劉 晨， 王世宇,2,3， 高 楠

(1.天津大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300350； 2.天津大學(xué) 機構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點實驗室，天津 300350；3.天津市非線性動力學(xué)與控制重點實驗室，天津 300350)

工程領(lǐng)域廣泛應(yīng)用旋轉(zhuǎn)電機、陀螺儀、行星齒輪傳動及滾動軸承等基礎(chǔ)部件。根據(jù)幾何構(gòu)型和受載特征，該類結(jié)構(gòu)可視為受若干外載作用的環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)[1-4]。受周期構(gòu)型的影響，該類結(jié)構(gòu)通常存在固有頻率分裂問題。本文以受外載作用的環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)為對象，研究由外載引起的固有頻率分裂現(xiàn)象及其抑制條件。

國內(nèi)外學(xué)者深入探討了各類因素對環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)自由振動的影響。Huang等[5]建立了彈性支承旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的振動模型并分析了固有特性，通過分析“靜環(huán)動載”和“動環(huán)靜載”這兩類典型問題，揭示了科氏加速度對固有頻率及振型的影響規(guī)律。Cooley等[6]建立了受離散剛度支承的高速旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的動力學(xué)模型，計算了軸對稱自由環(huán)與非軸對稱環(huán)在較高轉(zhuǎn)速時的固有特性。林杰等[7]基于波動法研究了旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的模態(tài)特性。此外，Wang等[8]分析了振動波數(shù)、磁極數(shù)和轉(zhuǎn)速等參數(shù)對永磁電機環(huán)形轉(zhuǎn)子自由振動的影響。

還有學(xué)者研究了固有頻率分裂問題。事實上，該問題可追溯至教堂鐘的聲學(xué)研究。為了深刻揭示固有頻率分裂規(guī)律，Kim等[9]采用攝動法分析了盤形周期結(jié)構(gòu)的分裂規(guī)律并給出試驗驗證。Wu等[10]建立了彈性支承靜止環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型，采用攝動法和Galerkin離散獲得特征解，揭示了固有頻率分裂規(guī)律。文獻[11]總結(jié)了等效對稱單元的分組方式與固有頻率分裂之間的映射關(guān)系。此外，有些學(xué)者研究了固有頻率分裂的抑制問題，Rourke等[13]建立了含質(zhì)量缺陷的環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的自由振動模型，研究了固有頻率分裂的抑制問題，指出由質(zhì)量缺陷引起的非均布構(gòu)型可改善動力學(xué)特性。Wang等[14]提出一種采用分組拓撲構(gòu)型來抑制固有頻率分裂的方法。Liu等[15]研究了拓撲結(jié)構(gòu)與固有頻率分裂的影響關(guān)系。應(yīng)當(dāng)指出的是，上述研究通常以離散質(zhì)量或剛度來體現(xiàn)周期性。事實上，外載可導(dǎo)致非線性變形，進而顯著改變初始應(yīng)力分布，因此影響固有特性。對于外載如何影響固有頻率的分裂行為，目前還未見報道。

本文考慮內(nèi)外激勵共同作用下的環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的幾何非線性變形，擬采用Galerkin離散能量法建立含外載因素的解析動力學(xué)模型，研究外載對固有特性的影響，具體將分析拓撲結(jié)構(gòu)與固有頻率分裂的映射關(guān)系，并提出抑制固有頻率分裂的方法。

1 數(shù)學(xué)建模

1.1 模型描述

在工程實際中，外載通常作為受迫項影響機械系統(tǒng)，但事實上它還產(chǎn)生支撐作用。因此，本文建立了圖1所示含外載和支撐剛度的數(shù)學(xué)模型。其中，圖1(a)為固定在彈性基礎(chǔ)上受分組對稱外載作用的環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型，圖1(b)為外載分布規(guī)律。o-rθz為慣性坐標系，極點位于結(jié)構(gòu)的幾何形心；v和u分別為圓環(huán)中性面上任意一點的徑向和切向位移;er,eθ和ez分別為徑向、切向及軸向單位矢量。圓環(huán)的中性面半徑、軸向高度、徑向厚度、徑向連續(xù)支承剛度、切向連續(xù)支承剛度以及彈性模量分別為R,c,h,kv,ku和E。外載共有N1組，每組含N2個等間隔分布的外載。θij為第i組第j個外載的位置角，其中θij=θi+αj，θi=2π(i-1)/N1，αj=(j-1)α，α為組內(nèi)相鄰?fù)廨d之間的夾角。第i組中的第j個外載記為Fij，為位置的函數(shù)，且每個外載與圓環(huán)徑向的夾角均為β，離散剛度kmij與外載有相同的位置與徑向夾角，同時為位置的函數(shù)。

(a)

(b)圖1 受分組對稱外載作用的環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型Fig.1 Schematic of RSPS subjected to grouping symmetrical external loads

1.2 能量分析

采用Euler-Bernoulli梁假設(shè)[16]，并應(yīng)用能量法建立數(shù)學(xué)模型。在圖1所示慣性坐標系下，圓環(huán)中性線上任意一點(r,θ)處的位置矢量可表示為

r=(R+v)er+ueθ

(1)

1.2.1 動能

在慣性坐標系下，圓環(huán)的動能可表示為

(2)

式中,d為材料密度，且

(3)

1.2.2 外載功

作用于圓環(huán)上任意點(r,θ)處的外載可表示為

(4)

式中:fm為幅值;δ為Dirac函數(shù)。外載功可表示為

(5)

1.2.3 勢能

在平面應(yīng)變狀態(tài)下，(r,θ)處的切向應(yīng)變?yōu)閇17]

εθ=εθ0+(r-R)εθ1

(6)

其中

則應(yīng)變能可表示為

(7)

式中:I為圓環(huán)截面的主慣性矩(I=ch3/12);圓環(huán)截面積A=ch。

連續(xù)和離散支承剛度的勢能可分別表示為

(8)

(9)

其中

(10)

式中，km為幅值。因此，系統(tǒng)的總勢能為

U=U0+Us+Um

(11)

1.3 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)Hamilton原理

(12)

同時應(yīng)用非線性無延展假設(shè)[18]

(13)

并將式(2)、式(5)和式(11)代入式(12)，可得

(14)

根據(jù)式(13)，經(jīng)多次逼近可將徑向和切向位移分別用時變廣義坐標An(t)和Bn(t)表示為

v(θ,t)=An(t)cosnθ+Bn(t)sinnθ-

(15)

(16)

式中,K=(n-1/n)2且n≥2，n為波數(shù)。

將式(15)和式(16)代入式(14)，分別乘以An(t)和Bn(t)的權(quán)函數(shù)

(17)

(18)

其中

A6=n2kmcos2β-kmsin2β，

式中：Kc為定常剛度矩陣；Kk為支承剛度矩陣；Kf為外載剛度矩陣。

由式(18)可知，通常作為受迫項的外載出現(xiàn)在動力學(xué)方程的剛度系數(shù)中，因此必然影響固有特性。事實上，外載使結(jié)構(gòu)受預(yù)應(yīng)力作用，進而影響了剛度分布規(guī)律，因此導(dǎo)致固有特性的改變。

2 固有頻率分裂特性分析

2.1 固有頻率

為求解固有頻率，假設(shè)

(19)

式中,ωn為固有頻率，將式(19)代入式(18)可得特征方程

(20)

解得

(21)

其中

2.2 固有頻率分裂規(guī)律

(25)

為了深入分析離散外載和剛度對固有頻率的影響，本文給出以下4種典型情形：① 自由模式(fm=km=0)；② 純外載模式(fm≠0,km=0)；③ 純剛度模式(fm=0,km≠0)；④ 復(fù)合模式(fm≠0,km≠0)。

2.2.1 自由模式

表1 固有頻率及其分裂規(guī)律(fm=km=0)Tab.1 Natural frequencies and splitting conditions (fm=km=0)

表1中

2.2.2 純外載模式

表2 固有頻率及其分裂規(guī)律(fm≠0,km=0;l,l′為正整數(shù))Tab.2 Natural frequencies and splitting conditions (fm≠0, km=0; l and l′ are positive integers)

表2中

2.2.3 純剛度模式

表3 固有頻率及其分裂規(guī)律(fm=0,km≠0;l,l′為正整數(shù))Tab.3 Natural frequencies and splitting conditions (fm=0, km≠0; l and l′ are positive integers)

表3中

2.2.4 復(fù)合模式

表4 固有頻率及其分裂規(guī)律(fm≠0,km≠0;l,l′為正整數(shù))Tab.4 Natural frequencies and splitting conditions (fm≠0, km≠0; l and l′ are positive integers)

綜上可知，可利用振動波數(shù)與分組數(shù)的關(guān)系，初步判定固有頻率是否分裂，然后根據(jù)組內(nèi)匹配關(guān)系最終確定是否發(fā)生分裂現(xiàn)象。由于外載與剛度的分布特征相同，因此除影響程度不同之外，固有頻率是否分裂的判定條件完全相同。因此，調(diào)整分組參數(shù)與外載可控制頻率分裂行為。

3 仿真分析

3.1 基本參數(shù)

表5為環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)，如不作特殊說明，均使用表5中的參數(shù)進行仿真計算，具體將根據(jù)表5和式(21)分析4種模式及其他參數(shù)對固有頻率分裂行為的影響。

表5 環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)基本參數(shù)Tab.5 Parameters of a RSPS

3.2 離散外載影響

圖2描述了波數(shù)和外載對固有頻率的影響，其中第n階振型對應(yīng)的固有頻率為ωn1和ωn2(ωn1≤ωn2)，rω(rω=ωn2-ωn1)表征固有頻率的分裂程度。

(a) 模式①

(b) 模式②

(c) 模式③

(d) 模式④圖2 固有頻率隨外載變化規(guī)律Fig.2 Natural frequencies versus external load ratios

由圖2可知，模式①的固有頻率不分裂，模式②、模式③和模式④出現(xiàn)固有頻率分裂且分裂規(guī)律相同。對比圖2(a)與圖2(b)可知，外載影響固有頻率，且隨著外載逐漸增大，固有頻率隨之增大。這表明在彈性變形范圍內(nèi)，增加外載可提高固有頻率。觀察該組參數(shù)下的固有頻率分裂趨勢可知：增加外載可增大分裂程度。圖2(b)和圖2(d)給出了離散剛度與分裂程度的關(guān)系。以n=2為例，當(dāng)frm=3時，模式②和模式④的分裂程度為rω=0.77與2.62，顯然模式④的分裂程度大；當(dāng)frm=4時，模式②和模式④的分裂程度為rω=0.96與2.68，表明模式④的分裂程度更大。

3.3 離散剛度影響

圖3描述了波數(shù)和離散剛度比對固有頻率分裂行為的影響。可以看出，圖3(b)～圖3(d)的分裂規(guī)律相同。由圖3(c)可知，增大剛度將增加固有頻率分裂程度。比較圖3(c)與圖3(d)可知，在當(dāng)前參數(shù)組合下，外載可降低固有頻率分裂程度。

(a) 模式①

(b) 模式②

(c) 模式③

(d) 模式④圖3 固有頻率隨離散剛度比變化規(guī)律Fig.3 Natural frequencies versus increasing stiffness ratios

3.4 傾角影響

圖4描述了波數(shù)和傾角對固有頻率的影響。對于模式②～模式④而言，隨著傾角的增大，固有頻率均有所下降。比較模式②和③可知，僅考慮外載模式的固有頻率下降較顯著，此時外載的施加方向由徑向逐漸變?yōu)榍邢?。對比圖4(b)與圖4(d)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=4時，隨著傾角由π/4增至π/2，分裂程度分別由rω=0.52與0.91變?yōu)閞ω=0.91與0.97，可知模式④的分裂程度變化較小，表明當(dāng)外載與離散剛度共同作用時，傾角對分裂程度的影響較小。

(a) 模式①

(b) 模式②

(c) 模式③

(d) 模式④圖4 固有頻率隨傾角變化規(guī)律Fig.4 Natural frequencies versus increasing orientation angles

3.5 間隔角影響

圖5描述了波數(shù)和間隔角對固有頻率的影響。當(dāng)間隔角α=0時，對于模式②～模式④的不同波數(shù)，均存在固有頻率分裂現(xiàn)象。隨著間隔角的增加，分裂固有頻率出現(xiàn)波動現(xiàn)象，且在某些特殊位置不再分裂(為便于觀察，圖中的固有頻率分裂抑制位置用“·”標注，并給出了相應(yīng)的角度)。因此，改變分組方式可調(diào)整分裂行為。

(a) 模式①

(b) 模式②

(c) 模式③

(d) 模式④圖5 固有頻率隨間隔角變化規(guī)律Fig.5 Natural frequencies versus interval angles

3.6 固有頻率分裂程度變化規(guī)律

(a)

(b)

(c)

(d)圖6 不同參數(shù)下固有頻率分裂程度Fig.6 Natural frequency splitting versus different parameters

3.7 固有頻率分裂抑制實例

表6給出組數(shù)、組內(nèi)個數(shù)、間隔角及波數(shù)等不同參數(shù)匹配下周期結(jié)構(gòu)的固有頻率。

表6 環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)固有頻率Tab.6 Natural frequencies of the RSPS

由表1～表4可知，若2n/N1不為整數(shù)，則對應(yīng)的固有頻率必定重合，該結(jié)論與組內(nèi)的外載分布特征無關(guān)。本文以參數(shù)組合{N1，N2，α，n}={4，2，π/6，4}和{4，2，π/8，4}為例，在不改變{N1，N2，n}的前提下，將間隔角調(diào)整為π/8。若不考慮計算誤差，則原分裂固有頻率(25.40，24.24)變?yōu)橹睾项l率(24.83，24.83)。在不改變波數(shù)和間隔角的前提下，通過改變分組方式也可抑制頻率分裂。以參數(shù)組合{2，3，π/6，3}和{3，2，π/6，3}為例，將分組方案{N1，N2}={2，3}調(diào)整為{3，2}，原分裂固有頻率(15.74，15.00)變?yōu)橹睾瞎逃蓄l率(15.38，15.38)。若不改變外載組數(shù)N1，通過調(diào)節(jié)組內(nèi)外載的數(shù)量和間隔角也可抑制頻率分裂。通過對比參數(shù)組合{4，2，π/6，4}與{4，3，π/12，4}可發(fā)現(xiàn)，在不改變分組數(shù)N1的前提下，如果將組內(nèi)分布參數(shù){N2，α}調(diào)整為{3，π/12}，原分裂頻率(25.40，24.24)將變?yōu)橹睾项l率(28.30，28.30)。在保證組內(nèi)外載個數(shù)N2、間隔角α及波數(shù)n不變的前提下，可改變外載組數(shù)以使頻率重合。例如，若參數(shù)組合為{4，2，π/6，2}和{3，2，π/6，2}，可將外載的組數(shù){N1}調(diào)整為{3}，原分裂頻率(11.41，9.842)即變?yōu)橹睾项l率(9.796，9.796)。上述結(jié)果表明，改變外載的構(gòu)型及特征參數(shù)可顯著抑制固有頻率分裂。

4 結(jié) 論

本文研究了分組對稱外載荷對環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)固有頻率分裂特性的影響。主要工作及結(jié)論如下：

(1) 應(yīng)用非線性無延展假設(shè)，采用Hamilton原理建立了受分組對稱外載作用的環(huán)狀周期結(jié)構(gòu)的解析動力學(xué)模型，該模型計入了均布和分組對稱的外載及支撐剛度。

(2) 外載和剛度均影響固有頻率的數(shù)值及其分裂程度。若2n/N1不為整數(shù)，無論參數(shù)如何選取，固有頻率均不分裂；若2n/N1為整數(shù)，則固有頻率是否分裂取決于組內(nèi)參數(shù)的匹配關(guān)系。

(3) 揭示了外載和剛度的傾角、間隔角等參數(shù)對固有頻率的影響規(guī)律，具體分析了4種典型模式下基本參數(shù)影響固有頻率的規(guī)律，還提出一種抑制固有頻率分裂的方法。