杜中剛，孫永厚，劉夫云，葉明松，馬雪峰，周 星

(1.桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣西桂林 541004；2.東風(fēng)柳州汽車有限公司，廣西柳州 544005)

0 引言

慣性參數(shù)(質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積)識(shí)別對(duì)航空航天、汽車船艦等領(lǐng)域的參數(shù)設(shè)計(jì)及性能控制具有重要意義[1]?；谀B(tài)試驗(yàn)的慣性參數(shù)識(shí)別方法以振動(dòng)理論和試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析技術(shù)為基礎(chǔ)，測(cè)試的數(shù)據(jù)不僅包含系統(tǒng)模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、固有頻率和振型等模態(tài)信息，而且可求解系統(tǒng)的慣性參數(shù)，它包括模態(tài)模型法(modal method，MM)、直接物理參數(shù)識(shí)別方法(methods of direct physical parameter identification，MDPPI)和質(zhì)量線法(inertia restraint methods，IRM)[2]。模態(tài)模型法利用剛體模態(tài)振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性質(zhì)[3]，即剛體模態(tài)間不發(fā)生能量交換，進(jìn)而求解系統(tǒng)的慣性參數(shù)，因此若振型耦合，則識(shí)別精度會(huì)極大降低，張勇等[4]針對(duì)模態(tài)模型法中振型識(shí)別精度不高問(wèn)題，提出利用振型之間約束和耦合關(guān)系進(jìn)行修正的方法，但測(cè)量復(fù)雜構(gòu)件時(shí)，識(shí)別精度仍不理想[5]。直接慣性參數(shù)識(shí)別法利用頻域下的動(dòng)力學(xué)方程可一次性識(shí)別10個(gè)慣性參數(shù)，但其對(duì)噪聲敏感[6]，且采用最小二乘法時(shí)會(huì)放大誤差[7]。質(zhì)量線法需已知質(zhì)量，忽略系統(tǒng)剛度和阻尼，分步識(shí)別質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性參數(shù)，精度更高，更穩(wěn)定，該方法發(fā)展較成熟且已商用化[8]。

質(zhì)量線法識(shí)別慣性參數(shù)時(shí)，待測(cè)構(gòu)件的質(zhì)量通常由稱重傳感器獲得[9]，但對(duì)大型復(fù)雜構(gòu)件測(cè)量難度過(guò)大且效率低。何宇翔等[10]通過(guò)直接物理參數(shù)識(shí)別法識(shí)別質(zhì)量，再將質(zhì)量代入質(zhì)量線法中識(shí)別其余9個(gè)慣性參數(shù)，但該方法受直接物理參數(shù)識(shí)別法的精度限制；通過(guò)扭振、離心力原理、動(dòng)量守恒方法也可測(cè)得質(zhì)量，但該類方法受裝置條件限制，測(cè)取物理量的精度必須足夠高，且成本較高[11]。

為解決上述問(wèn)題，提出基于頻響函數(shù)的慣性參數(shù)識(shí)別改進(jìn)方法。根據(jù)振動(dòng)微分方程和剛體加速度轉(zhuǎn)換關(guān)系推導(dǎo)系統(tǒng)各測(cè)點(diǎn)的頻響函數(shù)與剛體質(zhì)量的關(guān)系，考慮待測(cè)對(duì)象的多樣性，對(duì)簡(jiǎn)單、均質(zhì)的規(guī)則構(gòu)件利用對(duì)稱性和模態(tài)試驗(yàn)獲取的頻響函數(shù)以識(shí)別質(zhì)量；對(duì)大型非均質(zhì)復(fù)雜構(gòu)件利用懸掛法和動(dòng)力學(xué)原理，確定激振位置識(shí)別質(zhì)量，將該方法結(jié)合質(zhì)量線法識(shí)別剩余慣性參數(shù)。通過(guò)對(duì)駕駛室和發(fā)動(dòng)機(jī)總成的仿真試驗(yàn)，驗(yàn)證本文方法的精度，分析質(zhì)量誤差對(duì)質(zhì)量線法識(shí)別剩余慣性參數(shù)的影響。通過(guò)簡(jiǎn)單規(guī)則構(gòu)件和某型號(hào)卡車駕駛室總成的模態(tài)試驗(yàn)對(duì)本文方法進(jìn)行工程驗(yàn)證，結(jié)果表明該方法的識(shí)別精度完全滿足工程要求。

1 慣性參數(shù)識(shí)別的理論分析

1.1 質(zhì)量識(shí)別的推導(dǎo)

系統(tǒng)的加速度頻響函數(shù)(frequence response function，F(xiàn)RF)H(ω)由振動(dòng)微分方程的頻域變化得：

(1)

當(dāng)ω>>ωn時(shí)，F(xiàn)RF趨于系統(tǒng)質(zhì)量相關(guān)的定值，如圖1所示。對(duì)于非純剛體存在彈性模態(tài)且剛體模態(tài)趨于0，將在剛體模態(tài)和第1階彈性模態(tài)之間相對(duì)平滑的頻段，稱為質(zhì)量線，通過(guò)計(jì)算該段內(nèi)的實(shí)數(shù)值即可得到系統(tǒng)的質(zhì)量[12]。

圖1 單自由度和多自由度的FRF曲線

根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)中加速度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得：

(2)

由式(2)可得，質(zhì)心處加速度和測(cè)點(diǎn)加速度關(guān)系為

(3)

可知激振確定時(shí)，響應(yīng)點(diǎn)在激振方向上的加速度由非激振方向的坐標(biāo)值決定，對(duì)式(3)左右兩邊同乘以1/Fj，得：

(4)

1.1.1 密度均勻的大型對(duì)稱構(gòu)件

當(dāng)被測(cè)對(duì)象為密度均勻的大型對(duì)稱構(gòu)件時(shí)，在構(gòu)件邊角位置布置加速度傳感器，根據(jù)式(2)、式(4)可知加速度頻響函數(shù)、坐標(biāo)、質(zhì)量之間可互相轉(zhuǎn)換，因此在任意邊角點(diǎn)按參考軸方向激振，以任意邊角的加速度為參考值，根據(jù)平面圖形的形心坐標(biāo)與邊角坐標(biāo)關(guān)系，便可確定待測(cè)對(duì)象的質(zhì)量。以對(duì)稱剛體為例，在響應(yīng)點(diǎn)4進(jìn)行y方向激振，如圖2所示。

圖2 對(duì)稱構(gòu)件算例

通過(guò)4個(gè)頂角的頻響函數(shù)求解立方體質(zhì)量：

式中：H1、H2、H3、H4、Hc分別為響應(yīng)點(diǎn)1、2、3、4及質(zhì)心處的頻響函數(shù)。

為提高識(shí)別精度，可布置多個(gè)響應(yīng)點(diǎn)(僅激振方向坐標(biāo)值不同)，通過(guò)均值計(jì)算提高識(shí)別精度。

1.1.2 非規(guī)則的大型復(fù)雜構(gòu)件

當(dāng)被測(cè)對(duì)象為非規(guī)則的大型復(fù)雜構(gòu)件時(shí)，利用自由模態(tài)試驗(yàn)可知，其自由邊界通過(guò)彈性懸掛或支撐達(dá)到近似自由條件，因此根據(jù)力矩平衡方程[13]，利用懸掛點(diǎn)或支撐點(diǎn)與系統(tǒng)質(zhì)心的關(guān)系，可得：

(5)

式中：p為懸掛或支撐數(shù)量；Fp為拉力或支撐力；lpc為Fp到質(zhì)心的距離。

由式(5)可知，在各點(diǎn)拉力或支撐力相等，且待測(cè)系統(tǒng)平衡靜止情況下：當(dāng)p=1時(shí)，系統(tǒng)為保持平衡，質(zhì)心與重心重合，且必在懸掛或支撐點(diǎn)所在的重力方向的垂線上[14]；當(dāng)p=2時(shí)，質(zhì)心在懸掛或支撐點(diǎn)連線中某點(diǎn)在重力方向的垂線上；當(dāng)p≥3時(shí)，質(zhì)心在懸掛或支撐點(diǎn)連接平面圖形形心在重力方向所在的垂線上。如圖3所示，一般p∈[1,4],因此待測(cè)系統(tǒng)的質(zhì)心系軸線與待測(cè)系統(tǒng)表面交點(diǎn)的位置可通過(guò)懸掛或支撐的布局確定。

圖3 懸掛方式與質(zhì)心關(guān)系

(6)

式中：Jc為待測(cè)剛體相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ρjc為質(zhì)心到激振力作用線的距離。

當(dāng)ρjc=0時(shí)，相對(duì)質(zhì)心系的角加速度為0，且對(duì)各測(cè)點(diǎn)在激振方向的頻響函數(shù)值作最小二乘法求解，即可識(shí)別系統(tǒng)的質(zhì)量。

1.2 質(zhì)量線法

建立質(zhì)心坐標(biāo)系C-XYZ和原點(diǎn)參考坐標(biāo)系O-XYZ，當(dāng)式(1)中M為廣義質(zhì)量時(shí)，得質(zhì)心處為Mc：

(7)

式中：(JxxJyyJzz)為繞質(zhì)心坐標(biāo)系X/Y/Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(JxyJyzJzz)為相應(yīng)坐標(biāo)平面的慣性積。

(8)

結(jié)合式(8)質(zhì)心處的激振力、質(zhì)心加速度及識(shí)別的質(zhì)量，即可確定質(zhì)心坐標(biāo)為

(9)

式(9)有3個(gè)未知數(shù)，通過(guò)1次激振可粗略計(jì)算質(zhì)心坐標(biāo)，根據(jù)剛體動(dòng)量矩定理得包含轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積的矩陣Jcc為：

(10)

Jcc中有6個(gè)未知數(shù)，因此m≥2，n≥3時(shí)，用最小二乘法可提升識(shí)別剩余慣性參數(shù)的精度[15]。

2 慣性參數(shù)識(shí)別的仿真分析

2.1 密度均勻的大型對(duì)稱構(gòu)件

為分析并驗(yàn)證密度均勻大型對(duì)稱構(gòu)件質(zhì)量的識(shí)別方法，將近似規(guī)則均質(zhì)的某商用車駕駛室三維模型通過(guò)Hypermesh中Opstruct模塊網(wǎng)格劃分和材料屬性設(shè)置等前處理操作，導(dǎo)出MNF文件到Adams/View中建立模型，采用4根線性彈簧阻尼器將其懸掛，使其邊界近似自由，如圖4(a)所示，采用Marker點(diǎn)創(chuàng)建激振點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)，其中響應(yīng)點(diǎn)選擇駕駛室中相對(duì)規(guī)則的地板處進(jìn)行對(duì)稱布置，激振點(diǎn)布置在角加速度大的位置，利用Adams/Vibration振動(dòng)分析模塊，分別在激振點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)上建立輸入和輸出通道，通過(guò)預(yù)試驗(yàn)判斷剛體模態(tài)頻率在2 Hz左右，設(shè)置帶寬256 Hz，分辨率為0.5，在Adams的后處理模塊中，確定各響應(yīng)點(diǎn)X/Y/Z方向的頻響函數(shù)，如圖4(b)所示，對(duì)頻響函數(shù)60～100 Hz頻段的數(shù)據(jù)，按1.2方式進(jìn)行質(zhì)量計(jì)算，駕駛室質(zhì)量識(shí)別為307.3 kg，計(jì)算值相比參考值降低了0.3 kg，質(zhì)量識(shí)別相對(duì)誤差為0.1%，因此本文方法在大型對(duì)稱構(gòu)件上的仿真精度滿足工程要求。

(a)駕駛室模型

2.2 非規(guī)則的大型復(fù)雜構(gòu)件

為驗(yàn)證非規(guī)則大型復(fù)雜構(gòu)件識(shí)別的質(zhì)量，將某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)總成按駕駛室模型處理方法建立振動(dòng)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，采?根線性彈簧阻尼器將其懸掛，考慮質(zhì)心位置的確定，需對(duì)懸掛位置坐標(biāo)調(diào)整，保證每根彈簧受力相同，如圖5(a)所示，可知各響應(yīng)點(diǎn)在激振方向的頻響函數(shù)基本相同，選擇各平滑頻段內(nèi)數(shù)據(jù)作均值處理，如圖5(b)所示，根據(jù)1.2方法，確定其質(zhì)量為188.05 kg，相比參考值增加0.574 kg，相對(duì)誤差為0.31%，因此該方法適用于非規(guī)則大型復(fù)雜構(gòu)件質(zhì)量的識(shí)別。

(a)發(fā)動(dòng)機(jī)模型側(cè)視圖

為進(jìn)一步識(shí)別剩余慣性參數(shù)，首先以發(fā)動(dòng)機(jī)總成模型研究質(zhì)量誤差對(duì)剩余慣性參數(shù)的影響，如圖6所示，剩余的9個(gè)慣性參數(shù)識(shí)別誤差受質(zhì)量誤差影響，其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積受其影響較大，質(zhì)心影響較小，當(dāng)質(zhì)量誤差≤10 kg時(shí)，剩余慣性參數(shù)絕對(duì)誤差均不超過(guò)0.05，因此，剩余慣性參數(shù)識(shí)別精度對(duì)質(zhì)量誤差不是非常敏感。

圖6 質(zhì)量誤差對(duì)剩余慣性參數(shù)的影響

綜上所述，將本文方法識(shí)別的質(zhì)量結(jié)合質(zhì)量線法識(shí)別發(fā)動(dòng)機(jī)總成的剩余慣性參數(shù)并對(duì)誤差進(jìn)行對(duì)比分析，如表1所示。

由表1可知，發(fā)動(dòng)機(jī)識(shí)別的Y向質(zhì)心坐標(biāo)誤差為5.9%，慣性積中Jxy和Jyz相對(duì)誤差較大，主要原因受Y向懸掛的影響，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最大相對(duì)誤差小于0.2%，因此整體慣性參數(shù)識(shí)別的精度滿足工程誤差要求。

表1 發(fā)動(dòng)機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)識(shí)別的慣性參數(shù)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 密度均勻的對(duì)稱構(gòu)件

為驗(yàn)證本文提出的方法，首先對(duì)密度均勻的對(duì)稱構(gòu)件進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)未知慣性參數(shù)的均質(zhì)規(guī)則構(gòu)件采用LMS設(shè)備采集輸入輸出的數(shù)據(jù)、型號(hào)為PCB 356B18和3263A2的三向振動(dòng)傳感器測(cè)取加速度，型號(hào)為INV9313且靈敏度為0.21 mV/N的橡膠頭力錘進(jìn)行激振，結(jié)合ImpactTesting軟件對(duì)數(shù)據(jù)分析篩選，激振和響應(yīng)坐標(biāo)通過(guò)六自由度的FARO-Arm關(guān)節(jié)臂和PowerINSPECT軟件相互結(jié)合測(cè)量坐標(biāo)，其單點(diǎn)精度≤0.025 mm(2σ)，測(cè)量范圍為2.4 m，可完全測(cè)量各坐標(biāo)值，如圖7所示。

圖7 簡(jiǎn)單件模態(tài)試驗(yàn)

通過(guò)預(yù)實(shí)驗(yàn)確定剛體模態(tài)1 Hz左右，確定采集頻率為512 Hz，譜線數(shù)為1 024，帶寬為256 Hz，按本文方法對(duì)其采集數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，確保試驗(yàn)過(guò)程無(wú)欠載和過(guò)載信號(hào)，相干函數(shù)幅值≥0.9，輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的剛體相關(guān)系數(shù)都在95%以上，平均相關(guān)性在99%左右，結(jié)合傳感器的位置坐標(biāo)，選擇相對(duì)平滑的頻段識(shí)別出質(zhì)量，并結(jié)合質(zhì)量線法計(jì)算剩余慣性參數(shù)，如圖8所示。

(a)頻響函數(shù)

已知構(gòu)件的密度和尺寸，以SolidWorks中建立該模型的慣性參數(shù)為參考值，確定參考坐標(biāo)系，將其與模態(tài)試驗(yàn)識(shí)別的結(jié)果對(duì)比分析，由于該構(gòu)件中心對(duì)稱，慣性積過(guò)于微小不做考慮，如表2所示。

表2 密度均勻?qū)ΨQ構(gòu)件的慣性參數(shù)

由表2可知，質(zhì)量識(shí)別相對(duì)誤差1.88%，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量誤差較大，但其整體最大誤差不超過(guò)4%，質(zhì)心最大誤差不超過(guò)2%，識(shí)別精度滿足工程要求。

3.2 大型復(fù)雜構(gòu)件

對(duì)大型復(fù)雜構(gòu)件的驗(yàn)證以某型號(hào)駕駛室進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，考慮其受力狀態(tài)選用相同型號(hào)的彈簧進(jìn)行懸掛點(diǎn)布置。由于其體大且過(guò)重，激振選用靈敏度為0.05 mV/N的IEPE型沖擊力棒進(jìn)行激振，如圖9所示，試驗(yàn)參數(shù)設(shè)置采樣率為320 Hz，譜線數(shù)為1 024，布置18個(gè)三向振動(dòng)傳感器，其余試驗(yàn)設(shè)備與簡(jiǎn)單構(gòu)建試驗(yàn)的相同，采用單點(diǎn)激振多點(diǎn)響應(yīng)方式獲取數(shù)據(jù)并對(duì)每次激振的數(shù)據(jù)進(jìn)行5次平均，根據(jù)相干性、輸入/輸出信號(hào)的剛體相關(guān)系數(shù)篩選頻響函數(shù)，選取剛體模態(tài)和第一階彈性模態(tài)之間較光滑的頻段進(jìn)行均值計(jì)算，將識(shí)別的質(zhì)量結(jié)合質(zhì)量線法計(jì)算剩余慣性參數(shù)。

圖9 駕駛室的模態(tài)試驗(yàn)

為對(duì)駕駛室識(shí)別的參數(shù)進(jìn)行比較分析，采用商用化的MPC轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平臺(tái)對(duì)駕駛室進(jìn)行測(cè)量，其測(cè)量的質(zhì)量誤差小于1 kg，質(zhì)心精度小于3 mm，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小于2%。首先按順時(shí)針選擇工作臺(tái)面上3個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)，測(cè)量其與3個(gè)特征點(diǎn)距離，將其作為坐標(biāo)系變換的參數(shù)，再分別測(cè)量駕駛室6個(gè)姿態(tài)在空載和載重時(shí)的慣性參數(shù)，匯總后計(jì)算出質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積，如圖10所示。

圖10 MPC轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平臺(tái)測(cè)試駕駛室

將2種方法測(cè)試的慣性參數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析，如表3所示。由表3可知，由于駕駛室總裝較大，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，導(dǎo)致整體識(shí)別值有偏小，在質(zhì)量識(shí)別中誤差達(dá)到4.502%，因?yàn)轳{駛室尺寸很大，則質(zhì)心識(shí)別相對(duì)誤差較小，最大不超過(guò)2%，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量受質(zhì)心坐標(biāo)誤差影響，最大相對(duì)誤差為Jzz的8.81%，慣性積整體最大誤差不超過(guò)3%，同時(shí)受質(zhì)心誤差影響，Jyz誤差最大為2.79%，綜上所述，該方法識(shí)別的慣性誤差滿足工程要求。

表3 駕駛室的慣性參數(shù)

4 結(jié)束語(yǔ)

本研究利用剛體振動(dòng)微分方程和加速度轉(zhuǎn)換的關(guān)系，推導(dǎo)頻響函數(shù)與質(zhì)量的關(guān)系表達(dá)式，基于該式細(xì)分2種確定系統(tǒng)頻響函數(shù)與質(zhì)量等效轉(zhuǎn)換的方法。聯(lián)合Hypermesh和Adams分別搭建駕駛室和發(fā)動(dòng)機(jī)總成的振動(dòng)仿真模型，并比較本文方法的精度。分別對(duì)簡(jiǎn)單構(gòu)件和某型號(hào)駕駛室進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，將本文方法結(jié)合質(zhì)量線法識(shí)別慣性參數(shù)，通過(guò)對(duì)駕駛室識(shí)別結(jié)果與MPC轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平臺(tái)測(cè)試結(jié)果的對(duì)比分析，驗(yàn)證該方法的工程測(cè)試精度。研究結(jié)果表明：

(1)本文所提出基于頻響函數(shù)的慣性參數(shù)識(shí)別改進(jìn)方法在識(shí)別質(zhì)量時(shí)，仿真相對(duì)誤差最大不超過(guò)0.4%，實(shí)驗(yàn)測(cè)量相對(duì)誤差最大不超過(guò)4.6%；綜合該方法結(jié)合質(zhì)量線法識(shí)別的慣性參數(shù)結(jié)果分析可知：質(zhì)心坐標(biāo)相對(duì)誤差≤2%，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相對(duì)誤差≤9%，慣性積相對(duì)誤差≤3%，因此本方法滿足工程實(shí)際應(yīng)用需求。

(2)質(zhì)量線法中剩余慣性參數(shù)誤差對(duì)質(zhì)量識(shí)別誤差不十分敏感，但質(zhì)心坐標(biāo)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積影響較大，且本文方法對(duì)密度均勻且對(duì)稱構(gòu)件的質(zhì)量識(shí)別精度更高。