王淼生

（1.廈門第一中學(xué)，福建 廈門 361003；2.福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所，福建 福州 350025）

隨著《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》的實(shí)施，一線教師既要全面把握宏觀層面：新高考評(píng)價(jià)體系下的“為什么考”的“一核”及“考什么”的“四層”外，更要密切關(guān)注微觀視角：“怎么考”的“四翼”［1］.毋庸置疑，高考?jí)狠S題，尤其導(dǎo)數(shù)綜合試題永遠(yuǎn)是高中數(shù)學(xué)教師研究的重點(diǎn).本文通過對(duì)2021 年新高考數(shù)學(xué)I 卷第22 題的剖析，凸顯命題專家在導(dǎo)數(shù)壓軸題中有效落實(shí)考查要求中的“四性”——基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性及創(chuàng)新性，從代數(shù)層面給出多種解答，揭示試題幾何背景，詮釋問題本質(zhì)為極值點(diǎn)偏移，追尋專家命制導(dǎo)數(shù)壓軸題的歷程，彰顯高考的引導(dǎo)、導(dǎo)向作用，為以后的教育教學(xué)及命制試題指明方向.

一、重現(xiàn)高考真題——落實(shí)高考評(píng)價(jià)體系

2021 年全國(guó)新高考數(shù)學(xué)I 卷第22 題（導(dǎo)數(shù)壓軸題）如下：

已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

（I）討論f(x)的單調(diào)性；

（II）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：2 <

評(píng)注：本題短小精悍，內(nèi)涵豐富.主要考查函數(shù)定義域、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、極值點(diǎn)偏移及不等式證明等重要知識(shí)，突出考察代數(shù)變形、推理論證等數(shù)學(xué)能力，重點(diǎn)滲透轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，著力提煉換元、構(gòu)造、分析、綜合等數(shù)學(xué)方法，逐步提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)，全面落實(shí)高考評(píng)價(jià)體系“四翼”要求.

二、基于代數(shù)視角——培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)

（一）對(duì)于（I）而言——凸顯“四性”中的“基礎(chǔ)性”

對(duì)函數(shù)f(x)=x(1-lnx) 求導(dǎo)可得f′(x)=-lnx.可以得到f(x)在(0,1)上為單調(diào)遞增函數(shù)，f(x)在(1,+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)，如圖1 所示.

圖1

評(píng)注：函數(shù)單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間）屬于函數(shù)最基本的性質(zhì).求導(dǎo)是判斷函數(shù)單調(diào)性最基本的方法.命題專家將單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間）設(shè)置為導(dǎo)數(shù)綜合試題第（I）問，呈現(xiàn)低起點(diǎn)、易入手、多得分、好心態(tài)、建橋梁的特點(diǎn).低起點(diǎn)是為了鼓勵(lì)所有考生敢于下筆.不含參數(shù)容易入手，是為了激勵(lì)所有考生能夠下筆.多得分是為了獎(jiǎng)勵(lì)勤奮好學(xué)的考生，實(shí)現(xiàn)人人都可以學(xué)到相應(yīng)的數(shù)學(xué).好心態(tài)是為了勉勵(lì)所有考生熱愛數(shù)學(xué)，消除恐懼壓軸題而直接放棄的心理.建橋梁是指第（I）問為第（II）問鋪路搭橋，既能拾級(jí)而上，又能各顯神通，優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生智力，磨礪考生敢于創(chuàng)新的意識(shí)，善于創(chuàng)新的能力，凸顯新高考評(píng)價(jià)體系下的“四性”之一的“基礎(chǔ)性”中的“基”的本質(zhì)含義：基礎(chǔ)知識(shí)、基本性質(zhì)、基本方法、基本路徑、基本得分、基本分值、基本思想、基本功能.

（二）對(duì)于（II）而言——彰顯“四性”中的“綜合性”“創(chuàng)新性”

至此，已知條件：m(1-lnm)=n(1-lnn)與求證結(jié)論：2

設(shè)0

（1）先證明：m+n>2.

分析1（分析法、綜合法與構(gòu)造法）：

這正是②式.

分析2（分析法、同構(gòu)法與構(gòu)造法）：

將④代入③式右邊并整理得到

⑤式兩邊結(jié)構(gòu)相同，于是構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)：g2(x)=x2-2xlnx，則上述⑤式等價(jià)于

g2(n) >g2(m).

由于o

分析3（結(jié)論法、放縮法與綜合法）：已知條件為等式m(1-lnm)=n(1-lnn)，而求證結(jié)論為不等式m+n>2，適當(dāng)放縮是實(shí)現(xiàn)等式向不等式轉(zhuǎn)化的有效途徑.我們可以將熟知不等式：lnx≤x-1 進(jìn)一步加強(qiáng)為以下結(jié)論（限于篇幅，證明過程略）：

必須指出圖1 正是這樣得到的，否則難以畫出精準(zhǔn)的圖1.其實(shí)，我們應(yīng)該也必須承認(rèn)：平時(shí)不少作圖或多或少借助了極限（即圖形走勢(shì)）概念，其本質(zhì)就是洛必達(dá)法則.

分析6（變量法、分析法與構(gòu)造法）：因0 1）代入①（引入新變量t，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，這是處理極值點(diǎn)偏移問題的常見策略）可得

分析8（分類法與構(gòu)造法）：由于0

（i）當(dāng)1

構(gòu)造函數(shù)：g9(x)=2x-xlnx-e，求導(dǎo)可得g′9(x)=1-lnx>0，則g9(x)在(e-1,e)上遞增，于是g9(x)

評(píng)注：本題是一道融極值點(diǎn)偏移、同構(gòu)變換、構(gòu)造函數(shù)與不等式證明于一體的經(jīng)典案例.回顧上述分析1 至分析8 的邏輯推理過程，既包括同一層面、橫向的觸類旁通，又連接不同層面、縱向的融會(huì)貫通，還揭示極值點(diǎn)偏移問題隱藏的解題規(guī)律，處處體現(xiàn)分析法、綜合法、放縮法、同構(gòu)法、構(gòu)造法等數(shù)學(xué)方法的完美結(jié)合，將新高考評(píng)價(jià)體系下的“四性”之一的“綜合性”中的“綜”刻畫得淋漓盡致.尤其分析3 的加強(qiáng)結(jié)論、直搗黃龍與分析8 的巧妙拆分、各個(gè)擊破，以發(fā)散思維、逆向思維、創(chuàng)新思維，將新高考評(píng)價(jià)體系下的“四性”之一的“創(chuàng)新性”中的“新”演繹得賞心悅目.

值得說(shuō)明的是，上述①還可以等價(jià)變形為：

三、揭示幾何背景——培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是研究代數(shù)與幾何的一門科學(xué)，上述論證方法都是側(cè)重代數(shù)視角，若從幾何視角該如何考察呢？由圖1 及第（I）問的結(jié)論可知函數(shù)f(x)在（0,1)上單調(diào)遞增，在(1,e)上單調(diào)遞減.通過作圖發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，函數(shù)f(x)圖象恒在經(jīng)過點(diǎn)O(0,0)與A(1,1)的直線y=x的上方，即x(1-lnx) >x；當(dāng)x∈(1,e) 時(shí)，函數(shù)f(x)圖象恒在點(diǎn)B(e,0)處的切線y=e-x的下方，即x(1-lnx)

圖2

評(píng)注：數(shù)缺形時(shí)少直觀.史寧中先生認(rèn)為，在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來(lái)，而不是“證”出來(lái)的，這是對(duì)培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的最佳詮釋.正如數(shù)學(xué)教育家克萊因感嘆：“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上.”命題專家正是憑借直觀圖形的靈感，從而命制出這道經(jīng)典試題.

四、堅(jiān)守極值點(diǎn)偏移——培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

求證結(jié)論：

上述⑩式意味著什么呢？如圖3 所示，這正是典型的極值點(diǎn)偏移問題，且極值點(diǎn)偏移在1（即為函數(shù)f(x) 增減區(qū)間的分點(diǎn)）與（即為直線y=x與y=e-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）之間.極值點(diǎn)之所以產(chǎn)生偏移，就是源于函數(shù)圖象增減速度不同而形成.事實(shí)上，由第（I）問的結(jié)論及圖3 可知，函數(shù)f(x)=x(1-lnx)在(0,1)上為單調(diào)遞增函數(shù)且增速快，在(1,e)上為單調(diào)遞減函數(shù)且減速慢，因此極值點(diǎn)1 偏左，故有1-m2.盡管函數(shù)f(x)=x(1-lnx)只有一個(gè)零點(diǎn)e，但由前面的分析可知，我們也可以將0 看作另一個(gè)“ 零點(diǎn)”，于是同樣由圖可以看出，即m+n

圖3

事實(shí)上，借助三階導(dǎo)數(shù)也可以確定極值點(diǎn)偏移情況.

正是因?yàn)槿A導(dǎo)數(shù)恒為正數(shù)，說(shuō)明極值點(diǎn)1 向左偏移.由圖2 可知，作直線y=p（0

m

?m+n

評(píng)注：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》將函數(shù)從代數(shù)中分離出來(lái)，并將函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)課程四大主線（函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)）之一且排在四大主線之首，就是為了突出函數(shù)特殊地位，強(qiáng)調(diào)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，彰顯函數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)永恒主題.正如章建躍、任勇等數(shù)學(xué)名家在不同場(chǎng)合一再?gòu)?qiáng)調(diào)的，無(wú)論在函數(shù)教學(xué)上花再多時(shí)間、再多精力都是值得.極值點(diǎn)偏移不僅是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合試題中的關(guān)鍵問題，處處滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等一系列思想方法，而且解決極值點(diǎn)偏移問題的過程本身就是數(shù)學(xué)建模過程，時(shí)時(shí)昭顯新高考評(píng)價(jià)體系下的“四性”之一的“應(yīng)用性”中的“用”：應(yīng)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)，利用各種數(shù)學(xué)方法來(lái)分析并解決問題.極值點(diǎn)偏移問題有利于培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等核心素養(yǎng)，這正是近些年來(lái)高考命題專家鍥而不舍地反復(fù)考查的緣由.可以預(yù)測(cè)，極值點(diǎn)偏移問題也是未來(lái)各級(jí)各類考試中的熱點(diǎn)、重點(diǎn)與難點(diǎn).

五、追尋命題依據(jù)——引領(lǐng)教學(xué)方向

命題專家正是借助圖1、圖2、圖3 的直觀性，再利用函數(shù)f(x)=x(1-lnx)滿足的條件：f(m)=f(n)，然后經(jīng)過適度“包裝”（此處包裝即為換元：m=并“故意”調(diào)換順序，從而得到blna-alnb=a-b.這種命題套路已經(jīng)成為公開的秘密，這正是專家命題的心路歷程，恰好與我們解決問題的流程相反.［2］

2021 年全國(guó)新高考數(shù)學(xué)I 卷具有特殊意義與價(jià)值，不僅是未來(lái)命題的風(fēng)向標(biāo)桿，而且是今后高三復(fù)習(xí)的指路明燈.正如教育部考試中心發(fā)布的《2021 年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析》中所指出的：“試題突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視理性思維，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則，穩(wěn)步推進(jìn)改革，科學(xué)把握必備知識(shí)和關(guān)鍵能力的關(guān)系，科學(xué)把握數(shù)學(xué)題型的開放性和數(shù)學(xué)思維的開放性，穩(wěn)中求新，對(duì)深化中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用.”