陳敬虞

(嘉興學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江嘉興314001)

對固體材料的塑性屈服研究由來已久，研究發(fā)現(xiàn)，一類固體材料的塑性屈服與靜水壓力無關(guān)，如碳鋼、銅、鋁等金屬材料；另一類固體材料的塑性屈服與靜水壓力相關(guān)，如巖石、混凝土、土體等材料，而兩類固體材料的初始屈服函數(shù)和后繼屈服函數(shù)都是不同的.[1]

20世紀(jì)80年代，隨著熱現(xiàn)象和力現(xiàn)象耦合關(guān)系的研究進(jìn)展，歐洲一些學(xué)者通過吸收不可逆過程熱力學(xué)理論和理性熱力學(xué)理論的合理成分，形成了較完善的內(nèi)變量熱力學(xué)理論(Thermo-dynamics with Internal Variables，T.I.V).近年來，內(nèi)變量熱力學(xué)理論所取得的成果豐富和發(fā)展了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)本構(gòu)關(guān)系理論，使人們從物理學(xué)能量耗散的角度深入了解不可逆過程現(xiàn)象的物理本質(zhì)，為研究建立連續(xù)介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系模型提供了新的思路和方法.現(xiàn)代塑性理論是通過引入內(nèi)變量來描述固體材料在發(fā)生塑性變形過程中，固體材料內(nèi)部細(xì)觀結(jié)構(gòu)的變化，用內(nèi)變量作為自變量表示塑性應(yīng)變、后繼屈服函數(shù)、塑性勢函數(shù)和自由能函數(shù)等.[2-8]

本文依據(jù)現(xiàn)代內(nèi)變量塑性理論，給出塑性屈服與靜水壓力無關(guān)和塑性屈服與靜水壓力有關(guān)的兩類固體材料的塑性功率方程，并由塑性功率方程得到用內(nèi)變量表示兩類固體材料的后繼屈服函數(shù)(加載函數(shù))，并建立了塑性功率方程與后繼屈服函數(shù)的聯(lián)系，總結(jié)出由固體材料塑性功率方程得到后繼屈服函數(shù)的方法.

1 固體材料的塑性功率方程或塑性功方程

連續(xù)介質(zhì)熱力學(xué)理論給出的可變形連續(xù)體，在等溫變形過程中的熱力學(xué)第一定律的微分形式為

(1)

(2)

將式(2)代入式(1)，得

(3)

(4)

(5)

式(4)和式(5)聯(lián)立，得

(6)

式(6)稱為由內(nèi)變量表示的連續(xù)變形體塑性功率方程或塑性功方程.

2 塑性屈服與靜水壓力無關(guān)的固體材料的塑性功率方程與后繼屈服函數(shù)

(7)

固體材料的后繼屈服是很復(fù)雜的問題，目前，塑性力學(xué)理論依據(jù)許多金屬材料的實驗結(jié)果給出了加載面(后繼屈服面)的3種模型，即等向強化模型、隨動強化模型和組合強化模型.下面分別給出這3種模型對應(yīng)的塑性功率方程，并由塑性功率方程推導(dǎo)出3種模型對應(yīng)的后繼屈服函數(shù).

2.1 加載面等向強化模型的塑性功率方程和后繼屈服函數(shù)

加載面等向強化模型理論認(rèn)為，材料在某一方向荷載下發(fā)生強化后，則在相反方向必有相同程度的強化，即后繼屈服面在應(yīng)力空間中的中心位置及形狀保持不變，只是隨著塑性變形增大而逐漸等向擴大.

當(dāng)塑性屈服與靜水壓力無關(guān)時，具有等向強化特性的固體材料的塑性功率方程有如下形式：

(8)

(9)

定義函數(shù)

(10)

(11)

由式(11)就可得到具有等向強化特性固體材料的加載函數(shù)或后繼屈服函數(shù)

(12)

2.2 加載面隨動強化模型的塑性功率方程和后繼屈服函數(shù)

加載面隨動強化模型理論認(rèn)為，在塑性變形的過程中，屈服面的大小和形狀都不改變，只是在應(yīng)力空間做剛性移動，即屈服面的中心位置隨塑性變形而變化.該模型在一定程度上可以反映許多金屬材料的包辛格效應(yīng).

當(dāng)塑性屈服與靜水壓力無關(guān)時，具有隨動強化特性的固體材料塑性功率方程可表示為

(13)

其中αij(ξβ)是由內(nèi)變量ξβ決定的背應(yīng)力，k0是初始屈服等效應(yīng)力的一個常數(shù).由塑性功率方程決定的塑性功率函數(shù)可表示為

圖1 加載面的三種強化模型

(14)

(15)

由式(15)可得到具有隨動強化特性固體材料的后繼屈服函數(shù)或加載函數(shù)為

(16)

2.3 加載面組合強化模型的塑性功率方程和后繼屈服函數(shù)

加載面組合強化模型理論認(rèn)為，在塑性變形的過程中，屈服面的形狀、大小和位置都隨內(nèi)變量ξβ的演化而變化，組合強化模型可以更好地反映許多金屬材料的塑性變形過程的包辛格效應(yīng).塑性屈服與靜水壓力無關(guān)的材料，其后繼屈服函數(shù)對應(yīng)的加載面的3種強化模型如圖1所示.

當(dāng)塑性屈服與靜水壓力無關(guān)時，具有組合強化特性的固體材料的塑性功率方程可表示為

(17)

則由塑性功率方程決定的塑性功率函數(shù)為

(18)

(19)

由式(19)就可得到具有組合強化特性固體材料的后繼屈服函數(shù)或加載函數(shù)為：

(20)

3 塑性屈服與靜水壓力有關(guān)的固體材料的塑性功率方程和后繼屈服函數(shù)

土體是由固體顆粒、顆粒間孔隙中的水和空氣組成的混合物.土體在排水條件下，在比較大的壓力作用下孔隙比減小，壓力撤去后會殘留較大的塑性體積變形，是典型的塑性屈服與靜水壓力有關(guān)的固體材料.由式(6)可得此類固體材料的塑性功率方程為

(21)

下面給出土體在常規(guī)三軸應(yīng)力狀態(tài)(二向應(yīng)力狀態(tài))和三向應(yīng)力狀態(tài)下，用內(nèi)變量表示的塑性功率方程和后繼屈服函數(shù).

3.1 土體在常規(guī)三軸應(yīng)力狀態(tài)下的塑性功率方程和后繼屈服函數(shù)

英國劍橋大學(xué)的Thurairajiah博士通過劍橋黏土和砂土的系列常規(guī)三軸壓縮實驗的數(shù)據(jù)分析，得到了土體在常規(guī)三軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的塑性功率方程，為劍橋本構(gòu)模型的建立奠定了重要基礎(chǔ).隨后Roscoe&Burland對Thurairajiah博士的模型進(jìn)行了修正，并建立了土體彈塑性本構(gòu)關(guān)系的修正劍橋模型.Collins等利用內(nèi)變量熱力學(xué)理論，對修正劍橋模型進(jìn)行分析，給出土體在常規(guī)三軸應(yīng)力狀態(tài)下的塑性功率方程為[10]

(22)

(23)

由式(22)和式(23),得塑性功率函數(shù)為

聯(lián)立上面的兩個方程，得到土體在常規(guī)三軸應(yīng)力狀態(tài)下的后繼屈服函數(shù)為

(24)

(25)

圖2 修正劍橋模型加載面隨內(nèi)變量的演化

3.2 土體在三向應(yīng)力狀態(tài)下的塑性功率方程和后繼屈服函數(shù)

依據(jù)塑性功率方程式(17)和土體在常規(guī)三軸應(yīng)力狀態(tài)下的塑性耗散函數(shù)式(23)，假設(shè)塑性屈服與靜水壓力有關(guān)的固體材料一般在三向應(yīng)力狀態(tài)下的塑性耗散函數(shù)為

(26)

聯(lián)立式(21)、式(26)，可得塑性屈服與靜水壓力有關(guān)的固體材料的塑性功率方程：

(27)

由塑性功率方程得到的塑性功率函數(shù)為

(28)

聯(lián)立上面兩式，可得包含應(yīng)力和內(nèi)變量的后繼屈服函數(shù)的表達(dá)式為

(29)

(30)

圖3 黏土帽蓋本構(gòu)模型加載面

4 結(jié)論

塑性屈服與靜水壓力無關(guān)、塑性屈服與靜水壓力有關(guān)的兩類固體材料的塑性功率方程是不同的.本文依據(jù)內(nèi)變量塑性理論，給出兩類固體材料的塑性功率方程，并通過數(shù)學(xué)演繹得到了固體材料的后繼屈服函數(shù)：

第一，塑性屈服與靜水壓力無關(guān)的固體材料的塑性功率方程為

(31)

式(31)是塑性屈服與靜水壓力無關(guān)的固體材料加載面(后繼屈服面)的組合強化模型的塑性功率方程，當(dāng)k(ξβ)=k0為常數(shù)時，就是隨動強化模型對應(yīng)的塑性功率方程；當(dāng)αij(ξβ)=0，就是各向同性強化模型對應(yīng)的塑性功率方程.

第二，塑性屈服與靜水壓力有關(guān)的固體材料的塑性功率方程為

(32)

第三，由塑性功率方程得到塑性功率函數(shù)為

(33)

f(σij,ξβ)=0

(34)