒng)的傳感器、執(zhí)行器等部件出現(xiàn)故障時仍能保持系統(tǒng)性能的一種方法。設計魯棒容錯控制系統(tǒng)時，需要同時考慮系統(tǒng)故障、建模誤差和外界干擾等不確定因素的影響[1-3]。當前容錯控制系統(tǒng)的研究集中在設計合適的控制機制，解決系統(tǒng)執(zhí)行器、傳感器、系統(tǒng)本身和關聯(lián)鏈接等機構各類故障的自動補償和抑制，以及不同故障模式下的性能優(yōu)化問題[4-6]。隨著高精尖技術的發(fā)展，魯棒容錯控制有很廣泛的應用前景。

Markov系統(tǒng)是一類包含連續(xù)時間狀態(tài)變量和離散時間模態(tài)變量的混雜系統(tǒng)或隨機系統(tǒng)，可用于描述受隨機突變和環(huán)境變化影響的系統(tǒng)，這與網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的特性比較一致。Markov系統(tǒng)主要由兩部分組成，其中一部分是Markov的跳變參數(shù)模態(tài)，通過從有限個離散事件的集合中選取得到；另一部分是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，它是隨時間而變化的量。Markov系統(tǒng)可以用來描述廣泛的實際系統(tǒng)，包括航空航天系統(tǒng)、制造系統(tǒng)、電力系統(tǒng)和無人機編隊系統(tǒng)等[7-8]。特別地，由于元器件故障或外界的環(huán)境變化、網(wǎng)絡延遲等隨機突變現(xiàn)象，系統(tǒng)發(fā)生結(jié)構或者參數(shù)上的突然變化，這時系統(tǒng)往往可以抽象為Markov跳變系統(tǒng)模型進行建模和分析。近年來，Markov系統(tǒng)的研究成為熱點，主要研究包括穩(wěn)定性與控制設計、故障檢測與容錯控制等[9-11]。

本文針對具有隨機不確定時延的Markov網(wǎng)絡系統(tǒng)，對系統(tǒng)自身存在的各種元器件故障和外界擾動的情況進行分析，給出了故障模型；考慮雙網(wǎng)絡時延，設計了依賴網(wǎng)絡時延的狀態(tài)反饋控制器；基于Lyapunov穩(wěn)定理論，研究了隨機Markov系統(tǒng)在執(zhí)行器故障和擾動情況下的魯棒容錯控制。對系統(tǒng)中存在不同特性的傳感器故障，給出了魯棒容錯控制律存在的條件，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定并且滿足一定的干擾抑制水平，保證了隨機不確定時延的Markov網(wǎng)絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性，降低了系統(tǒng)對故障的敏感度。最后，通過應用仿真，將所提出的方法應用于四旋翼無人機姿態(tài)系統(tǒng)，仿真了系統(tǒng)在干擾和故障發(fā)生后，其姿態(tài)的響應變化曲線，驗證了容錯控制方法的有效性。

1 故障建模

故障建模針對如下系統(tǒng)：

(1)

式中：x(t)為系統(tǒng)狀態(tài)向量；y(t)為輸出；ε(t)為外部擾動;A、B、C、D是適當維數(shù)的常數(shù)矩陣。

i=1,2,…,m

(2)

定義：

(I-ρ(t))u(t)+Ω(t)

(3)

其中：

ρ(t)=diag{ρ1(t)ρ2(t) …ρm(t)}

Ω(t)=diag{Ω1(t)Ω2(t) …Ωm(t)}

式中I為適當維數(shù)的單位矩陣。

現(xiàn)對系統(tǒng)作如下假設。

假設1：系統(tǒng)內(nèi)的所有狀態(tài)都是能觀測的。

假設2：在執(zhí)行器故障下，系統(tǒng)是能控的。

則結(jié)合故障情況的狀態(tài)空間表達式，有：

(4)

2 Markov系統(tǒng)魯棒容錯控制器設計

2.1 問題描述

假設τ1(t)表示系統(tǒng)傳感器到其控制器的網(wǎng)絡時延；τ2(t)表示系統(tǒng)控制器到目標執(zhí)行器的網(wǎng)絡時延。假設τ1(t)、τ2(t)為任意隨機的Markov鏈，記為τ1(η1(t))、τ2(η2(t))。其中，η1(t)、η2(t)是連續(xù)時間的Markov隨機過程，分別表示網(wǎng)絡時延τ1(t)和τ2(t)的模態(tài)，并且相應的有限狀態(tài)集合分別為S1={1,2,…,N1}和S2={1,2,…,N2}，而η1(t)所對應的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

(5)

(6)

假設所考慮的系統(tǒng)狀態(tài)是可觀測的，則可設計如下的依賴網(wǎng)絡時延的狀態(tài)反饋控制器：

uT(t)=Kx{t-τ1[η1(t)]-τ2[η2(t)]}

(7)

式中：uT(t)為到達執(zhí)行器端的控制輸入；K為待求的魯棒容錯控制器；η1(t)∈S1,η2(t)∈S2。

考慮時延、不確定性以及外部干擾ε(t)，可把系統(tǒng)(1)寫為如下形式：

(8)

[ΔAΔB]=HF(t)[V1V2]

(9)

式中：H、V1、V2為適當維數(shù)的實常數(shù)矩陣。

2.2 魯棒容錯控制器設計

在給出本文主要結(jié)論之前，先給出如下定義和引理。

(10)

成立，則稱系統(tǒng)是約束條件下穩(wěn)定的。

定義2在零初始條件下，假定γ>0，對于任意非零外部擾動輸入ε(t)∈L2[0,∞)，若滿足

(11)

則稱由式(7)和式(8)組成的閉環(huán)系統(tǒng)滿足H∞性能γ。

引理[12]給定適當維數(shù)矩陣Y=YT和矩陣R1、R2，則

(12)

對所有滿足Σ(t)TΣ(t)≤I的矩陣Σ(t)成立，當且僅當存在一個常數(shù)κ>0，使得：

(13)

接下來，給出在魯棒容錯控制器作用下，隨機不確定時延Markov系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。

(14)

其中：

Π22=-R1-R2，Π42=B(I-ρ(t))K，Π43=BΩ，

Π51=R2A，Π52=R2B(I-ρ(t))K，Π61=V1P則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并且具有H∞性能。式中*表示矩陣的對稱轉(zhuǎn)置部分。

證明定義隨機過程{x(t),τ1(η1t),τ2(η2t)}，其中x(t)=x(t+s)，s∈[-τ1(η1t)-τ2(η2t),0]，另外，η1t和η2t分別表示η1(t)和η2(t)，則可得該隨機過程為強Markov過程。構造Lyapunov泛函：

V(xt,η1t,η2t)=V0(xt,η1t,η2t)+

V1(xt,η1t,η2t)+V2(xt,η1t,η2t)

(15)

式中：

V0(xt,η1t,η2t)=xT(t)Px(t)

(16)

(17)

其中：

(18)

其中：

ΔV(xt,a,b)≤

xT(t)HTP(a,b)(Ax(t) +B(I-ρ(t))Kx(t-

τ1(a)-τ2(b))) +(Ax(t)+B(I-ρ(t)Kx(t-

τ1(a)-τ2(b)))TP(a,b)Hx(t) +

τ2(η2))R1x(t-τ1(η1)-τ2(η2)) +

ξT(t)Ν(a,b)ξ(t)

(19)

其中：

ξT(t)=[xT(t)xT(t-τ1(a)-τ2(b))]；

Va(t)=Ax(t)+B(I-ρ(t))Kx(t-

τ1(a)-τ2(b))；

N(a,b)=

(20)

根據(jù)Schur補引理，結(jié)合式(14)可得N(a,b)<0。

[V(x(T),η1(T),η2(T))]-[V(x0,η10,η20)]=

(21)

當T→∞時，對上述不等式兩端取極限，可得：

(22)

Ψ(Φ,η10,η20)

(23)

根據(jù)定義1，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

下面證明系統(tǒng)滿足H∞性能。根據(jù)以上證明，有：

ΔV(xt,a,b)≤ζT(t)Ξ1(a,b)ζ(t)

(24)

式中：ζ(t)=[ξT(t)εT(t)]T

Ξ1(a,b)=

對如下泛函指標：

(25)

在零初始條件下則有：

V(x0,η10,η20)=0，V(x(∞),η1(∞),η2(∞))≥0

(26)

可得：

J=

V(x(∞),η1(∞),η2(∞))≤

(27)

將式(25)代入(29)可得：

γ-1zT(t)z(t)-γεT(t)ε(t)+ΔV(xt,t,a,b)≤

ξT(t)γ-1CTCξ(t)-γεT(t)ε(t)+

ζT(t)Ξ1(a,b)ζ(t)≤ζT(t)Ξ2(a,b)ζ(t)

(28)

式中：

Ξ2(a,b)=

μ[ABK]TR2[ABK]+γ-1CTC

再結(jié)合Schur補引理，對于所有的ε(t)∈L2[0 ∞)，當ζ(t)≠0時，即有

(29)

根據(jù)定義2，系統(tǒng)滿足H∞性能。

3 應用仿真研究

在四旋翼無人機姿態(tài)控制系統(tǒng)中，由于控制系統(tǒng)可能會存在元器件故障或外界環(huán)境變化等隨機突變現(xiàn)象，這時，姿態(tài)控制系統(tǒng)可以抽象為Markov系統(tǒng)模型進行建模和分析。

本文以某種四旋翼無人機[13]為例，對所提出的具有隨機不確定時延Markov網(wǎng)絡系統(tǒng)的魯棒容錯控制進行應用仿真研究。

其中：

為簡便，假設轉(zhuǎn)移概率矩陣為

其他參數(shù)選取：時延τ1(t)=0.1sint；τ2(t)=0.2cost；F(t)=0.1sint。

在無故障和擾動情況下，取Ωi=0，ρ=0。由(14)式可解得

K=

此時，俯仰角、滾轉(zhuǎn)角和偏航角姿態(tài)變化，如圖1～3所示?？煽闯觯到y(tǒng)在無故障情況下，能快速達到穩(wěn)定。

圖1 俯仰角曲線

圖2 滾轉(zhuǎn)角曲線

圖3 偏航角曲線

K=

則無人機的俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角曲線變化，如圖4～6所示。

圖4 故障時俯仰角曲線

圖5 故障時滾轉(zhuǎn)角曲線

圖6 故障時偏航角曲線

從仿真結(jié)果圖4～6看出，無人機在干擾和故障發(fā)生后能漸近恢復至穩(wěn)定狀態(tài)，表明加入外部擾動和故障時，系統(tǒng)能快速檢測到發(fā)生故障，調(diào)用相應的控制策略，實現(xiàn)對故障的有效容錯控制，保證無人機在執(zhí)行器部分失效的情況下仍能穩(wěn)定，確保了無人機安全可靠運行，驗證了設計的魯棒容錯控制器的有效性。

4 結(jié)束語

本文以隨機不確定時延Markov網(wǎng)絡系統(tǒng)為對象，研究了系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障和受到外界干擾時的魯棒容錯控制。以Lyapunov理論為基礎，設計了依賴網(wǎng)絡時延的魯棒容錯控制器，給出了網(wǎng)絡系統(tǒng)魯棒容錯控制器存在的條件。最后，進行了無人機應用仿真研究，驗證了魯棒容錯控制器的有效性。

本文只是研究了轉(zhuǎn)移概率已知情形下Markov網(wǎng)絡系統(tǒng)的魯棒容錯控制問題，對于轉(zhuǎn)移概率部分未知和完全未知情形下的Markov系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒容錯控制問題還需要進一步的探討。