孫士玉，李郝林，王家樂，汪能洋

(上海理工大學機械工程學院，上海 200093)

0 前言

機床在切削或磨削的過程中出現(xiàn)的不穩(wěn)定現(xiàn)象往往是由機床在切削過程中的動態(tài)特性和機床-刀具-工件系統(tǒng)的模態(tài)特性之間的相互作用產(chǎn)生的[1]，會影響加工質(zhì)量并限制生產(chǎn)效率。其中，由切削厚度變化而引起的再生顫振是最常見的并且危害性最大的。為了解決機床的再生顫振問題，國內(nèi)外學者做了多方面的研究。MEI[2]從波的角度設(shè)計一種主動控制器，在一定的頻率范圍內(nèi)吸收顫振的能量，從而減少顫振的產(chǎn)生。HAYASAKA等[3]建立了螺旋立銑刀與機床發(fā)生再生顫振的關(guān)系，改變刀具的螺旋角度以消除顫振的產(chǎn)生。MUNOA等[4]通過旋轉(zhuǎn)彈簧和渦輪模塊來控制工作臺的夾緊方式，以提高機床的動態(tài)剛度和銑削穩(wěn)定性，來提高機床抵抗再生顫振的能力。WANG[5]利用非線性調(diào)諧質(zhì)量阻尼的吸振原理抑制顫振的產(chǎn)生。張勇[6]采用超磁致伸縮制動器及PID控制算法抑制機床的顫振。烏利齊·拉通德[7]通過調(diào)整附加質(zhì)量塊的質(zhì)量來改變刀具頭的振動特性，從而抵消機床的再生顫振。這些措施都是在機床設(shè)計完成后所采取的措施，雖然對機床顫振有一定的抑制作用，但不能從根本上解決機床問題。為此，本文作者從機床設(shè)計的角度出發(fā)，調(diào)整機床質(zhì)量、剛度的分布，以提高機床自身抵抗再生顫振的能力。

目前通過降低機床系統(tǒng)動柔度并使各階模態(tài)柔度分布更加均勻的優(yōu)化方法相對較少。將能量平衡原理、正交試驗方法和響應(yīng)面法結(jié)合，實現(xiàn)一種提高機床抵抗再生顫振能力的方法。通過模態(tài)柔度和能量平衡原理尋找出機床的薄弱模態(tài)和薄弱子結(jié)構(gòu)，即需要調(diào)整的質(zhì)量和剛度；結(jié)合正交試驗方法和響應(yīng)面方法對機床的剛度、質(zhì)量進行優(yōu)化；得到最優(yōu)的剛度配置方案和質(zhì)量配置方案，以提高機床抵抗再生顫振的能力。以某機床廠曲軸磨床為例，說明該方法的具體過程。

1 能量平衡優(yōu)化原理

評判機床在切削顫振作用下抵抗再生顫振的能力，通常很難通過直接計算而獲得，往往通過某個參數(shù)來間接性地進行評價。目前，公認的是采用穩(wěn)定性極限切削寬度bm判斷機床是否產(chǎn)生再生顫振[8]，bm越大說明機床抵抗再生顫振的能力越強，而它與機床動柔度的最大負實部成反比例關(guān)系。因此，為提高機床抵抗再生顫振的能力，應(yīng)使其動柔度的最大負實部絕對值減小。

機床動柔度的最大負實部是一個綜合性指標，它是由機床的模態(tài)柔度和模態(tài)阻尼比所決定，而目前對機床阻尼的計算尚未成熟，文中將機床視為在無阻尼系統(tǒng)情況下運行，假設(shè)機床在點e處受到激振力Fe，在點c處響應(yīng)時，系統(tǒng)的交叉動柔度為

(1)

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顯然，機床的各階模態(tài)柔度對機床系統(tǒng)的動柔度有著決定性的影響，它們又是由機床各個子結(jié)構(gòu)在各階模態(tài)下能量的分配情況所決定的，而機床能量的分布主要取決于各個子結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度的分配。由此，將提高機床抵抗自激振動能力問題轉(zhuǎn)化成了優(yōu)化機床結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量的問題。

機床在正常運轉(zhuǎn)的過程中，不是每一個模態(tài)都會出現(xiàn)顫振問題，而是具體到某一階或某幾階模態(tài)。因此，首先需要找到機床易發(fā)生顫振現(xiàn)象的薄弱模態(tài)，再對薄弱模態(tài)進行優(yōu)化，當系統(tǒng)的激振頻率接近于0時，由公式(1)得機床的動柔度與各階模態(tài)柔度的關(guān)系為

(3)

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尋找到系統(tǒng)的薄弱模態(tài)后，需要找出該模態(tài)下薄弱環(huán)節(jié)，將機床系統(tǒng)分為N個子結(jié)構(gòu)，機床第s子結(jié)構(gòu)在第r階模態(tài)下的最大慣性能和最大彈性能及分布率為

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式中：Tsr、Vsr分別為第r階模態(tài)下第s子結(jié)構(gòu)具有的最大慣性能、彈性能；ms為第s子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量；As(r)為第r階模態(tài)下s子結(jié)構(gòu)的振幅；Ks為第s子結(jié)構(gòu)的剛度；γsr、μsr分別為第r階模態(tài)下第s子結(jié)構(gòu)的慣性能分布率和彈性能分布率。

根據(jù)求出的能量分布，能確定系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)。當γsr過大時，說明該子結(jié)構(gòu)為慣性能量分布率較高的子結(jié)構(gòu)，質(zhì)量過于集中，應(yīng)該減少其質(zhì)量；當μsr過大時，說明它為彈性勢能分布率較高的子結(jié)構(gòu)，其剛度不足，應(yīng)著重提高其剛度。研究發(fā)現(xiàn)：當提高薄弱環(huán)節(jié)的剛度時，可以有效降低其模態(tài)柔度，并且降低機床系統(tǒng)的靜柔度；當降低薄弱環(huán)節(jié)的質(zhì)量時，可以降低該模態(tài)的模態(tài)柔度，但是不會改變機床系統(tǒng)的靜柔度。因此，尋找出系統(tǒng)的薄弱模態(tài)后，首先調(diào)整該模態(tài)下彈性能分布率高的子結(jié)構(gòu)的剛度，降低該模態(tài)的模態(tài)柔度和機床的靜柔度；然后，可以調(diào)整慣性能分布率高的子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，在規(guī)定的邊界條件下，降低薄弱模態(tài)的模態(tài)柔度并使得各階模態(tài)柔度分布更加均勻。

2 剛度和質(zhì)量的優(yōu)化

2.1 剛度優(yōu)化

統(tǒng)計表明，機床60%的振動問題都來源于其結(jié)合部[9]，因此，有必要對其薄弱結(jié)合部的剛度進行優(yōu)化。通過式(4)和(8)可得到系統(tǒng)的各階薄弱模態(tài)下的薄弱環(huán)節(jié)，又通過式(1)可知機床動柔度與靜柔度有關(guān)。因此，以各階薄弱模態(tài)下的彈性能分布率高的子結(jié)構(gòu)的剛度為變量，以減小靜柔度為目標，對結(jié)合面剛度進行優(yōu)化，其優(yōu)化設(shè)計的模型為

(9)

k=(k1k2…kr…kn)i=1,…,n

s.t.kr∈{kr1…krs…krn}

(10)

fmin=min(fs1…fsi…fsn)

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式中：fs為靜柔度的值；kr為機床子結(jié)構(gòu)剛度值；fmin為靜柔度最小值。為在規(guī)定的范圍內(nèi)尋找出最優(yōu)的剛度配置方案并減少試驗次數(shù)，采取正交試驗方法。

正交試驗法是一種處理多因素的試驗方法[10]，它使用較少的試驗單元篩選若干因子，篩選完成后，在進行試驗的過程中，可以進一步分析各個因子之間的交互作用，最后通過分析各種數(shù)學理論模型進行優(yōu)化試驗設(shè)計。

在確定設(shè)計變量因素后，結(jié)合面的剛度不能隨意調(diào)整，因此需要計算出滿足實際情況的幾組剛度，即每個薄弱環(huán)節(jié)剛度的取值情況，以確定正交試驗的水平kr∈{kr1,…,krs,…,krn}，由此建立正交試驗表，并依據(jù)此表重新調(diào)整機床模型進行試驗，以計算出每組試驗的靜柔度，并采用極差分析法對試驗的結(jié)果進行分析。

2.2 質(zhì)量優(yōu)化

研究發(fā)現(xiàn)，對機床動態(tài)性能的優(yōu)化除了需要減小靜柔度外，同時應(yīng)使得各階模態(tài)柔度的分布更加均勻，質(zhì)量的增加或減少并不會對靜柔度產(chǎn)生影響，卻可以改變各階模態(tài)柔度的分布情況，降低薄弱模態(tài)下慣性能分布率高的子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量以減小該模態(tài)的模態(tài)柔度，從而達到優(yōu)化的目的。因此，求出優(yōu)化剛度后各階模態(tài)柔度、模態(tài)柔度分布率和各個子結(jié)構(gòu)慣性能分布率，得出機床系統(tǒng)的薄弱模態(tài)。在此基礎(chǔ)上得出薄弱子結(jié)構(gòu)，即慣性能分布率高的子結(jié)構(gòu)，作為質(zhì)量優(yōu)化的變量，以各階模態(tài)柔度分布更加均勻為目標，其優(yōu)化模型為

(12)

m=[m1…mr…mn]

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σf=min(σf1…σfs…σfn)

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s.t.mmin≤mr≤mmaxr=1,2,…,n

式中：σfr為機床各階模態(tài)柔度的方差；mr為要調(diào)整的子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。為在規(guī)定的邊界條件下尋找出最優(yōu)的質(zhì)量配置方案并減少試驗次數(shù)，采取響應(yīng)面優(yōu)化設(shè)計方法。

響應(yīng)面法是數(shù)學方法與統(tǒng)計方法相結(jié)合的產(chǎn)物[11]，能夠處理多變量問題，本文作者利用Design-Export軟件對機床的質(zhì)量進行優(yōu)化設(shè)計。通過軟件建立試驗設(shè)計表，運用MATLAB軟件對表內(nèi)的參數(shù)進行計算，然后利用Design-Export軟件對數(shù)據(jù)分析擬合，建立各薄弱子結(jié)構(gòu)的響應(yīng)模型，以各階模態(tài)柔度分布更加均勻為目標。通過此軟件進行響應(yīng)面分析并建立擬合回歸方程，利用Optimization模塊設(shè)置邊界條件，得到最優(yōu)的質(zhì)量組合。

3 曲軸磨床的優(yōu)化

3.1 剛度優(yōu)化

為驗證該方法的可行性，以某機床廠曲軸磨床為例[12]，對其進行優(yōu)化設(shè)計。該磨床主要由頭架、砂輪、砂輪架、尾架、工作臺、工件等組成，考慮到水平方向分量是影響加工精度的最主要因素，故物理坐標都選擇在水平方向上。因此，將機床簡化成具有7個自由度的系統(tǒng)。通過MATLAB軟件對機床的固有頻率、振型、模態(tài)柔度進行計算，結(jié)果如表1所示。可知：除第4階固有頻率外，其余各階固有頻率計算值與實測值誤差范圍都很小。由結(jié)果可得，模態(tài)4的模態(tài)柔度占比為59.44%，模態(tài)5的模態(tài)柔度占比為21.97%，模態(tài)1的模態(tài)柔度占比為11.04%，模態(tài)2的模態(tài)柔度占比為5.68%。因此，此4階模態(tài)為機床系統(tǒng)相對薄弱的模態(tài)，可作為優(yōu)化的目標模態(tài)。

表1 優(yōu)化前的固有頻率和模態(tài)柔度

計算機床各階模態(tài)下各個子結(jié)構(gòu)的彈性能及彈性能分布率，結(jié)果如表2所示。可以看出：在彈性能方面，導致模態(tài)4、模態(tài)5、模態(tài)1和模態(tài)2模態(tài)柔度值大的原因分別為工件右夾持部剛度過小、主軸前支撐剛度過小、砂輪進給機構(gòu)剛度過小和工作臺左-床身的剛度過小。因此，以這4個結(jié)合面剛度為變量，對機床進行優(yōu)化。

表2 機床各個子結(jié)構(gòu)的彈性能分布率

根據(jù)結(jié)合面的選擇要求，分別計算出4個結(jié)合面剛度的3個水平值，組成的正交試驗的因素水平如表3所示。其中，工件右夾持部剛度、主軸前支撐剛度、砂輪進給機構(gòu)剛度和工作臺左-床身的剛度分別用A、B、C、D表示。

表3 正交試驗的因素水平 單位：107 kg·m-1

因此，本文作者選取L9(34)正交表安排試驗，選取工件右夾持部剛度、主軸前支撐剛度、砂輪進給機構(gòu)剛度和工作臺左-床身的剛度作為影響因素，以減小機床系統(tǒng)靜柔度為目標，設(shè)計正交試驗方案，方案及試驗結(jié)果如表4所示。

表4 正交試驗的設(shè)計方案及試驗結(jié)果

通過正交試驗和極差分析可得，工作臺左-床身的剛度是影響靜柔度最重要的因素，其次分別為工件右夾持部剛度、主軸前支撐剛度、砂輪進給機構(gòu)剛度。根據(jù)極差分析選擇出的最優(yōu)的結(jié)合面剛度組合為A3B3C3D3。將求出的最優(yōu)方案代入機床動力學模型中，優(yōu)化前后的結(jié)果對比如表5所示?？芍焊麟A薄弱模態(tài)的模態(tài)柔度均有所下降，其中，1階、2階、4階和5階的模態(tài)柔度分別下降了39.77%、8.50%、14.38%和63.01%，其余模態(tài)的模態(tài)柔度都有不同程度的降低。因此，運用能量平衡原理對機床的剛度進行優(yōu)化，可以有效地降低薄弱模態(tài)的模態(tài)柔度和機床系統(tǒng)的靜柔度，從而降低系統(tǒng)的動柔度，提高機床抵抗再生顫振的能力。

表5 優(yōu)化剛度后的模態(tài)柔度及變化率

3.2 質(zhì)量優(yōu)化

優(yōu)化剛度后，各階模態(tài)的模態(tài)柔度比分別為9.27%、7.24%、1.12%、70.91%、11.32%、0.01%、0.13%，模態(tài)1、2、4、5為相對薄弱的模態(tài)。慣性能分布率如表6所示?？芍河绊懩B(tài)4模態(tài)柔度最重要的因素為工件質(zhì)量，而這是由待加工對象決定的，不屬于機床系統(tǒng)本身。因此，無法通過調(diào)整工件的質(zhì)量使它變小，可通過增大此模態(tài)下的模態(tài)阻尼比，有效降低其產(chǎn)生自激顫振的概率。

表6 慣性能分布率 單位：%

由表6可知：模態(tài)5、1、2為機床系統(tǒng)相對薄弱的模態(tài)，而影響模態(tài)5、1和2模態(tài)柔度的最主要因素分別為砂輪質(zhì)量、砂輪架質(zhì)量、工作臺質(zhì)量。對機床動態(tài)性能的優(yōu)化除了減小靜柔度外，同時應(yīng)使得模態(tài)柔度的分布更均勻。因此，以砂輪架質(zhì)量、砂輪質(zhì)量和工作臺質(zhì)量為變量，在不增加第4階模態(tài)模態(tài)柔度的前提下，以減小其他6階模態(tài)柔度的方差為目標，尋找最優(yōu)的質(zhì)量組合。利用Design-Expert軟件對砂輪質(zhì)量、砂輪架質(zhì)量、工作臺質(zhì)量進行三因素三水平響應(yīng)面試驗設(shè)計，各因素的試驗水平如表7所示。

表7 因素的試驗水平 單位:kg

根據(jù)變量因素編碼表，通過MATLAB軟件計算出每組試驗所對應(yīng)的第4階模態(tài)柔度R4和其余6階模態(tài)柔度的方差。表8所示為試驗設(shè)計方案及結(jié)果，整個試驗共計20組。

表8 試驗設(shè)計方案及結(jié)果

對表8的試驗數(shù)據(jù)進行回歸分析，得出各階模態(tài)柔度的方差與第4階模態(tài)柔度的多元回歸模型。根據(jù)回歸模型分析的結(jié)果，運用Design-Export軟件中Optimization功能，以不增大第4階模態(tài)柔度和其余6階模態(tài)柔度的方差最小為條件，求解回歸模型，得到的最優(yōu)參數(shù)為砂輪架質(zhì)量1 124.48 kg、砂輪質(zhì)量89.25 kg、工作臺質(zhì)量1 278.26 kg。將優(yōu)化后結(jié)果代入機床系統(tǒng)，得到的結(jié)果如表9所示。由此可得，運用能量平衡原理，在規(guī)定的邊界條件下，在不使得第4階模態(tài)柔度增大的情況下，可以使得其余6階模態(tài)柔度分配得更加均勻。

表9 優(yōu)化質(zhì)量后的方差和第4階模態(tài)柔度

3.3 機床整體優(yōu)化結(jié)果

對機床的剛度和質(zhì)量優(yōu)化完成后，將優(yōu)化后的參數(shù)代入機床系統(tǒng)，利用MATLAB軟件進行分析，結(jié)果如表10所示?？芍焊鞅∪跄B(tài)的模態(tài)柔度均有所減小，機床的靜柔度下降了28.23%，各階模態(tài)柔度的方差也下降了14.95%，各階模態(tài)柔度的分布更加均勻。

表10 優(yōu)化后的各階模態(tài)的模態(tài)柔度

如表11所示，機床的各階固有頻率均有不同程度的提高，其中第1、2、5階固有頻率分別提高了49.32%、43.27%、39.08%，優(yōu)化效果非常顯著。由此可知，運用能量平衡理論優(yōu)化機床不僅可以使機床的靜柔度降低，提高機床的抵抗自激顫振能力，還會提高機床的固有頻率，從而提高機床機床抵抗受迫振動的能力。

表11 優(yōu)化前后的固有頻率

4 結(jié)論

本文作者將能量平衡原理和正交試驗與響應(yīng)面方法結(jié)合，實現(xiàn)了一種提高機床抵抗再生顫振能力的方法。以某機床廠磨床為例，驗證了此方法可以有效降低機床系統(tǒng)的動柔度，并提高機床的各階固有頻率，使機床的整體動態(tài)特性得到較大改善。

根據(jù)模態(tài)柔度和能量平衡原理，尋找出機床的薄弱模態(tài)和薄弱子結(jié)構(gòu)，以薄弱子結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量為變量，以降低機床系統(tǒng)靜柔度和各階模態(tài)柔度分布更加均勻為目標對機床進行優(yōu)化。

結(jié)合正交試驗方法對機床的剛度進行優(yōu)化，結(jié)合響應(yīng)面方法對機床的質(zhì)量進行優(yōu)化，既可以減少試驗次數(shù)、提高優(yōu)化效率，又可以在規(guī)定的條件下，實現(xiàn)最優(yōu)的剛度配置方案和質(zhì)量配置方案。