劉登峰,潘 飚

(福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 福州 350117)

1 引言

本文中的亞純函數(shù)均指復(fù)平面上的亞純函數(shù).設(shè)f是非常數(shù)亞純函數(shù),采用亞純函數(shù)唯一性理論中的一些基本記號(hào)和結(jié)論[1-2],如T(r,f),N(r,f),N(r,f),m(r,f)等.令S(r,f)表示任意滿足S(r,f)=o{T(r,f)}(r→+∞,r∈/E)的量,其中E是一個(gè)有窮線性測(cè)度的集合,S(r,f)每次出現(xiàn)時(shí)E可能不相同.若對(duì)亞純函數(shù)a,有T(r,a)=S(r,f),則稱a為f的一個(gè)小函數(shù).表示f的零點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù),其中當(dāng)f的零點(diǎn)重?cái)?shù)m≤k時(shí),計(jì)m次;當(dāng)m＞k時(shí),計(jì)k次.表示f-a的零點(diǎn)重?cái)?shù)m≤k的計(jì)數(shù)函數(shù),表示f-a的零點(diǎn)重?cái)?shù)m≥k的計(jì)數(shù)函數(shù).

下面我們介紹由Lahiri I[3-4]引進(jìn)的權(quán)分擔(dān)記號(hào).

定義1.1設(shè)f,g是兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù),a∈C∪{∞},k為一正整數(shù)或∞.Ek(a,f)表示f-a的所有零點(diǎn),若零點(diǎn)重?cái)?shù)m≤k時(shí),計(jì)m次;若m＞k時(shí),計(jì)k+1次.若Ek(a,f)=Ek(a,g),則稱f和g以權(quán)k分擔(dān)a.

這里記f和g分擔(dān)(a,k)表示f和g以權(quán)k分擔(dān)a.顯然若f和g分擔(dān)(a,k),那么對(duì)任意的p(0≤p＜k),p為整數(shù),都有f和g分擔(dān)(a,p),同時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)f和g分擔(dān)(a,0)(或(a,∞))時(shí),f和g分擔(dān)aIM(或aCM).

設(shè)S是一個(gè)復(fù)數(shù)集合,f和g是兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù),定義

若Ef(S,k)=Eg(S,k),則稱f和g以權(quán)k分擔(dān)集合S,若Ef(S,∞)=Eg(S,∞),則稱S為f和g的CM公共值集;若Ef(S,0)=Eg(S,0),則稱S為f和g的IM公共值集.顯然.

在亞純函數(shù)值分布理論中,一個(gè)著名的問(wèn)題是1959年由Hayman W K[5]提出的,即設(shè)f是復(fù)平面上超越亞純函數(shù),n為正整數(shù),則fnf′取可能為零以外的任意復(fù)數(shù)無(wú)窮多次.上述問(wèn)題直到1995年才被陳懷惠和方明亮[6],Zalcman L[7]分別證得.針對(duì)上述著名的Hayman問(wèn)題,楊重駿與華歆厚[8]研究了微分單項(xiàng)式的唯一性并獲得了下述定理.

定理1.1[8]設(shè)f,g是兩個(gè)非常數(shù)整函數(shù)(亞純函數(shù)),n＞6(n＞11)是正整數(shù),若fnf′與gng′分擔(dān)1 CM,則或者f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常數(shù),且滿足(c1c2)n+1c2=-1,或者f(z)≡tg(z)且滿足tn+1=1.

近20年來(lái),許多復(fù)分析學(xué)者對(duì)微分多項(xiàng)式的唯一性問(wèn)題開(kāi)始了廣泛的研究并獲得了豐富的成果,詳見(jiàn)文獻(xiàn)[9–13].注意到,,進(jìn)而方明亮[9]考慮了定理1.1中k階導(dǎo)數(shù)的情形并獲得了下述結(jié)果.

定理1.2[9]設(shè)f,g是兩個(gè)非常數(shù)整函數(shù),n,k均為正整數(shù)且滿足n＞2k+4,若(fn)(k)與(gn)(k)分擔(dān)1 CM,則或者f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常數(shù),且滿足(-1)k(c1c2)n(nc)2k=1,或者f(z)≡tg(z)且滿足tn=1.

定理1.3[9]設(shè)f,g是兩個(gè)非常數(shù)整函數(shù),n,k均為正整數(shù)且滿足n＞2k+8,若(fn(f-1))(k)與(gn(g-1))(k)分擔(dān)1 CM,則f(z)≡g(z).

2008年,張曉宇等人[10]進(jìn)一步將定理1.3中的(fn(f-1))(k)推廣到(fnP(f))(k),其中P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0為m次非零多項(xiàng)式,得到了如下結(jié)果.

定理1.4[10]設(shè)f,g是兩個(gè)非常數(shù)整函數(shù),n,k,m均為正整數(shù)且滿足n＞3m+2k+5,P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0或P(z)≡c0,其中a0/0,a1,···,am-1,am0,c00為常數(shù),若(fn(P(f)))(k)與(gn(P(g)))(k)分擔(dān)1 CM,則

(I)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0,則下述情況之一成立:

(I.i)f(z)≡tg(z),其中t為非零常數(shù)且滿足td=1,d=GCD(n+m,···,n+mi,···,n),且存在一個(gè)i∈{0,1,···,m},使得am-i0;

(I.ii)R(f,g)≡0,其中

(II)若P(z)≡c0,則下述情況之一成立:

(II.i)f(z)≡tg(z),其中t為非零常數(shù)且滿足tn=1;

近年來(lái),一些學(xué)者考慮了上述微分多項(xiàng)式中當(dāng)分擔(dān)值a替換為集合S時(shí),其中S={a∈C:as=1},是否還能獲得上述定理中f與g類似的關(guān)系.2018年,An V H等人[11]考慮了(fn)(k)與(gn)(k)CM分擔(dān)S的情況,得到了下述結(jié)果.

定理1.5[11]設(shè)f,g是非常數(shù)亞純函數(shù),n,k,s均為正整數(shù)且滿足,s≥2,S={a∈C:as=1},若E(fn)(k)(S,∞)=E(gn)(k)(S,∞),則下述情況之一成立:

(i)f(z)≡tg(z),其中t為非零常數(shù)且滿足tns=1,t∈C;

(ii)f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常數(shù),且滿足(-1)ks(c1c2)ns(nc)2ks=1.

2020年,Chao M等人[12]考慮了(fn)(k)與(gn)(k)IM分擔(dān)集合S與權(quán)1分擔(dān)集合S的情況,得到了下述定理.

定理1.6[12]設(shè)f,g是非常數(shù)亞純函數(shù),n,k,s均為正整數(shù)且滿足,s≥2,S={a∈C:as=1},若,則定理1.5的結(jié)論成立.

定理1.7[12]設(shè)f,g是非常數(shù)亞純函數(shù),n,k,s均為正整數(shù)且滿足,s≥2,S={a∈C:as=1},若E(fn)(k)(S,0)=E(gn)(k)(S,0),則定理1.5的結(jié)論成立.

為了尋求這個(gè)方向上更多的結(jié)果,本文結(jié)合多項(xiàng)式加權(quán)和的概念進(jìn)一步探討將定理1.5,定理1.6以及定理1.7中(fn)(k)替換為(fn(P(f))(k)時(shí)的情形,為了方便本文的敘述,我們引入下述定義.

定義1.2設(shè)P(z)=amzm+···+a1z+a0為m次非零多項(xiàng)式,其中v(1≤v≤m)個(gè)不同的零點(diǎn)分別記為d1,d2,···,dv,相對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)重?cái)?shù)分別記為p1,p2,···,pv且滿足p1≤p2≤···≤pv.令

當(dāng)t為P(z)重?cái)?shù)不超過(guò)k的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(不計(jì)重?cái)?shù))時(shí),則

且由定義可知0≤γ≤m.特別地,當(dāng)時(shí)有γ=0.

結(jié)合加權(quán)和的定義,本文得到了下述定理,定理中的P(z)相關(guān)符號(hào)與定義1.2中的符號(hào)含義一致,下文中不再一一敘述.

定理1.8設(shè)f,g是非常數(shù)亞純函數(shù),n,k,s均為正整數(shù),s≥2,P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0或P(z)≡c0,其中a0/0,a1,···,am-1,am/0,c0/0為常數(shù),P(z)中相關(guān)符號(hào)如定義1.2所設(shè),S={a∈C:as=1},若E(fnP(f))(k)(S,k)=E(gnP(g))(k)(S,k),則

(I)當(dāng)k=0時(shí),

(I.i)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0且滿足,則下述情況之一成立:

(I.i.i)f(z)≡tg(z),其中t為常數(shù)且滿足tsd=1,d=GCD(n+m,···,n+m-i,···,n);

(I.i.ii)R(f,g)≡0,其中

(I.i.iii)(fnP(f))(k)(gnP(g))(k)≡h,其中hs=1.

(I.ii)若P(z)≡c0且滿足,則下述情況之一成立:

(I.ii.i)f(z)≡tg(z),其中t為非零常數(shù)且滿足tns=1;

(I.ii.ii)f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常數(shù)且滿足

(II)當(dāng)k=1時(shí),

(II.i)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0且滿足,則(I.i)的結(jié)論成立;

(II.ii)若P(z)≡c0且滿足,則(I.ii)的結(jié)論成立.(III)當(dāng)k≥2時(shí),

(III.i)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0且滿足,則(I.i)的結(jié)論成立;

(III.ii)若P(z)≡c0且滿足,則(I.ii)的結(jié)論成立.

備注1.1特別地,當(dāng)P(z)≡c0時(shí),由定理1.8可得到定理1.5–1.7,因此定理1.8推廣了定理1.5–1.7.

2 相關(guān)引理

3 定理的證明