彭 佳,薛有才

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州 310023)

數(shù)理邏輯(mathematical logic)是用形式化方法研究推理、證明等問題的學(xué)科,其本質(zhì)是利用數(shù)學(xué)計算方法來代替人類思維過程中的邏輯推理過程。本研究運用史料分析方法,討論數(shù)理邏輯學(xué)在中國的傳播與發(fā)展歷程,從史料學(xué)的角度來探討中國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家對現(xiàn)代數(shù)理邏輯學(xué)的貢獻與數(shù)理邏輯學(xué)本土化的問題及特點,并以此紀(jì)念羅素訪華100周年。

數(shù)理邏輯的產(chǎn)生首先應(yīng)歸功于德國哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646—1716年)。1666年,他在其《論組合術(shù)》一書中提出了建立理性演算的設(shè)想,也就是把所有推理化歸于計算。他把這種演算稱為“數(shù)理邏輯”或者“通用代數(shù)”[1],提出了建立“思維演算”的設(shè)想與“普遍語言”概念。第一次使萊布尼茨邏輯設(shè)想成為現(xiàn)實的是英格蘭數(shù)學(xué)家與邏輯學(xué)家喬治·布爾(G.Boole,1815—1864年),他建立了一個現(xiàn)在稱之為布爾代數(shù)(或邏輯代數(shù))的邏輯演算系統(tǒng)。之后,英國邏輯學(xué)家德·摩根(A De Morgan,1806—1871年)建立了關(guān)系邏輯,提出了“關(guān)系積”“逆關(guān)系”“補關(guān)系”及關(guān)系邏輯的一些主要原理。再后,美國邏輯學(xué)家皮爾士(C.S.Peirce,1839—1914年)進一步發(fā)展了摩根的理論,建立了關(guān)系代數(shù),引入量詞理論,提出了邏輯演算的一些重要原理。

數(shù)理邏輯學(xué)的奠基人應(yīng)為德國數(shù)學(xué)家與邏輯學(xué)家弗雷格(G.Frege,1848—1925年)與英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家羅素(W.Russell,1872—1970年)。1879年,弗雷格出版了著作《概念演算:一種按算術(shù)語言構(gòu)成的思維符號語言》,其中定義了“邏輯演算”,確定了數(shù)理邏輯的基本理論知識。1910年,羅素與懷特海(A.N.Whitehead,1861—1947年)出版了巨著《數(shù)學(xué)原理》,奠定了現(xiàn)代數(shù)理邏輯的理論基礎(chǔ)。此后,以羅素為代表創(chuàng)立了邏輯主義哲學(xué)學(xué)派。另外,荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾(L.E.J.Brouwer,1881—1966年)發(fā)展了構(gòu)造性數(shù)學(xué)與邏輯新方法,強調(diào)在數(shù)學(xué)與邏輯中不能普遍使用排中律,由此創(chuàng)立了直覺主義邏輯學(xué)派。1899年,德國數(shù)學(xué)家希爾伯特(D.Hilbert,1862—1943年)在其名著《幾何基礎(chǔ)》一書中,給出了歐幾里得幾何的一個形式公理系統(tǒng)。在該系統(tǒng)中,所有概念都成了符號,所有命題都變成了公式,推演就是公式的變形。由此,希爾伯特創(chuàng)建了所謂的“元數(shù)學(xué)”或“證明論”,創(chuàng)立了形式主義邏輯學(xué)派。

1931年,美籍奧地利數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家哥德爾(K.G?del,1906—1978年)提出了著名的哥德爾不完全性原理:如果一個形式算術(shù)系統(tǒng)是一致的,那么它就是不完全的。換言之,在一個形式演繹系統(tǒng)中,總存在一個命題,在該系統(tǒng)中既無法證明它為真,也無法判定它為假。哥德爾不完全性定理揭示了希爾伯特形式系統(tǒng)的內(nèi)在局限性,加深了對公理方法的認(rèn)識,創(chuàng)立了遞歸論。20世紀(jì)30年代以后,數(shù)理邏輯學(xué)在邏輯演算、公理集合論、遞歸論、模型論等多方面都有進一步的發(fā)展,建立起較系統(tǒng)的邏輯理論。

在國際數(shù)理邏輯學(xué)的影響下,20世紀(jì)20年代以后,中國一些數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家開始學(xué)習(xí)、研究數(shù)理邏輯學(xué),開啟了現(xiàn)代數(shù)理邏輯在中國的傳播與本土化歷程。在這一進程中,哲學(xué)家、邏輯學(xué)家張申府(字崧年,1893—1986年)、金岳霖(1895—1984年)、汪奠基(1900—1979年),數(shù)學(xué)家湯璪真(1898—1951年)、胡世華(1912—1998年)、王浩(1921—1995年)、俞大維(1897—1993年)等均有積極貢獻。

李繼東認(rèn)為,“西方現(xiàn)代邏輯或以邏輯為名的現(xiàn)代邏輯或哲學(xué)理論,或由來訪的西方學(xué)者傳入,或經(jīng)翻譯的西方著作介紹,在我國生根、發(fā)芽、開花甚至結(jié)果……其中,作為傳統(tǒng)邏輯現(xiàn)代形態(tài)的數(shù)理邏輯的傳入與傳播,開辟了我國現(xiàn)代邏輯的新方向”[2]。

1 羅素講學(xué),數(shù)理邏輯學(xué)始在中國落地

一門學(xué)問本土化的首要條件是能夠通過廣泛宣傳,使其被國人了解,并在本國落地生根。

1920年,北京大學(xué)校長蔡元培與傅桐教授聯(lián)名邀請羅素來華講學(xué)。當(dāng)年10月,羅素來華,先后在上海、杭州、南京、長沙、北京、保定等地演講,題材涉及哲學(xué)、教育學(xué)、數(shù)學(xué)、數(shù)理邏輯學(xué)等多個方面。關(guān)于數(shù)理邏輯方面的演講于1921年3月8日在北京大學(xué)舉行。第一講內(nèi)容包括3個部分:普通數(shù)學(xué)與數(shù)理邏輯的關(guān)系、數(shù)理邏輯的5個基本定義和6個基本原理;第二講主要講邏輯的等值關(guān)系、邏輯代數(shù)的運算定律、類的邏輯(logic of classes)等內(nèi)容[3]。羅素訪華,開啟了數(shù)理邏輯學(xué)在中國的傳播與本土化歷程。

早在羅素來華之前,就有一股羅素?zé)嵯砣珖！缎虑嗄辍返?卷第2號封面為羅素照片,宣布羅素將來華講學(xué),并刊有部分羅素著作譯文。張申府是中國最早理解羅素數(shù)理哲學(xué)的哲學(xué)家。他于1913年考入北京大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)數(shù)理,第二年考入北京大學(xué)哲學(xué)門,兩個月后又轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)門。由于同時學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與哲學(xué)的原因,他逐漸熟悉了羅素的思想。他說:“從1916年至1919年這三年中,我讀盡了羅素的所有著作書籍、雜志,任何的東西……像羅素一樣,我愛上了邏輯。”[4]羅素來華講學(xué),使他備受鼓舞。他在《新青年》第8卷第2號上發(fā)表文章“羅素”,認(rèn)為羅素“是現(xiàn)代世界至極偉大的數(shù)理哲學(xué)家,是于近世在科學(xué)思想的發(fā)展上開一新時期的一種最高妙的新學(xué)(即數(shù)理邏輯[名學(xué)])……在現(xiàn)代哲學(xué)界思想界,要算最有影響的”[5]。

為了歡迎羅素,北京大學(xué)專門成立了以蔣百里(1882—1938年)等人組成的“講學(xué)社”,邀請著名學(xué)者趙元任(1892—1982年)全程陪同翻譯。為傳播和研究羅素的哲學(xué)思想,北京大學(xué)成立了“羅素學(xué)說研究會”,創(chuàng)辦了《羅素研究月刊》,邀請教育家、哲學(xué)家瞿世英(1901—1976年)當(dāng)編輯。該刊共出版4集,主要是發(fā)表羅素與夫人勃拉克的演講記錄等。

羅素來華對數(shù)理邏輯學(xué)在中國的傳播產(chǎn)生了積極的影響。1921年2月,《羅素五大演講:數(shù)理邏輯》[6]出版;接著,梁啟超署檢的《羅素與勃拉克講演集》[7]于當(dāng)年7月出版。同時一些介紹性文章,如王世毅的《羅素的數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》[8],傅種孫的《羅素算理哲學(xué)入門書提要》[9]等接連發(fā)表。1920年,傅種孫與張邦銘合作翻譯了羅素的著作IntroductiontoMathematicalPhilosophy,譯名為《羅素算理哲學(xué)》,1922年8月由商務(wù)印書館出版發(fā)行,1924年7月與1933年1月分別再次印刷。這是中國第一部介紹數(shù)理邏輯學(xué)的著作。傅種孫寫道:“一些算學(xué)家視為不成問題的問題,看了這本書,就知道哪些界說及討論外似簡單而內(nèi)實復(fù)雜。”[9]9

通過羅素訪華,張申府、梁啟超、王世毅、傅種孫等人的宣傳,數(shù)理邏輯學(xué)始在中國落地,并逐漸生根、發(fā)芽、開花,完成了數(shù)理邏輯學(xué)中國本土化的第一步。

2 本土語言表述,初步實現(xiàn)數(shù)理邏輯學(xué)本土化

一門學(xué)問本土化的第二個重要標(biāo)志是能用本土語言進行表述,同時培養(yǎng)出一批該學(xué)科的人才。哲學(xué)家、邏輯學(xué)家張申府、汪奠基、金岳霖,數(shù)學(xué)家朱言鈞(1902—1961年)[10-13]、樊畿(1914—2010年)[14]等人的工作,引領(lǐng)完成了數(shù)理邏輯學(xué)本土化的這一步驟。

2.1 張申府的翻譯與教學(xué)工作

在數(shù)理邏輯學(xué)的教學(xué)與著作翻譯等傳播工作方面,張申府是最具代表性的。1917年,張申府留校,擔(dān)任北京大學(xué)預(yù)科邏輯與數(shù)學(xué)課程助教。此后,他一直積極在中國多所高等學(xué)校講授邏輯課程,傳播數(shù)理邏輯學(xué)[15]。例如,1920年,他在北京大學(xué)講授“邏輯”;1924年,他在廣東大學(xué)講授“邏輯”與“西洋哲學(xué)史”等課程;1928年至1929年上半年在上海大夏大學(xué)、暨南大學(xué)、大陸大學(xué)等校講授“羅素哲學(xué)”“西洋現(xiàn)代哲學(xué)”“邏輯”等;1929年下半年受聘為北京大學(xué)與中國大學(xué)哲學(xué)教師,并兼任清華大學(xué)、燕京大學(xué)、北京師范大學(xué)等校教師,在這些學(xué)校講授“邏輯”與“羅素哲學(xué)”等。1930年至1936年,他受聘為清華大學(xué)哲學(xué)系教授,講授“數(shù)理邏輯”“邏輯學(xué)”等多門哲學(xué)課程。1932至1933學(xué)年清華大學(xué)哲學(xué)系課程表中有他開設(shè)的“數(shù)理邏輯”課程,每周2學(xué)時(共開設(shè)1學(xué)年)。他介紹該課程,“本學(xué)程對數(shù)理邏輯作總括研究”;其教學(xué)內(nèi)容包括“史的發(fā)展、命題算法、命題函數(shù)、摹狀—不全記號—邏輯構(gòu)作、類、關(guān)系、系統(tǒng)、次序、結(jié)構(gòu)、推斷與蘊含、邏輯詭論及類型論、數(shù)學(xué)之邏輯化、公理法、數(shù)理邏輯對于哲學(xué)及科學(xué)之應(yīng)用”;推薦的參考書共列8本,如懷特海與羅素合著的《數(shù)學(xué)原理》等[16]。張申府具有深厚的數(shù)學(xué)與邏輯功底,講課深入淺出,生動活潑,深受學(xué)生喜愛。其學(xué)生回憶道:“當(dāng)時清華文科班開三班邏輯課……第三班由張崧年先生教,選課的人格外多?！盵4]196

張申府是當(dāng)時國內(nèi)比較全面把握國際數(shù)理邏輯學(xué)研究動態(tài)的學(xué)者之一。為在國內(nèi)傳播數(shù)理邏輯,他積極主動地翻譯介紹各種數(shù)理邏輯著作。例如,1919年,他在《哲學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)系史論引》中介紹了懷特海、羅素等人的數(shù)理哲學(xué)思想;1927年,他翻譯了維特根斯坦(Wittgenstein,1889—1951年)的哲學(xué)名著《邏輯哲學(xué)論》,譯名為《名理論》(此書1988年由北京大學(xué)出版社重新出版)。他的哲學(xué)思想影響了許多人,如著名哲學(xué)家牟宗三、著名邏輯學(xué)家王憲均及他的弟弟張岱年等[15]292。

2.2 汪奠基的數(shù)理邏輯學(xué)工作

汪奠基,邏輯學(xué)家、哲學(xué)家。1916年夏天,汪奠基在北京大學(xué)旁聽分析數(shù)學(xué)和解析幾何及哲學(xué)、文史等課程。1919年秋,他赴法國勤工儉學(xué),先后在巴黎大學(xué)、里昂中法大學(xué)等校學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、哲學(xué)及科學(xué)等課程。1924年夏,他入巴黎大學(xué)研究班學(xué)習(xí),不久寫出畢業(yè)論文《邏輯和數(shù)理邏輯論》。1925年5月汪奠基回國,他一邊在北京大學(xué)等幾所學(xué)校講授邏輯,一邊繼續(xù)修改畢業(yè)論文,并譯成中文于1927年交由商務(wù)印書館出版[17]。該書由兩部分組成,其中第2部分為《數(shù)學(xué)邏輯原理》,分3篇:第1篇主要介紹數(shù)學(xué)邏輯學(xué)產(chǎn)生的背景等,第2篇講述“數(shù)學(xué)邏輯原理的演算”,第3篇講述“數(shù)學(xué)邏輯實用演算”。另外,他還考察了數(shù)學(xué)與邏輯的關(guān)系,闡述了數(shù)理邏輯產(chǎn)生的原因。這是中國最早的一部系統(tǒng)介紹數(shù)理邏輯學(xué)及其發(fā)展史的著作。

1937年,汪奠基出版了《現(xiàn)代邏輯》一書。該書比較系統(tǒng)地介紹了現(xiàn)代邏輯命題演算、謂詞演算、公理論和演繹模型等,介紹了羅素的命題函項理論、摹狀詞理論、類分理論、關(guān)系理論等邏輯思想。該書“主要是從數(shù)理邏輯和傳統(tǒng)形式邏輯相比較展開的。這種比較的視角能克服傳統(tǒng)邏輯的缺點……本書實為一部很有價值的學(xué)術(shù)著作”[18]。

汪奠基的上述著作,對民國時期數(shù)理邏輯學(xué)在中國的傳播發(fā)揮了極大的作用。

2.3 金岳霖的數(shù)理邏輯學(xué)工作

金岳霖,著名哲學(xué)家、邏輯學(xué)家。1921年,他在英國倫敦大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院學(xué)習(xí),其間曾系統(tǒng)閱讀與研究羅素與懷特海所著的《數(shù)學(xué)原理》,為日后從事邏輯教學(xué)和研究奠定了厚實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1926年他接替趙元任,任清華大學(xué)哲學(xué)教授,1927年開始在清華大學(xué)講授數(shù)理邏輯學(xué),后來在西南聯(lián)合大學(xué)也開設(shè)數(shù)理邏輯選修課。這些均是中國早期開設(shè)的數(shù)理邏輯學(xué)課程。

教學(xué)之余,金岳霖開始現(xiàn)代邏輯的研究與著述。1937年,他的巨著《邏輯》一書出版。該書分4個部分。其中,第3部分介紹羅素與懷特海所著《數(shù)學(xué)原理》中的邏輯演算。他選取該書前23章內(nèi)容,包括近300個定理,組成了一個精干的邏輯演繹系統(tǒng)。該系統(tǒng)包括了命題演算、謂詞演算、類演算和關(guān)系演算;他討論了帶等詞的公式,并給出了較完整的摹狀詞理論。他根據(jù)自己的理解,對該系統(tǒng)中的許多定理作出準(zhǔn)確詮釋。該書第4部分討論了數(shù)理邏輯的一些理論問題,論述了邏輯與邏輯系統(tǒng)的本質(zhì)特征,并探討了邏輯的必然命題,以及必然命題、矛盾命題的真值表法。該書是中國最早討論邏輯系統(tǒng)的完全性、一致性和獨立性等元邏輯問題的著作,有許多原創(chuàng)性的思想,是中國早期包括數(shù)理邏輯在內(nèi)的邏輯哲學(xué)綱要[19]。

3 參與世界研究行列,基本實現(xiàn)數(shù)理邏輯學(xué)本土化

一門學(xué)問本土化的突出標(biāo)志是它不僅能夠用本國語言傳播,還能夠為該國科學(xué)家所掌握,加入國際研究行列參與研究,并有豐碩研究成果出現(xiàn)。俞大維、胡世華、王浩、湯璪真等人的工作達成了該目標(biāo)。

3.1 俞大維的研究成果

俞大維,兵工專家、陸軍中將,曾任民國兵工署署長。1918年,他到美國哈佛大學(xué)隨謝佛(H.M.Sheffer,1883—1964年)和劉易斯(C.I.Lewis,1883—1964年)學(xué)習(xí)數(shù)理哲學(xué)。謝佛在數(shù)理邏輯學(xué)上的最大貢獻是提出關(guān)于邏輯算子的“謝佛束”(Sheffer Stroke),并在哈佛大學(xué)精心培養(yǎng)出整整一代數(shù)理哲學(xué)人才[20]。劉易斯創(chuàng)立了“模態(tài)邏輯”,提出“嚴(yán)格蘊涵系統(tǒng)”。俞大維1921年完成其博士論文《抽象蘊含理論:一種構(gòu)造性的研究》[21]。德國邏輯學(xué)家施羅德(E.Schroder,1841—1902年)把類包含關(guān)系引入布爾代數(shù)之中,建立了施羅德系統(tǒng)。俞大維推廣了施羅德有關(guān)類的演算,建立了兩個類演算假設(shè)系統(tǒng)。首先,他在部分包含關(guān)系下建立類演算的假設(shè)系統(tǒng),提出了17個假設(shè),并證明了前5個假設(shè)的獨立性與無矛盾性;其次,在完全不包含關(guān)系下建立類演算系統(tǒng),也提出了17個假設(shè),并證明了前5個假設(shè)的獨立性與無矛盾性[22]。該研究是中國現(xiàn)代數(shù)理邏輯研究的開山之作。

施羅德的假設(shè)系統(tǒng)是用類包含關(guān)系來構(gòu)造類運算的,涵蓋了布爾用等式關(guān)系來構(gòu)造類演算的方法,推廣了布爾代數(shù)。俞大維在此基礎(chǔ)上做了進一步推廣,用部分包含關(guān)系及完全不包含關(guān)系構(gòu)造類演算,內(nèi)容涵蓋了施羅德的假設(shè)系統(tǒng)[22]29?？上У氖?俞大維回國后即投身于中國的兵工事業(yè)之中,沒有繼續(xù)從事數(shù)理邏輯學(xué)的研究工作。

3.2 胡世華的工作

胡世華,數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家,中國科學(xué)院院士。20世紀(jì)30年代,他在北京大學(xué)受張申府、金岳霖、鄭昕等的影響,認(rèn)真研讀了羅素與懷特海所著的《數(shù)學(xué)原理》及Carnao的《數(shù)學(xué)的邏輯主義基礎(chǔ)》等數(shù)理邏輯著作,為他后來從事數(shù)理邏輯研究打下了深厚的基礎(chǔ)。

1936年,他去德國留學(xué)。1938年,他在肖爾慈(H.Schols)與科特(Kothe)的指導(dǎo)下完成博士論文《偽布爾代數(shù)及拓?fù)浠A(chǔ)》,建立起拓?fù)淇臻g中“非完整點”概念與理論[23]。該文主要論述了人工語言的特點、作用及符號邏輯,深入探討了一階謂詞演算,引起了學(xué)術(shù)界的關(guān)注。1943年,他以“方陣概念之分析”獲民國國家學(xué)術(shù)獎勵1943年度哲學(xué)類三等獎[24]。就目前史料看來,該成果應(yīng)是其博士論文的一部分。

1947年,胡世華在《學(xué)原》雜志上發(fā)表《再現(xiàn)算術(shù)系統(tǒng)及其邏輯常詞》[25]一文。所謂“再現(xiàn)算術(shù)”(recurgive arithmetic)是指一種關(guān)于自然數(shù)的遞歸理論。他指出,希爾伯特(D.Hilbert,1862—1943))與貝納施(Bernays)在《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》第七章已經(jīng)給“再現(xiàn)算術(shù)”理論一定的發(fā)展。之后,克雷(B.Curry)給出一個新的“再現(xiàn)系統(tǒng)”,他寫道:“本文將構(gòu)造另一個‘再現(xiàn)系統(tǒng)’?！痹谖恼碌牡?部分中,他給出了六個稱為“常詞”的符號:“=、0、σ、〈、〉、,”。其中,符號“=”表示相等,“0”表示自然數(shù),“σ”表示“繼數(shù)函數(shù)”(也即現(xiàn)在指的“后繼數(shù)”);他討論了“項及再現(xiàn)函數(shù)詞的構(gòu)成規(guī)則”“句子構(gòu)成規(guī)則”“替入”“公理構(gòu)成規(guī)則”等內(nèi)容。文章第3部分是“推演規(guī)則”,第4部分是基本定理,包含了4個定理以及一些約定等。該再現(xiàn)系統(tǒng)與克雷的再現(xiàn)系統(tǒng)相似而不同,且達到“簡化與整潔的極致,無可能再進步了”[25]1。

1948年,胡世華在《學(xué)原》雜志上發(fā)表《理論對象》[26]一文。文章分4部分:引言、理論對象中的原始分子、對象中的非原始分子、同態(tài)與似態(tài)(homomorphism)。文章第2部分從對象可由顯定義與隱定義出發(fā)討論,說明邏輯研究對象中有基本的不可分的部分,為原始分子,并通過希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》中點、線、面、關(guān)系等進行說明;第3部分研究對象的層次類型;第4部分講述邏輯關(guān)系與研究對象相似性分析的數(shù)學(xué)方法,其中談到“一一關(guān)系”與“多一關(guān)系”。這篇文章深入淺出,通俗地介紹了數(shù)理邏輯學(xué)的研究對象與研究方法,是一篇不可多得的好文。

此后,他開始研究多值邏輯系統(tǒng),并做出許多開創(chuàng)性貢獻。1949年,他對任何值命題演算系統(tǒng)構(gòu)造出一個完全的m值子系統(tǒng)[27]。再后,其多篇文章都是有關(guān)多值邏輯系統(tǒng)的研究。

3.3 王浩的主要研究成果

王浩,美籍華裔數(shù)理邏輯學(xué)家、計算機專家。他于1939年考入西南聯(lián)合大學(xué)數(shù)學(xué)系,1943年考入清華大學(xué)哲學(xué)研究所,在金岳霖、王憲均、沈有鼎的指導(dǎo)下研究哲學(xué),1945年獲碩士學(xué)位。同年,他入哈佛大學(xué)隨著名數(shù)理邏輯學(xué)家奎因(Quine,1908—2000年)讀博士,1948年獲博士學(xué)位。

王浩的博士論文是對其導(dǎo)師奎因1937年建立起來的NF(new foundations,新基礎(chǔ)集合論)形式公理系統(tǒng)及1940年建立起來的ML(mathematical logic,數(shù)理邏輯新基礎(chǔ))形式公理系統(tǒng)進行的研究[28]。NF公理系統(tǒng)的特點是十分簡潔,其原始符號只用一種類型的變量“x,y…”(類變量),一個謂詞符號“∈”(屬于),一個邏輯符號“|”(析否),一個量詞符號“()”(表示全稱量化)。NF中的一個關(guān)鍵概念是分層(stratification),與其有關(guān)的一條重要規(guī)則是:如果公式φ是分層的,則使φ成立的類y全體也構(gòu)成一個類。但是,NF系統(tǒng)太弱了,以致數(shù)學(xué)歸納法都不能從中導(dǎo)出。于是,奎因1940年又提出ML系統(tǒng)。在這個系統(tǒng)中,他引進了“集合”的概念:一個類x被稱為集合,如果存在類y,使得x∈y。同時,NF系統(tǒng)中的重要規(guī)則則被下列兩條規(guī)則代替:1) 如果公式φ是分層的,且其中除了x以外的自由變量都是集合變量,則使φ成立的類x全體構(gòu)成一個集合;2) 使φ成立的類x全體構(gòu)成一個類。

經(jīng)過改進的ML系統(tǒng)比NF系統(tǒng)要強得多,遺憾的是,其中卻包含了悖論。王浩從1946年起,進一步研究改進ML系統(tǒng)。他用更少的公理代替奎因的公理,卻得到更多的結(jié)果,包括證明可在其中建立實數(shù)理論,同時也彌補了其缺陷。這些內(nèi)容構(gòu)成了王浩的博士論文。其后,王浩繼續(xù)對奎因系統(tǒng)與集合公理系統(tǒng)進行研究,得到許多新的結(jié)果,并進一步改進了ML系統(tǒng)的規(guī)則1),詳細(xì)可見文獻[29-31]。

在集合公理系統(tǒng)研究中,王浩的重要貢獻是對“非直謂集合論”的研究。在20世紀(jì)初期,為了避免悖論的出現(xiàn),許多研究者一般主張禁止使用非直謂的定義,如Poincaré、Ruesell等。但因為非直謂定義是一種強有力的數(shù)學(xué)方法,有時不得不用。王浩的研究對避免這種尷尬局面的出現(xiàn)做了許多開創(chuàng)性的工作,如在文獻[30]中,他把ML系統(tǒng)的規(guī)則1) 引入N(Von Neumann馮·諾依曼)系統(tǒng),形成了一種新的系統(tǒng)即NQ(Neumann-Quine,諾依曼-奎因)系統(tǒng),這恰好是著名的ZF(Zermelo-Fraenkel,策梅洛-弗蘭克爾)系統(tǒng)的非直謂擴張。王浩證明了NQ系統(tǒng)嚴(yán)格強于N系統(tǒng),且和N系統(tǒng)有相同的相容性。王浩的研究對澄清“非直謂”的本質(zhì)與推動集合論的研究具有重要意義。

3.4 湯璪真的工作

湯璪真,數(shù)學(xué)家,毛澤東小學(xué)時的同學(xué)。他曾任北京師范大學(xué)教務(wù)處長、代理校長等職務(wù),是中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)與數(shù)理邏輯等學(xué)科的開拓者之一。

目前見到的湯璪真在數(shù)理邏輯方面的論文有3篇,都集中在研究劉易斯(Lewis)與朗福德(Langford)于1932年撰寫的《符號邏輯》(SymbolicLogic)中建立的模態(tài)邏輯系統(tǒng)上。模態(tài)邏輯系統(tǒng)是基于“嚴(yán)格蘊涵”的一種形式化邏輯系統(tǒng),形式化是現(xiàn)代邏輯最重要的方法之一。由于形式化是一個從具體逐步抽象、從非形式化逐步形式化的過程,在這個過程中不可避免地帶有一定的片面性和相對性,也即形式化具有一定的限度[32]。為此,數(shù)理邏輯學(xué)家發(fā)展了“蘊涵詞”并不斷豐富其理論,以不斷克服與改進形式化的限度。其中,“實質(zhì)蘊涵”是最早產(chǎn)生的蘊涵詞,用來刻畫條件命題前后件之間的真假關(guān)系。羅素與懷特海的《數(shù)學(xué)原理》改進了“實質(zhì)蘊涵”理論,推動了數(shù)學(xué)推理本質(zhì)方面研究,解決了許多邏輯推理問題,但缺點是其中存在著“蘊涵怪論”。為此,1880年麥柯爾(H.Maccoll)提出了適合于刻畫嚴(yán)格條件語句的新蘊涵詞“:”,可以稱其為“嚴(yán)格蘊含關(guān)系”。1912年,劉易斯在《蘊涵和邏輯代數(shù)》中給出了嚴(yán)格蘊含概念。不同于實質(zhì)蘊涵所刻畫命題之間抽象的真假關(guān)系,嚴(yán)格蘊涵刻畫的是命題之間的邏輯關(guān)系。1932年,劉易斯與朗福德合著《符號邏輯》,創(chuàng)立了模態(tài)邏輯系統(tǒng)。嚴(yán)格蘊涵克服了實質(zhì)蘊涵怪論相對應(yīng)的命題,推進了數(shù)理邏輯的進步,但是又產(chǎn)生了“嚴(yán)格蘊涵怪論”。

文獻[33]中,湯璪真證明了模態(tài)邏輯系統(tǒng)一條新的形式定理:“pq.=.pq=p”,說明了這一形式定理按照劉易斯解釋之下的含義,且不同于Huntington所提出的模態(tài)邏輯系統(tǒng)與傳統(tǒng)二值邏輯系統(tǒng)之間一種類似地聯(lián)系的含義[34]。

文獻[35]中,湯璪真首先給出了劉易斯模態(tài)系統(tǒng)中嚴(yán)格蘊涵的9個假設(shè),然后指出,通過推理與運算,劉易斯的前8個假設(shè)中的任何兩個都是這樣的,如果p被解釋為“p可從q推導(dǎo)出”,則每個假設(shè)都可以從另一個推導(dǎo)出來。他指出,這是一個“貌似奇怪”的性質(zhì),或說是一個“嚴(yán)格蘊涵怪論”。他證明了這條性質(zhì),消解了這個所謂的“嚴(yán)格蘊涵怪論”。

文獻[36]包括6個部分。第一部分是“帶有單元元素的布爾環(huán)的兩個進一步假設(shè)”。他首先對劉易斯模態(tài)系統(tǒng)引入一個新的運算符“x∞”并指出x∞滿足下面兩個進一步的假設(shè),并把這兩個假設(shè)稱之為嚴(yán)格蘊涵的劉易斯邏輯演算的代數(shù)假設(shè):

F1:對(系統(tǒng)中的)每個元素x,都存在一個元素x∞,使x∞x=x∞;

F2:對(系統(tǒng)中的)每兩個元素x與y,有(xy)∞=x∞y∞。

在該文獻第二部分中,他介紹了運算符“x∞”的幾何意義:設(shè)x是歐氏平面上的一個點集,取y為x的內(nèi)點,則所有點p的集合,使得中心在p的圓完全位于x內(nèi),且滿足上述兩個假設(shè)。這是關(guān)于劉易斯可能性函數(shù)的幾何解釋,第四至六部分是關(guān)于劉易斯假設(shè)及運算所推演出來的一些性質(zhì)。

4 結(jié) 論

20世紀(jì)上半葉是數(shù)理邏輯學(xué)發(fā)展的黃金期。中國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家抓住了這一重要歷史機遇,迅速跟進,在中國傳播、研究數(shù)理邏輯學(xué),使數(shù)理邏輯學(xué)迅速實現(xiàn)中國本土化。其主要標(biāo)志是:首先,通過羅素來華演講而引起的超級輿論引導(dǎo),使得數(shù)理邏輯學(xué)在國內(nèi)引起轟動;同時通過張申府、朱言鈞、傅種孫、瞿世英等的大力宣傳,使得數(shù)理邏輯學(xué)當(dāng)時在知識分子中已廣為傳播,并落地、發(fā)芽、成長。其次,張申府、金岳霖、汪奠基、胡世華等在國內(nèi)大學(xué)開設(shè)現(xiàn)代數(shù)理邏輯課程,培養(yǎng)了一批數(shù)理邏輯人才,如王浩、莫紹揆等,為現(xiàn)代數(shù)理邏輯在中國的發(fā)展與本土化奠定了人才基礎(chǔ)。再次,通過上述人員的教學(xué)、研究、著書立說,使得數(shù)理邏輯的理論逐漸為國人所掌握,其符號、語言、體系也逐漸以國人習(xí)慣的語言方式呈現(xiàn)。最后,俞大維、胡世華、湯璪真、王浩等的研究成果表明,中國學(xué)者不僅僅是在學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)理邏輯,而且已經(jīng)把握其靈魂,掌握其精華,并參與國際研究行列且有創(chuàng)新發(fā)展。由此,我們完全有理由說,民國時期數(shù)理邏輯學(xué)已經(jīng)融入中國的學(xué)科體系,成為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)、哲學(xué)的一部分,基本上實現(xiàn)了該學(xué)科的本土化。

數(shù)理邏輯學(xué)中國本土化的主要特點有:

第一,受“科學(xué)救國”精神的鼓舞。數(shù)理邏輯對中國學(xué)者而言完全是一個陌生的地帶。就是在這樣一個全新的領(lǐng)域,張申府、俞大維、湯璪真、汪奠基、金岳霖、胡世華、王浩等一批數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家,在“科學(xué)救國”精神的鼓舞下,虛心學(xué)習(xí),潛心鉆研,取得了不凡的成就,為數(shù)理邏輯學(xué)本土化做出積極貢獻。

第二,受科學(xué)普及的支撐。首先,羅素來華講學(xué)掀起了數(shù)理邏輯普及的熱潮,對推進現(xiàn)代數(shù)理邏輯在中國的傳播,進而推進現(xiàn)代哲學(xué)、現(xiàn)代科學(xué)在中國的傳播與本土化起到極大的推動作用。其次,民國時期一批卓有才華的中國學(xué)者專家甘當(dāng)鋪路前鋒,在科學(xué)普及道路上默默奉獻,如張申府、朱言鈞、傅種孫、瞿世英、沈有乾、莫紹揆、王世毅等。朱言鈞教授是最典型的代表之一。朱言鈞是哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)大師柯朗(Courant,1888—1972年)的博士生,并受到形式主義哲學(xué)創(chuàng)始人希爾伯特等的教誨?；貒?他積極從事科學(xué)普及工作,發(fā)表了大量數(shù)學(xué)、方法論與邏輯等方面的科普著作。他對希爾伯特形式主義哲學(xué)體會尤深,先后在《數(shù)學(xué)雜志》等刊物上發(fā)表了《數(shù)之意義》(連載,1934—1937年)、《數(shù)理邏輯綱要》(1934年)、《數(shù)理邏輯導(dǎo)論》(1936年)、《存在釋義》(1937年)、《數(shù)理叢談》(連載,1932—1934年)、《數(shù)學(xué)中之推理方法》(連載,1935—1936年)等多篇相關(guān)文章。朱言鈞對20世紀(jì)30—40年代的年輕學(xué)子產(chǎn)生過極大的影響。吳文俊院士對其極為仰慕,曾說朱言鈞撰寫的書籍和文章是每篇必讀,每本必看的,沒有一篇落下[37]。

第三,卓越數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家發(fā)揮了領(lǐng)頭作用。民國時期,哲學(xué)家金岳霖、汪奠基,數(shù)學(xué)家胡世華、湯璪真、王浩等一批科學(xué)家積極投身于現(xiàn)代數(shù)理邏輯的研究,取得許多成就。特別是數(shù)學(xué)家胡世華、湯璪真、王浩、俞大維等在數(shù)理邏輯研究上取得具有國際水平的成果,不論是對同時期學(xué)者,還是對后繼者都是極大的鼓舞,起到了模范帶頭作用。

第四,雖然在20世紀(jì)30—40年代,中國數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家抓住了數(shù)理邏輯發(fā)展的歷史黃金時期,很快融入這一發(fā)展潮流,使其在中國傳播、開花、結(jié)果,基本上實現(xiàn)了數(shù)理邏輯學(xué)的本土化,但就總體而言,這一學(xué)科在民國時期,并沒有像數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科一樣取得比較輝煌的學(xué)術(shù)成就,它還是弱小的,不成熟的。