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        不變量

        2022-11-22 14:59:46
        新民周刊 2022年42期
        關(guān)鍵詞:解題數(shù)學(xué)

        苗煒專欄作家Columnist讀書,寫字,旅游,鍛煉

        有一道經(jīng)典題目:三個(gè)女人去一家汽車旅館,入住一個(gè)標(biāo)價(jià)27美元的房間,她們每人給行李工10美元,讓他去交錢。行李工到前臺(tái),發(fā)現(xiàn)房?jī)r(jià)實(shí)際上是25美元,他給前臺(tái)25美元,回到房間交給客人每人1美元,他隱瞞了實(shí)際的房?jī)r(jià),侵吞了2美元。每個(gè)客人付出9美元,一共27美元,再加行李工侵吞的2美元,一共是29美元。那么剩下的一美元去哪里?從數(shù)學(xué)運(yùn)算上來(lái)說(shuō),這不超過(guò)小學(xué)一年級(jí)的水平,但這里頭的陷阱,小孩子還無(wú)法識(shí)破。

        我是在《怎樣解題:數(shù)學(xué)競(jìng)賽攻關(guān)寶典》中看到這個(gè)題目的,作者指出,這道題故意將讀者引到思考行李工所得到的錢和客人所付出的錢應(yīng)該等于30美元這個(gè)思路上。作者說(shuō):“我們應(yīng)該思維引申,如果房費(fèi)是0美元呢?行李工可以把27美元獨(dú)吞,客人還是付出了27美元,兩者相加是54美元了?!?/p>

        我們看看作者怎么講解30美元的那道題。這里面涉及一個(gè)概念叫“恒定不變量”,不變量是問(wèn)題中不隨其他量變化而改變的量,通常是一個(gè)數(shù)值。出題目的人誘導(dǎo)你誤以為30美元是恒定不變的,其實(shí),三個(gè)人入住一家汽車旅館,設(shè)g,p,d 分別代表顧客所有花費(fèi)的總量,收銀員收取的費(fèi)用以及行李工拿走的錢,g減去p再減去d等于0,這是一個(gè)不變量。

        《怎樣解題》一書的作者叫保羅·蔡茨,曾經(jīng)參加過(guò)1974年的國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽,現(xiàn)在是舊金山大學(xué)的教授。他說(shuō),“練習(xí)題”跟“問(wèn)題”不是一回事,善于“解題”的人總顯得鶴立雞群,好像他們的大腦和別人不一樣,“他們更堅(jiān)韌,對(duì)問(wèn)題的敏感程度也比常人高,思維也更活躍。具備這些優(yōu)秀品質(zhì)的人并不很多,但從現(xiàn)在開(kāi)始擁有這些品質(zhì)并不是件難事”。

        面對(duì)問(wèn)題的第一步是“心理戰(zhàn)略”,要做到永不放棄,嘗試不同的路徑。

        蔡茨說(shuō),面對(duì)問(wèn)題的第一步是“心理戰(zhàn)略”,要做到永不放棄,嘗試不同的路徑,也要大膽地把別人的思想方法拿過(guò)來(lái)?yè)?jù)為己有。很多初學(xué)者缺乏堅(jiān)韌的意志,不夠自信,不夠?qū)P?,面?duì)問(wèn)題時(shí)過(guò)早地放棄,這是學(xué)不好數(shù)學(xué)的。初學(xué)者要進(jìn)步,在學(xué)習(xí)各種解題技巧前,首先要做到堅(jiān)韌不拔。

        蔡茨引用了喬治·波利亞的一段話,喬治·波利亞說(shuō)——老鼠看起來(lái)像是知道要發(fā)生什么,瘋狂地在籠子里蹦著,使勁地朝柵欄上撞著,一會(huì)兒朝這邊,一會(huì)兒朝那邊,在最后一剎那它終于成功地?cái)D了出去。捕鼠器某一邊的柵欄中間肯定有一個(gè)縫隙比較寬。我默默地為老鼠慶幸,它解決了一個(gè)很大問(wèn)題。這也就是解題的途徑。我們必須一試再試,直到最后我們看出各種縫隙之間的細(xì)微差別為止。我們必須不斷更換我們的試驗(yàn),使得我們能探測(cè)到問(wèn)題的各個(gè)方面。鼠類和人所使用的基本方法是一樣的,一再地去試,多次變化方法,不致錯(cuò)過(guò)那少許的可能性。人不需要用肉體去撞障礙物,他用智力去撞,人能夠比老鼠更多地變化其方法且能從挫折中學(xué)到更多的東西。

        喬治·貝利亞這段話出自《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》。我從我的書架上找到《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》第一卷,內(nèi)蒙古人民出版社1979年11月第一版,1980年9月第一次印刷。定價(jià)0.94元,印數(shù)42300冊(cè)。第二卷1982年8月第一次印刷,定價(jià)1.10元,印數(shù)6100冊(cè)。這兩本書,都是我上初中時(shí)買的,里面夾著一張紙,上面是初中數(shù)學(xué)小組指導(dǎo)老師的筆跡,是在解一個(gè)方程。這兩本書跟著我四十年,不斷搬家,雖然當(dāng)年我就沒(méi)有讀下去,但一直留著,證明自己也曾喜歡過(guò)數(shù)學(xué)。

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