孫楊雨茜，喬棟，張晨，朱政帆，溫昶煊，*

1. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081 2. 中國(guó)科學(xué)院 空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心，北京 100094 3. 航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京 100094

1 引言

近年來(lái)，人類持續(xù)的太空活動(dòng)導(dǎo)致空間碎片數(shù)量急劇攀升，空間環(huán)境日趨復(fù)雜。針對(duì)空間碎片這類大規(guī)模微小目標(biāo)，傳統(tǒng)地基觀測(cè)由于受到大氣環(huán)境干擾和探測(cè)目標(biāo)尺寸限制任務(wù)所需成本較高。相對(duì)地基觀測(cè)，天基觀測(cè)不受大氣影響，在監(jiān)測(cè)暗弱目標(biāo)時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，可作為傳統(tǒng)地基觀測(cè)的有效補(bǔ)充。

遙感衛(wèi)星的觀測(cè)覆蓋問(wèn)題包括兩類：①對(duì)地觀測(cè)覆蓋問(wèn)題，也稱之為“地球背景觀測(cè)”(Below-The-Horizon，BTH)；②對(duì)空間目標(biāo)的觀測(cè)覆蓋問(wèn)題。由于地球的熱背景干擾會(huì)使衛(wèi)星對(duì)空間目標(biāo)的探測(cè)失效，因此第二類問(wèn)題也被稱為“星空背景觀測(cè)”(above-the-horizon，ATH)問(wèn)題。

需要注意的是區(qū)分BTH和ATH的邊界(horizon)并不是真正的地球幾何形狀邊界，而是基于大氣影響考慮的一個(gè)地球同心球面(tangent height shell，THS)[1]，如圖1所示。BTH和ATH問(wèn)題可以通過(guò)一個(gè)切線高度圓錐(tangent height cone，THC)來(lái)界定，該圓錐由無(wú)數(shù)條從衛(wèi)星出發(fā)與THS相切的切線(tangent line，TL)構(gòu)成。為更好地說(shuō)明兩類覆蓋情況關(guān)系，圖1給出了由TL劃分的ATH與BTH區(qū)域示意，TL以上為ATH區(qū)域，TL以下為BTH區(qū)域。當(dāng)前，以全球連續(xù)覆蓋[2-7]或特定目標(biāo)區(qū)域覆蓋[8-12]的星座設(shè)計(jì)為代表的BTH問(wèn)題研究已經(jīng)較為完善，而針對(duì)ATH問(wèn)題的研究較少，尤其是復(fù)雜約束下的覆蓋問(wèn)題仍待解決，有必要開展更為深入的研究。

圖1 ATH與BTH覆蓋示意Fig.1 Diagram of ATH and BTH coverage

ATH問(wèn)題可分為如下幾類不同的覆蓋情況。

單高度面覆蓋：研究對(duì)象為圖1中紅色實(shí)線所示目標(biāo)球面(target altitude shell，TAS)，研究?jī)?nèi)容具體分為一維覆蓋弧角和二維空間覆蓋球面兩類。

雙高度段覆蓋：研究由目標(biāo)高度下限(lower TAS，LTAS)和目標(biāo)高度上限(upper TAS，UTAS)決定的三維目標(biāo)球?qū)?，如圖1中黃色區(qū)域所示。研究?jī)?nèi)容具體分為二維平面覆蓋面積和三維空間覆蓋體積兩類。

此外，根據(jù)是否考慮傳感器有效范圍約束，ATH問(wèn)題又可劃分為“無(wú)限傳感器范圍”和“有限傳感器范圍”兩類。

早期ATH研究主要考慮無(wú)限傳感器范圍的情況。文獻(xiàn)[13-14]研究了空間ATH覆蓋問(wèn)題。但在對(duì)地指向大視場(chǎng)角或位于高軌道的無(wú)限傳感器設(shè)定下，極限覆蓋情況一定出現(xiàn)在LTAS處。因此該階段研究實(shí)際只針對(duì)LTAS單高度面展開，并等效于三維空間覆蓋情況。之后，文獻(xiàn)[15]在自身研究的基礎(chǔ)上降低軌道高度使衛(wèi)星處于雙高度段目標(biāo)之間并進(jìn)行了星座設(shè)計(jì)。但該研究?jī)H針對(duì)平面覆蓋情況展開設(shè)計(jì)，同時(shí)未考慮傳感器有效距離，沒(méi)有對(duì)于覆蓋類型進(jìn)行全面的討論。

近年來(lái)，有限傳感器范圍的ATH問(wèn)題得到了更多關(guān)注。文獻(xiàn)[16]通過(guò)計(jì)算UTAS，LTAS，傳感器范圍和TL的14個(gè)交點(diǎn)，共給出了18種不同的雙高度段平面覆蓋情況及對(duì)應(yīng)的覆蓋面積函數(shù)。同時(shí)，利用該方法對(duì)給定目標(biāo)雙高度段和傳感器范圍情況下使得覆蓋面積最大化的最優(yōu)衛(wèi)星軌道高度進(jìn)行了計(jì)算。然而，該研究只能用于平面內(nèi)的ATH問(wèn)題，由于二維平面覆蓋最優(yōu)性并不能直接映射到三維空間的最優(yōu)覆蓋性，故文獻(xiàn)[16]所給出的平面覆蓋面積的求解方法不能用于三維空間覆蓋體積的計(jì)算。而隨后采用切片思想建立的由不同平面疊加而成的三維體積計(jì)算方法在計(jì)算效率和誤差方面均存在不足[17]，因此也沒(méi)有針對(duì)空間覆蓋的最優(yōu)衛(wèi)星高度進(jìn)行研究?，F(xiàn)有文獻(xiàn)尚無(wú)專門針對(duì)雙高度段ATH的三維覆蓋體積的精確計(jì)算這一復(fù)雜問(wèn)題的專門研究。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種基于分段積分函數(shù)的ATH雙高度段平面覆蓋面積和空間覆蓋體積的求解方法。該方法的基本思路如下：首先，根據(jù)遙感衛(wèi)星觀測(cè)軌道高度與目標(biāo)球面高度的相對(duì)位置關(guān)系和傳感器范圍是否涉及地球遮擋區(qū)域，將單高度面覆蓋問(wèn)題分為四種情況進(jìn)行分析，得到單高度面覆蓋地心角計(jì)算公式；然后，將覆蓋地心角作為被積函數(shù)，擴(kuò)展到雙高度段極坐標(biāo)和球坐標(biāo)下平面和空間的分段解析積分函數(shù)；最后，結(jié)合實(shí)際雙高度段ATH問(wèn)題不同組合情況，并給出其具體計(jì)算公式。通過(guò)將由積分得到的平面覆蓋面積與文獻(xiàn)[17]中的解析方法進(jìn)行比較，證明了本文方法的有效性。

2 雙高度段ATH覆蓋的積分函數(shù)

設(shè)衛(wèi)星觀測(cè)軌道半徑為RSat，目標(biāo)高度上限為RUtas，目標(biāo)高度下限為RLtas，地球同心球面半徑為RThs，傳感器范圍為RSen。實(shí)際應(yīng)用中，上面各項(xiàng)參數(shù)為已知參數(shù)。為了求解[RLtas，RUtas區(qū)間的平面區(qū)域和空間體積覆蓋，首先需分析衛(wèi)星對(duì)單個(gè)TAS的覆蓋情況。

設(shè)TAS的半徑為r，根據(jù)RSat和r的相對(duì)高度位置關(guān)系，存在的兩種情況：①RSat≤r，衛(wèi)星軌道不高于TAS，單高度球面覆蓋區(qū)域不考慮THS影響；②r

2.1 RSat≤r時(shí)ATH覆蓋的積分函數(shù)

針對(duì)RSat≤r的單高度球面ATH覆蓋問(wèn)題(見圖2)，定義4個(gè)位置點(diǎn)：衛(wèi)星所在位置A，TL與THS切點(diǎn)B，由A點(diǎn)出發(fā)的切線TL與TAS交點(diǎn)C以及傳感器最大范圍與TAS交點(diǎn)D。

圖2 單高度球面ATH平面覆蓋(RSat≤r)Fig.2 ATH coverage of TAS(RSat≤r)

通過(guò)4個(gè)位置點(diǎn)定義輔助變量：衛(wèi)星位置A與切點(diǎn)B的距離R1和對(duì)應(yīng)地心角θ1；TL與TAS交點(diǎn)C與切點(diǎn)B的距離R2和對(duì)應(yīng)地心角θ2；衛(wèi)星位置A與傳感器和TAS交點(diǎn)D對(duì)應(yīng)地心角θ3。這里的交點(diǎn)和切點(diǎn)均關(guān)于地心與衛(wèi)星連線OA對(duì)稱，本文只取其中一點(diǎn)結(jié)合覆蓋的對(duì)稱性進(jìn)行計(jì)算。

由于RThs、RSat和r三者相對(duì)位置關(guān)系固定，分析由RSen取值不同造成的影響。已知TL與THS相切，通過(guò)圖2中幾何關(guān)系可以得到

由三角形余弦定理，地心夾角θ3為

由于地球遮擋的影響，RSen>R1+R2后傳感器范圍的增長(zhǎng)對(duì)于覆蓋區(qū)域沒(méi)有影響，也即傳感器范圍達(dá)到了THS視線遮擋的有效增長(zhǎng)上限。因此，ATH覆蓋區(qū)域?qū)?yīng)地心角θ分情況1和2來(lái)討論，表示為

(1)

式中：情況1中單高度面的覆蓋地心角θ的端點(diǎn)C由傳感器范圍決定；情況2中單高度面的覆蓋地心角θ的端點(diǎn)C由切線TL決定。

通過(guò)式(1)可以得到計(jì)算目標(biāo)面半徑r≥RSat時(shí)給定區(qū)間[RL，RU中任意單高度面的覆蓋地心角θ。為了得到該區(qū)間的平面覆蓋面積，在極坐標(biāo)系下將其擴(kuò)展到二維平面(如圖3所示，由內(nèi)到外依次為A(2)和A(1)情況)。極徑r即為目標(biāo)球面半徑，極角α根據(jù)對(duì)應(yīng)覆蓋地心角θ選取，此時(shí)的平面覆蓋面積表示為

(2)

圖3 [RL，RU]區(qū)間ATH平面覆蓋(RSat≤r)Fig.3 Planar ATH coverage of the dual-altitude band defined by [RL，RU](RSat≤r)

結(jié)合式(1)(2)可以得到情況1和情況2的平面覆蓋面積A(n)，表示為

式中：RL1、RU1為情況1的目標(biāo)高度上下限；RL2、RU2為情況2的目標(biāo)高度上下限。

針對(duì)給定區(qū)間[RL，RU，在球坐標(biāo)系下將平面覆蓋擴(kuò)展到三維空間覆蓋，如圖4所示(情況1)。

圖4 [RL，RU]區(qū)間ATH空間覆蓋(RSat≤r)Fig.4 Spatial ATH coverage of the dual-altitude band defined by [RL，RU](RThs

計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r即為目標(biāo)球面半徑，天頂角α取為對(duì)應(yīng)覆蓋地心角θ的一半?？紤]到全向天線假設(shè)，單高度面覆蓋區(qū)域擴(kuò)展到三維空間后由球冠構(gòu)成，即方向角β取為[0，2π]。此時(shí)的空間體積覆蓋表示為

(3)

結(jié)合式(1)(3)可以得到情況1和情況2的空間覆蓋體積V(n)

2.2 r

r

θ4=θ1-θ2

圖5 單高度面ATH平面覆蓋(r

同樣，考慮由RSen取值不同造成的影響，分為情況3和4來(lái)討論，得到覆蓋地心角為

(4)

式中：情況3中單高度面的覆蓋地心角θ的端點(diǎn)C2和D分別由切線TL和傳感器范圍決定；情況4中單高度面的覆蓋地心角θ的端點(diǎn)C1和C2均由切線TL決定。

在極坐標(biāo)系中考慮r

(5)

圖6 [RL，RU]區(qū)間ATH平面覆蓋(r

結(jié)合式(4)(5)可以得到對(duì)應(yīng)情況3和4下的平面覆蓋面積A(n)

式中：RL3、RU3為情況3的目標(biāo)高度上下限；RL4、RU4為情況4的目標(biāo)高度上下限。

只存在單個(gè)情況時(shí)，

RLn=RLTAS且RUn=RUTAS

當(dāng)兩者同時(shí)存在時(shí)，

RL4=RLTAS，RU3=RUTAS，RU4=RL3=

單高度面覆蓋區(qū)域擴(kuò)展到三維空間后同樣需要減去BTH覆蓋區(qū)域。針對(duì)r

V=?dxdydz=

(6)

圖7 [RL，RU]區(qū)間ATH空間覆蓋(RThs

結(jié)合式(4)(6)可以得到對(duì)應(yīng)情況下的空間覆蓋體積V(n)

以上討論了4類不同情況下單高度面的覆蓋地心角θ，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了以目標(biāo)高度半徑r為變量的平面和空間覆蓋區(qū)域的分段解析積分函數(shù)，實(shí)際的雙高度段ATH覆蓋問(wèn)題則由這4類情況組合構(gòu)成。下面將針對(duì)不同組合情況進(jìn)行討論。

3 雙高度段ATH體積覆蓋計(jì)算

為了方便討論，先針對(duì)RThs、RSen和RSat決定的傳感器覆蓋區(qū)域類型進(jìn)行分析并確定其構(gòu)成，再考慮目標(biāo)高度段[RLtas，RUtas]與傳感器覆蓋區(qū)域的位置關(guān)系。

定義兩個(gè)新的位置點(diǎn)：①傳感器范圍與TL交點(diǎn)E和②A點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A′。圖8展示了不同傳感器范圍下E點(diǎn)的分布情況，Ei，i∈{1，2，3}。同時(shí)根據(jù)上文討論的4種覆蓋情況的切換點(diǎn)以及傳感器范圍設(shè)定4個(gè)高度輔助變量：

1)a=max{RSat-RSen，RThs}，為傳感器覆蓋高度下限；

2)b1=RSat，為傳感器中心點(diǎn)即衛(wèi)星軌道高度；

圖8 傳感器覆蓋區(qū)域類型Fig.8 Coverage regions of different sensor ranges

4)c=RSat+RSen，為傳感器覆蓋高度上限。

根據(jù)RThs、RSen和RSat與切線TL的幾何位置關(guān)系，E點(diǎn)存在3種情況：

E點(diǎn)位于A點(diǎn)與B點(diǎn)之間，如圖8中E1點(diǎn)所示。

由于C1和C2關(guān)于OB對(duì)稱，A和A′關(guān)于OB對(duì)稱。后續(xù)討論中僅說(shuō)明其中一點(diǎn)位置，另一點(diǎn)由對(duì)稱關(guān)系得出。目標(biāo)覆蓋區(qū)域類型取決于C2點(diǎn)與E點(diǎn)關(guān)系。

在給定RLtas和RUtas高度限制后，此時(shí)所有可能的雙高度段的覆蓋區(qū)域由情況1和3兩部分組成，具體判斷RLtas、RUtas與b2、b1、c數(shù)值大小之后，可得到該類傳感器覆蓋區(qū)域情況下3種雙高度段的覆蓋情況，詳見表1。

E點(diǎn)位于A′點(diǎn)與B點(diǎn)之間，如圖8中E2點(diǎn)所示。

對(duì)考慮RLtas和RUtas高度限制的雙高度段覆蓋由情況1，3和4三部分組合構(gòu)成，具體判斷RLtas、RUtas與a、b2、b1、c數(shù)值大小之后，可得到該類傳感器覆蓋區(qū)域情況下6種雙高度段的覆蓋情況，詳見表1。

E點(diǎn)位于AA′延長(zhǎng)線上，如圖8中E3點(diǎn)所示。

此時(shí)所有可能的雙高度段的覆蓋區(qū)域由情況1，2和4三部分組成，與情況2的區(qū)別在于b1與b2的數(shù)值關(guān)系，即[b1，b2]段的覆蓋類型。具體判斷RLtas、RUtas與a、b2、b1、c數(shù)值大小之后，可得到該類傳感器覆蓋區(qū)域情況下6種雙高度段的覆蓋情況詳見表1。

表1 不同約束參數(shù)下雙高度段覆蓋情況

綜上，共得到15種可能的雙高度段覆蓋情況以及其對(duì)應(yīng)的10類平面和空間覆蓋區(qū)域計(jì)算公式，幾何構(gòu)型如圖9所示。因此對(duì)于任意目標(biāo)區(qū)域的覆蓋問(wèn)題均可通過(guò)本節(jié)的積分方法進(jìn)行求取，進(jìn)而可對(duì)傳感器范圍和衛(wèi)星軌道高度進(jìn)行組合優(yōu)化設(shè)計(jì)。

圖9 對(duì)應(yīng)編號(hào)情況的幾何構(gòu)型Fig.9 Geometric configuration of the corresponding cases

4 仿真算例

4.1 精度驗(yàn)證和最優(yōu)觀測(cè)軌道高度

本算例在給定任務(wù)目標(biāo)的前提下，設(shè)定不同的傳感器范圍和衛(wèi)星軌道高度，對(duì)于表1中的15種參數(shù)取值對(duì)應(yīng)的10類積分情況進(jìn)行具體說(shuō)明分析，任務(wù)參數(shù)如表2所示。為避免地球表面地形和大氣折射等影響，將切面半徑RThs設(shè)為6 418 km。

表2 仿真算例參數(shù)

同時(shí)，以平面覆蓋為例驗(yàn)證本文計(jì)算方法的正確性。采用文獻(xiàn)[17]中的解析圖形法將覆蓋區(qū)域拆分為三角形、圓弓形并根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)各覆蓋情況進(jìn)行計(jì)算，得到解析圖形法與本文積分給出的平面覆蓋面積如表3所示。

表3 解析與積分平面覆蓋面積之差

由表3可以看出本文所提方法與參考方法之間的相對(duì)誤差量級(jí)為10-15，驗(yàn)證了方法的精度和可靠性。

在確定計(jì)算方法的正確性后，進(jìn)一步對(duì)不同衛(wèi)星軌道半徑RSat的平面覆蓋面積AD與空間覆蓋體積VD進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)RSen=5 000 km時(shí)，考慮RSat在可行域[6 578，7 378] km上變化，由表1可知：

1)當(dāng)RSat∈[6 578，6 708] km時(shí)，覆蓋類型由情況2構(gòu)成；

2)當(dāng)RSat∈(6 708，6 848.94] km時(shí)，覆蓋類型由情況4、2構(gòu)成；

3)當(dāng)RSat∈(6 848.94，6 887.72] km時(shí)，覆蓋類型由情況4、2、1構(gòu)成；

4)當(dāng)RSat∈(6 887.72，6 928) km時(shí)，覆蓋類型由情況4、3、1構(gòu)成；

5)當(dāng)RSat∈[6 928，7 105.41] km時(shí)，覆蓋類型由情況4、3構(gòu)成；

6)當(dāng)RSat∈[7 105.41，7 378] km時(shí)，覆蓋類型由情況3構(gòu)成。

計(jì)算結(jié)果如圖10所示，藍(lán)色虛線為不同軌道高度的平面覆蓋面積，黃色圓圈標(biāo)注為最大平面覆蓋面積；紅色實(shí)線為不同軌道高度的空間覆蓋體積，綠色方塊標(biāo)注為最大平面覆蓋面積。

圖10 平面覆蓋最優(yōu)性與空間覆蓋最優(yōu)性Fig.10 Optimality of planar and spatial coverage

從圖10可以得出，最大平面覆蓋面積ADmax=2.050 8×106km2，在RSat=6 885 km處取得。而最大空間覆蓋體積VDmax=1.637 0×1 010 km3，在RSat=7 026 km處取得。由此可見，相同參數(shù)下，平面與空間最優(yōu)觀測(cè)軌道高度并不相同。

4.2 基于最優(yōu)觀測(cè)軌道高度的星座覆蓋率

考慮平面和空間不同最優(yōu)觀測(cè)軌道高度的星座連續(xù)覆蓋問(wèn)題。M顆衛(wèi)星對(duì)應(yīng)的星座覆蓋體積滿足

M·VD=VCov1X+VCov2X+…+VCovNX

式中：VD為單顆衛(wèi)星的空間覆蓋體積；VCovNX為星座的N重目標(biāo)覆蓋體積。則基于單顆衛(wèi)星空間覆蓋體積最大化設(shè)定的星座在覆蓋率上達(dá)到最優(yōu)，而相同衛(wèi)星數(shù)目的不同星座構(gòu)型設(shè)計(jì)能夠具體分配任務(wù)所需的VCovNX。

現(xiàn)設(shè)定一個(gè)構(gòu)型碼為6/2/0傾角為60°的Walker星座，考慮星座衛(wèi)星軌道高度取為RSat1=6 885 km和RSat2=7 026 km的情況，分別對(duì)應(yīng)上一節(jié)中平面與空間最優(yōu)觀測(cè)軌道高度，對(duì)于式(7)進(jìn)行驗(yàn)證。

同樣，本算例研究在該Walker星座構(gòu)型下對(duì)于RLtas=6 708 km，RUtas=6 928 km雙高度目標(biāo)段的一重覆蓋率和二重覆蓋率。采用衛(wèi)星軌道預(yù)報(bào)給出這兩種星座在30 min內(nèi)覆蓋率的連續(xù)變化，較為全面地對(duì)比實(shí)際任務(wù)應(yīng)用中平面與空間最優(yōu)覆蓋差異。評(píng)估結(jié)果如圖11所示。

圖11 基于平面與空間最優(yōu)觀測(cè)軌道高度星座的空間覆蓋率對(duì)比Fig.11 Coverage comparison between constellations deployed on planar and spatial optimal altitudes

圖11中藍(lán)色虛線為RSat1=6 885 km情況下的空間一重及二重覆蓋率，紅色實(shí)線為RSat2=7 026 km情況下覆蓋率，可以看出兩者覆蓋率呈周期性變化，且RSat2的實(shí)時(shí)一重覆蓋率始終大于RSat1。在平面最優(yōu)觀測(cè)軌道高度時(shí)平均一重覆蓋率為59.20%，平均二重覆蓋率為8.74%；在空間最優(yōu)觀測(cè)軌道高度時(shí)平均一重覆蓋率為62.46%，平均二重覆蓋率為8.92%。進(jìn)一步說(shuō)明平面覆蓋最優(yōu)性與空間覆蓋最優(yōu)性的差異，在實(shí)際的星座覆蓋設(shè)計(jì)中應(yīng)采用空間最優(yōu)觀測(cè)軌道高度使覆蓋效率最大化。

5 結(jié)論

針對(duì)遙感衛(wèi)星空間背景觀測(cè)的覆蓋問(wèn)題，本文推導(dǎo)了由單高度面一維覆蓋地心角擴(kuò)展到雙高度段二維平面覆蓋面積以及三維空間覆蓋體積的分段解析積分函數(shù)，并討論了實(shí)際雙高度段存在的15種約束參數(shù)情況和對(duì)應(yīng)的10類計(jì)算公式。與現(xiàn)有研究相比，本文簡(jiǎn)化了討論分類并將問(wèn)題由單高度面圓環(huán)覆蓋和雙高度段平面覆蓋進(jìn)一步推廣到雙高度段空間覆蓋，增加了其實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)相同的傳感器和目標(biāo)區(qū)域，滿足平面覆蓋最優(yōu)性與空間覆蓋最優(yōu)性的觀測(cè)衛(wèi)星軌道不在同一高度。基于空間覆蓋最優(yōu)的軌道高度設(shè)計(jì)的星座能夠在覆蓋率上達(dá)到最優(yōu)，從實(shí)際應(yīng)用來(lái)看則是更長(zhǎng)的觀測(cè)時(shí)間和更多的觀測(cè)目標(biāo)。因此，本文給出的空間覆蓋計(jì)算方法及其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)觀測(cè)衛(wèi)星軌道高度對(duì)構(gòu)建最優(yōu)覆蓋星座具有重要意義。

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