劉 濤

(中國石油大學(北京) 信息科學與工程學院，北京 102249)

0 引言

均勻傳輸線的常見類型主要有平行雙線、平行雙板、同軸線以及微帶線等，它是一種輸送能量和傳遞信號的裝置，由于其應用領域十分廣泛而成為經(jīng)久不衰的研究對象。因為只有確定傳輸線分布參數(shù)之后，才能建立傳輸線等效電路模型，進而才能研究線路參數(shù)分布性質(zhì)和具體應用，所以在長線條件下不同類型傳輸線分布參數(shù)分析和計算方法始終是重要的研究內(nèi)容之一。

一般情況下，均勻傳輸線單位長度上有4個分布參數(shù)，即分布電阻、分布電感、分布電導以及分布電容。它們的計算方法和數(shù)值大小與傳輸線的種類、形狀、尺寸、導體材料性質(zhì)以及周圍媒質(zhì)特性有關(guān)，正是因為這些復雜影響因素，致使精準地建立特定類型傳輸線的分布參數(shù)理論模型存在數(shù)學分析困難，因此時至今日仍然只有結(jié)構(gòu)簡單的理想同軸線、平行雙線、平行雙板類傳輸線建立了分布參數(shù)理論公式，有些類型的傳輸線(例如微帶線)只是針對特定工況建立了經(jīng)驗公式，這種理論現(xiàn)狀在某種程度上制約了新型傳輸線的研發(fā)和應用。(1)參見Pozar,D.M., Microwave Engineering,Third Edittion, John Wiley&Sons Inc, 2005.

近些年來，在石油開發(fā)領域，人們發(fā)明了利用井中套管(外導體)/油管或鉆桿(內(nèi)導體)構(gòu)建長距離傳輸微波能的同軸線傳輸技術(shù)，依此傳遞井底信息或加熱油層采油。在重力作用下，近千米長的內(nèi)導體(即油管或鉆桿)的軸線很難與外導體的軸線重合，這種油井同軸線在使用中出現(xiàn)內(nèi)導體軸線偏心在所難免，這個生產(chǎn)實際使得內(nèi)導體軸線存在偏心的復雜幾何結(jié)構(gòu)的準同軸線分布參數(shù)計算問題擺在了人們面前，并且亟待解決，因此本文建立內(nèi)導體偏心的準同軸線分布參數(shù)數(shù)學模型，提出新的分布參數(shù)計算方法，不僅對豐富電磁波傳輸理論有益，而且對拓展傳輸線在地下石油開采工程中的有效應用具有實用價值。(2)參見王正旭：《井下射頻加熱技術(shù)基礎研究》，碩士學位論文，中國石油大學(北京)，2020年，第5頁。

1 準同軸線截面幾何關(guān)系及其場方程

本文在研究內(nèi)導體軸線偏心的準同軸線分布參數(shù)計算方法時，沒有采用人們常用的保角變換分析方法，而是基于珀扎爾(D.M.Pozar)提出的“場路結(jié)合”理論，在圓柱坐標系下分析問題。選取圓柱坐標系的軸與內(nèi)導體軸線重合且其正方向與電磁波傳輸方向一致；用表示外導體軸線相對于內(nèi)導體軸線的平移距離，稱之為偏心距；假設偏心距不大，即有e

圖1中r0是內(nèi)導體中心到外導體內(nèi)壁面的距離。根據(jù)斜三角形余弦定理，可得如下幾何關(guān)系式，

(1)

(2)

圖1 準同軸線任一截面示意圖

當偏心距e不太大時，在圓柱坐標系下有

(3)

(4)

(5)

2 準同軸線分布參數(shù)計算方法

2.1 準同軸線單位長度電感的計算

現(xiàn)取一段1m長的準同軸線，用S表示同軸線的橫截面積，設同軸線兩導體間電壓為Uae±jβz、電流為Iae±jβz，則可知在1m長同軸線上的時間平均磁儲能為：

(6)

根據(jù)電路理論可得：

(7)

因此，可得單位長度電感L(單位為亨/m)為：

(8)

進而可得本文研究的準同軸線單位長度電感為：

因為，

所以，可得

(9)

2.2 準同軸線單位長度電容計算

根據(jù)經(jīng)典理論知道，在1m長同軸線上的時間平均電儲能為：

(10)

根據(jù)電路理論可得：

(11)

因此，可得單位長度電容C(單位為法/m)為：

(12)

進而可得本文研究的準同軸線單位長度電容為：

因為，

(13)

根據(jù)傳輸線電感、電容的幾何因子之間互為倒數(shù)的關(guān)系，式(13)也可以用下式表達：

(14)

2.3 準同軸線單位長度串聯(lián)電阻計算

根據(jù)電磁場理論，金屬導體的電導率為有限值時產(chǎn)生的單位長度功率耗散為：

(15)

在式(15)中，假設H是內(nèi)導體圍線c1、外導體圍線c2的切線分量，c1+c2表示在導體邊界上的積分路徑；RS表示導體的表面電阻，即有

(16)

式中的σ是導體的電導率，δ表示趨膚深度。

根據(jù)電路理論又可得：

(17)

因此，可得單位長度串聯(lián)電阻(單位為歐/m)為：

(18)

進而可得本文研究的準同軸線單位長度串聯(lián)電阻為：

因為，

所以，可得

(19)

2.4 準同軸線單位長度并聯(lián)電導計算

根據(jù)電磁場理論知道，在有耗介質(zhì)中，單位長度同軸線中的時間平均功率損耗為：

(20)

在式(20)中，ω表示角頻率；ε″表示填充介質(zhì)的復介電常數(shù)的虛部，即有

ε=ε′-jε″=ε′(1-jtanδeff)

(21)

式中的tanδeff=ε′/ε″是損耗角正切。

根據(jù)電路理論可得：

(22)

因此，可得同軸線單位長度的并聯(lián)電導(單位為西門子/m)為：

(23)

進而可得本文研究的準同軸線單位長度并聯(lián)電導為：

即有，

(24)

3 應用分布參數(shù)計算準同軸線特性阻抗

根據(jù)特性阻抗Z0的定義式：

(25)

再應用本文建立的分布參數(shù)R、L、C、G公式計算，便可求得內(nèi)導體存在偏心距的準同軸線特性阻抗Z0。

現(xiàn)在假設準同軸線的損耗很小，即滿足R?ωL、G?ωC時，可得

(26)

將前面的式(9)、式(13)或式(14)聯(lián)立，可容易地得到本文研究的內(nèi)導體存在偏心距的準同軸線特性阻抗Z0為：

(27)

式(27)中，εr表示同軸線導體間填充介質(zhì)的相對介電常數(shù)，其它符號意義同前。

4 理論公式的驗證與分析

4.1 本文解析解與理想同軸線公式的對比驗證

表1列出了同軸線經(jīng)典解析公式與本文建立的存在小偏心距的準同軸線解析解對比，從表中結(jié)果可見，當同軸線的偏心距e=0時，本文諸式都能夠恢復到同軸線的經(jīng)典公式，這證明本文解析解在理想條件下是正確的。(5)參見Pozar,D.M., Microwave Engineering,Third Edittion, John Wiley&Sons Inc, 2005.

表1 本文的準同軸線解析解與經(jīng)典公式(1)的對比

4.2 本文解析解與前人理論的對比驗證

中國學者甘本袚、陳梅泉基于保角變換和系列簡化方法曾經(jīng)建立了內(nèi)導體偏心的同軸線特性阻抗計算公式，并且陳梅泉在其文章中還給出了驗證算例。(6)參見甘本袚：《微波傳輸線設計手冊》，北京：人民郵電出版社，1981年，第334—347頁。現(xiàn)在，應用陳梅泉等人的資料驗證根據(jù)本文分布參數(shù)建立的特性阻抗理論公式。

陳梅泉給出的特性阻抗公式：

(28)

甘本袚給出的特性阻抗公式：

(29)

應用本文分布參數(shù)建立的特性阻抗公式，即式(27)：

現(xiàn)將陳梅泉等人的驗證算例數(shù)據(jù)代入上述三個公式中，可得計算結(jié)果如表2所示：

表2 應用前人資料對本文理論的驗證結(jié)果

從表2所示驗證結(jié)果可以看出，應用本文分布參數(shù)公式建立的特性阻抗解析解與前人給出的理論公式結(jié)果吻合良好，結(jié)果證明本文建立的分布參數(shù)公式是正確的，本文的分布參數(shù)解析解物理概念清晰、表達式簡潔，計算結(jié)果的精確性與前人公式基本相同。

5 結(jié)論

應用“場路結(jié)合”方法，研究了內(nèi)導體存在偏心的準同軸線中電磁波傳輸問題，建立了內(nèi)導體存在偏心的準同軸線分布電感、分布電容、分布電阻、分布電導計算公式，彌補了這方面的理論不足。本文通過兩種方式驗證了本文理論的正確性和較好的精確性。①當同軸線內(nèi)導體的偏心距時，本文諸式都能夠回復到理想同軸線的經(jīng)典公式，證明本文理論在理想條件下是正確的。②應用前人公開發(fā)表的文獻資料，對應用本文分布參數(shù)建立的準同軸線特性阻抗解析解與前人提出的兩個特性阻抗公式進行了計算對比驗證，得到了本文解析解與前人公式結(jié)果非常吻合的結(jié)論。

本文提出的分布參數(shù)計算方法物理概念清晰、表達式簡潔，計算結(jié)果的精確性較高。研究結(jié)果不僅進一步豐富了傳輸線分布參數(shù)理論，而且為微波加熱開采石油工程優(yōu)化設計、合理構(gòu)建地下井筒同軸線提供了理論分析和計算方法。