白宇杰， 李詩圖， 楊 璇

(1.核工業(yè)理化工程研究院，天津 300180； 2.清華大學(xué) 工程物理系，北京 100084；3.粒子輸運(yùn)與富集技術(shù)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300180)

某設(shè)備轉(zhuǎn)子以極高的轉(zhuǎn)速工作在柔性支承上，地震會導(dǎo)致碰摩發(fā)生，對其正常運(yùn)行有嚴(yán)重影響。為降低地震動載荷對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的破壞，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中設(shè)計(jì)了限位器，以期通過在轉(zhuǎn)子合理部位進(jìn)行適度碰摩，在不破壞轉(zhuǎn)子的情況下將系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定。該設(shè)備安裝在支撐框架上運(yùn)行，地震載荷會通過支撐框架傳導(dǎo)到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，設(shè)計(jì)不當(dāng)?shù)闹慰蚣軙糯蟮卣疠d荷進(jìn)而影響系統(tǒng)的正常運(yùn)行。

在一般旋轉(zhuǎn)機(jī)械的地震動響應(yīng)及抗震設(shè)計(jì)領(lǐng)域，國內(nèi)外都展開了相關(guān)研究。對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的地震動響應(yīng)研究起始于20世紀(jì)70年代[1]。早期的學(xué)者一般將轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)軸視作剛體處理，Srinivasan等[2]做出開創(chuàng)性工作，建立柔性轉(zhuǎn)子模型并利用伽遼金法求解響應(yīng)；Shimogo等[3]將轉(zhuǎn)子簡化為集總參數(shù)系統(tǒng)模型，軸承簡化為彈簧和阻尼模型進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)柔性轉(zhuǎn)子的地震響應(yīng)明顯大于剛性轉(zhuǎn)子的響應(yīng)。Hori等[4]對支撐在油膜軸承上的Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在地震激勵(lì)條件下的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，表明由于油膜力的非線性，一個(gè)原本線性穩(wěn)定的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可能在較強(qiáng)的地震沖擊影響下失穩(wěn)；Samali等[5-6]采用蒙特卡羅模擬方法研究了單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在地震激勵(lì)下的隨機(jī)振動問題，發(fā)現(xiàn)地震的旋轉(zhuǎn)分量對轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動影響較大，對質(zhì)心的平動振幅響應(yīng)影響較小；Kim等[7]的研究結(jié)果表明，對復(fù)雜的轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)，蒙特卡洛法是唯一可行的方法；Gaganis等[8]將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為分段線性系統(tǒng)，研究了復(fù)雜轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的響應(yīng)和動態(tài)特性變化規(guī)律；Singh等[9]開創(chuàng)性地采用了地震分析方法中的反應(yīng)譜法，應(yīng)用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，并證明了反應(yīng)譜法在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)地震響應(yīng)分析中的可行性。

國內(nèi)的類似研究相對滯后，進(jìn)入21世紀(jì)才開始進(jìn)行相關(guān)研究。2002年，趙巖等[10]基于精細(xì)時(shí)程積分法分析了單盤轉(zhuǎn)子的地震響應(yīng)，給出了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨機(jī)振動分析的有效途徑，但在研究中未考慮轉(zhuǎn)子的不平衡量影響；隨后祝長生[11]的研究指出，不平衡量的影響在轉(zhuǎn)子地震響應(yīng)分析中是不可以忽略的；陳擁軍等[12]的研究，則是基于線性矩陣不等式，實(shí)現(xiàn)地震沖擊下轉(zhuǎn)子的主動控制，獲得了較好的效果；魯周勛等[13]率先在國內(nèi)開展了轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)對地震波激勵(lì)響應(yīng)的研究，建立了轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的有限元模型，提出了一種地震激勵(lì)下轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域分析方法，并通過地震試驗(yàn)?zāi)M驗(yàn)證了方法的可行性；富露霞等[14]基于汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)，建立了考慮軸系陀螺力矩和轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)動力學(xué)有限元模型，得到了轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的等效應(yīng)力和振幅變化趨勢；毛飛等[15]對核主泵電機(jī)的抗震進(jìn)行了分析，表明核主泵抗震結(jié)果與反應(yīng)譜峰值和反應(yīng)譜載荷的卓越頻率相關(guān)；謝最偉等[16]利用Newmark數(shù)值積分法，考察了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的地震沖擊響應(yīng)，并提出了一種復(fù)數(shù)域內(nèi)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)沖擊響應(yīng)計(jì)算方法;王正浩等[17]基于精細(xì)時(shí)程積分法及虛擬激勵(lì)法，研究了軸承隨機(jī)激勵(lì)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的影響，得出了隨機(jī)激勵(lì)對軸承的隨機(jī)響應(yīng)影響較大,而對圓盤的影響較小的結(jié)論。

通過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，一般旋轉(zhuǎn)機(jī)械的研究對象多種多樣，包括Jeffcott轉(zhuǎn)子、單盤轉(zhuǎn)子、油膜軸承轉(zhuǎn)子、汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子、核主泵等，不同的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有著不同的地震動響應(yīng)和抗震設(shè)計(jì)要求，相互之間結(jié)論難以借鑒。某設(shè)備中的轉(zhuǎn)子，運(yùn)行轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)高于上述轉(zhuǎn)子，而且工作在柔性支承上，已有的研究成果很難直接應(yīng)用。同時(shí)，支撐對于旋轉(zhuǎn)機(jī)械地震動響應(yīng)的影響方面研究很少，僅發(fā)現(xiàn)Rao等[18]研究了支撐剛度對風(fēng)扇-電機(jī)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的影響，結(jié)果表明基座質(zhì)量和剛度對水平地震振幅的影響顯著。

本文以工作在柔性支承上的高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子為對象，以歐進(jìn)萍改進(jìn)地震波模型為輸入，以碰摩力模型為限位器，采用拉格朗日方法建立了考慮支撐框架的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程。計(jì)算分析了支撐框架對地震動響應(yīng)中時(shí)域波形、碰摩時(shí)間、最大振幅的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 地震動模型

地震動模型是作用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的激勵(lì)。在地震學(xué)中一般用地面加速度的功率譜密度來描述地震動模型。地震動響應(yīng)的時(shí)域分析法，要求首先從功率譜密度模型生成一條時(shí)域曲線，作為系統(tǒng)的輸入。該曲線的生成方法一般采用三角級數(shù)的余弦疊加法[19]，下面對該方法進(jìn)行簡要描述。

地震動模型的功率譜密度函數(shù)有很多模型，例如金井清模型、周錫元模型等[20]。根據(jù)調(diào)研，采用歐進(jìn)萍等[21]改進(jìn)的地震波模型進(jìn)型轉(zhuǎn)機(jī)械在地震動沖擊下的動力學(xué)分析。歐進(jìn)萍譜描述如下

(1)

式中：S(ω)為其自譜密度；S0為基巖白噪聲密度譜；ζg，ωg分別為地表覆蓋土層的阻尼比和卓越頻率；ωh為反映基巖特性的譜參數(shù)。

本文利用三角級數(shù)法，由歐進(jìn)萍功率譜曲線合成人工加速度時(shí)程曲線，具體方法如下。首先生成幅值譜及相位譜。其中幅值譜由歐進(jìn)萍功率譜生成，選取N個(gè)控制點(diǎn)，則將頻域劃分為N個(gè)頻率間隔，每個(gè)控制點(diǎn)生成一個(gè)幅值如下

(2)

(3)

相位譜值φk服從隨機(jī)分布。每一個(gè)控制點(diǎn)的均為獨(dú)立的[0，2π]均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

由幅值譜及相位譜得到初始加速度曲線，該初始人工波為一平穩(wěn)隨機(jī)過程

(4)

對初始人工波進(jìn)行包絡(luò)處理，使之變?yōu)榉系卣疬^程的非平穩(wěn)隨機(jī)過程。包絡(luò)處理方法及包絡(luò)函數(shù)如下

(5)

(6)

式中:tb,tc,c分別為主震段的首末時(shí)間和衰減參數(shù)，數(shù)值由平穩(wěn)持時(shí)Td給出；tb=0.5Td；tc=1.2Td；c=2.5/Td。最后對加速度時(shí)程進(jìn)行幅值調(diào)整，使其加速度峰值滿足工程設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，最終生成一條可用于抗震分析的人工地震動加速度時(shí)程曲線。

在實(shí)際計(jì)算中，將地震動沖擊視為一種基礎(chǔ)振動，取地面為參考系，則轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在非慣性系中受到慣性力作用，具體形式如下，其中{m}為包含各節(jié)點(diǎn)質(zhì)量的列向量。

(7)

本研究采用九級烈度地震動沖擊，其非平穩(wěn)隨機(jī)地震動參數(shù)取值,如表1所示。地震載荷為單一x方向水平載荷。

表1 九級烈度下非平穩(wěn)隨機(jī)地震動參數(shù)[21]Tab.1 Nonstationary random ground motion parameters under intensity 9

1.2 碰摩力模型

旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子在地震動沖擊下會與限位器發(fā)生碰摩。根據(jù)調(diào)研，采用碰摩力模型進(jìn)行碰摩過程模擬可以很好地反映地震動沖擊下的動力學(xué)響應(yīng)[22]。在碰摩力模型中，發(fā)生碰摩時(shí)認(rèn)為接觸點(diǎn)產(chǎn)生了法向彈性回復(fù)力和切向摩擦力，示意如圖1所示。

圖1 碰摩力示意圖Fig.1 Rub-impact force scheme

具體碰摩力如下所示

(8)

轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系中有

(9)

1.3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)-支撐框架模型

考慮支撐框架的旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng),如圖2所示。該系統(tǒng)模型由本實(shí)驗(yàn)室某專用設(shè)備抽象得到。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)左端是彈性支承，連接在外殼上，右端通過彈性支承連接到阻尼器上，阻尼器固定在外殼上，外殼安裝在支撐框架上。為了保證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在地震動沖擊下不發(fā)生損壞而且恢復(fù)到正常運(yùn)行，在轉(zhuǎn)子左端安裝了限位器，限位器安裝在外殼上，其作用通過碰摩力模型來進(jìn)行模擬。為了考慮支撐框架的影響，將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛性支撐等效為了彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，如圖2左支撐框架和右支撐框架所示。

圖2 考慮支撐框架的柔性支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)Fig.2 The flexibly connected ultra-high speed rotor system with supporting frame

對于圖2所示的轉(zhuǎn)子支承限位器系統(tǒng)，假設(shè)轉(zhuǎn)子為軸對稱剛體，只在xy平面內(nèi)振動，支承特性對稱。轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為M，極轉(zhuǎn)動慣量為Jp，赤道轉(zhuǎn)動慣量為Jt，左端支承剛度為k2，右端支承剛度為k3，阻尼器剛度為k4，阻尼器阻尼系數(shù)為c4，阻尼器質(zhì)量為m4，限位器碰摩剛度為kc，碰摩摩擦因數(shù)為μ，左支撐框架等效質(zhì)量為m1，等效剛度為k1，右支撐框架等效質(zhì)量為m5，等效剛度為k5。整個(gè)系統(tǒng)包括左支撐框架、轉(zhuǎn)子左端、轉(zhuǎn)子右端、阻尼器、右支撐框架共10個(gè)自由度。

該轉(zhuǎn)子以角速度ω旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子長度為L，半徑為r，左右兩端的不平衡質(zhì)量力矩分別為Ume1和Ume2，碰摩力作用在轉(zhuǎn)子左端，記為Fx+iFy，地震動沖擊作用在考慮支撐框架的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上，記為Fe。根據(jù)拉格朗日方法可以得到上述轉(zhuǎn)子限位器支承的控制方程為

(10)

式中:{r}為虛數(shù)形式的自由度，共5個(gè)，分別為ri=xi+iyi(i=1,2,3,4,5)，系統(tǒng)中的質(zhì)量矩陣、阻尼與陀螺矩陣、剛度矩陣、廣義力如下，其中廣義力包含三項(xiàng)，其中第一項(xiàng)為不平衡質(zhì)量引起的廣義力，第二項(xiàng)為碰摩力，第三項(xiàng)為地震慣性力

(11)

(12)

(13)

(14)

對靜止?fàn)顟B(tài)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行理論模態(tài)分析，并開展試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，將二者前幾階模態(tài)進(jìn)行比較，結(jié)果如表2所示?？梢钥闯龆呋颈３忠恢拢C明本模型可以保證準(zhǔn)確性。

表2 理論與試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果比較Tab.2 Modal comparison of theoretical and experimental results

2 計(jì)算方法

采用標(biāo)準(zhǔn)四階Runge-Kutta算法對式(10)進(jìn)行求解。地震動沖擊采用式(5)中的模型和表1中的參數(shù)。限位器的碰摩間隙為2.0 mm，碰摩剛度為1×105N/m，碰摩摩擦因數(shù)為0.1。轉(zhuǎn)子上下不平衡力分別是21.8 mg·mm,29.0 mg·mm。首先僅考慮不平衡質(zhì)量載荷，計(jì)算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在工作轉(zhuǎn)速下的工作振幅狀態(tài)，然后以該工作狀態(tài)作為初值，施加地震動載荷(即地震動載荷加速度信號)，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨時(shí)間的響應(yīng)；在計(jì)算過程中，如果轉(zhuǎn)子振幅超過限位器限制，則應(yīng)用碰摩力模型處理。

3 結(jié)果分析

3.1 時(shí)域響應(yīng)

首先通過計(jì)算得到了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在地震動載荷作用下的時(shí)域響應(yīng)，如圖3～圖5所示，計(jì)算中考慮了3種不同的支撐框架剛度，分別是5×106N/m,7.5×106N/m,10×106N/m，給出了轉(zhuǎn)子左右兩端和右支撐框架的地震動響應(yīng)。

(a) 5×106 N/m

(b) 7.5×106 N/m

(c) 10×106 N/m圖3 轉(zhuǎn)子左端在地震載荷下的響應(yīng)(k1=k5)Fig.3 Seismic response of the left of rotor system (k1=k5)

(a) 5×106 N/m

(b) 7.5×106 N/m

(c) 10×106 N/m圖4 轉(zhuǎn)子右端在地震載荷下的響應(yīng)(k1=k5)Fig.4 Seismic response of the right of rotor system (k1=k5)

(a) 5×106 N/m

(b) 7.5×106 N/m

(c) 10×106 N/m圖5 右支撐架在地震載荷下的響應(yīng)(k1=k5)Fig.5 Seismic response of the right of supporting frame (k1=k5)

從圖中的振幅隨時(shí)間變化結(jié)果看出，轉(zhuǎn)子左端、轉(zhuǎn)子右端、支撐架處振幅隨時(shí)間變化呈現(xiàn)出一致的規(guī)律，第一個(gè)振動峰出現(xiàn)在4～6 s內(nèi)，第二個(gè)振動峰出現(xiàn)在10～12 s內(nèi)，在支撐框架剛度較大時(shí)這兩個(gè)振動峰更容易辨識。在支撐框架剛度一致時(shí)，轉(zhuǎn)子左右兩端的振幅基本相同，是支撐框架振幅的約1.5倍。

提高橫向剛度，對轉(zhuǎn)子振幅的改善是顯著的，不僅降低了最大振幅，而且減少了振幅較大的時(shí)間。在橫向剛度7.5×106N/m時(shí)，在12 s振幅基本就衰減了，但振幅峰值還沒有明顯減小，但在橫向剛度10×106N/m時(shí)，振幅峰值已經(jīng)減小很多。

假設(shè)某一烈度地震波能量相同，則為了使運(yùn)行在支撐框架上的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)達(dá)到同樣地振動情況，則支撐框架首先達(dá)到同樣地振動情況，而支撐架的橫向剛度越大，達(dá)到同樣振動情況所需的彈性勢能就越大，在地震波能量相同的時(shí)候，存儲在支撐架中的能量越大，則傳遞到單機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的能量越小。這就是提高水泥框架橫向剛度可以減小轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振幅的原因。

3.2 參數(shù)分析

為了定量地分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在地震載荷下的動力學(xué)特性，提出兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行定量分析：一是統(tǒng)計(jì)在響應(yīng)過程中振幅大于碰摩間隙的時(shí)間，作為發(fā)生碰摩的時(shí)間，表征轉(zhuǎn)子發(fā)生碰摩的程度；二是統(tǒng)計(jì)在響應(yīng)過程中的振幅最大值，表征轉(zhuǎn)子承受到的瞬時(shí)沖量大小。共對4個(gè)變量進(jìn)行了計(jì)算分析，分別是支撐框架的剛度、質(zhì)量、基頻、阻尼，結(jié)果如圖6～圖9所示。

(a)

(b)圖6 支撐框架剛度對地震動響應(yīng)的影響Fig.6 Influence of supporting frame stiffness on seismic response

(a)

(b)圖7 支撐框架質(zhì)量對地震動響應(yīng)的影響Fig.7 Influence of supporting frame mass on seismic response

(a)

(b)圖8 支撐框架基頻對地震動響應(yīng)的影響Fig.8 Influence of supporting frame fundamental frequency on seismic response

(a)

(b)圖9 支撐框架阻尼對地震動響應(yīng)的影響Fig.9 Influence of supporting frame damping on seismic response

從圖6看出，隨著支撐框架橫向剛度增加，最大振幅持續(xù)降低，碰摩時(shí)間持續(xù)降低，這意味著對轉(zhuǎn)子損傷的降低；支撐框架剛度提高一倍后，最大振幅減少約50%，碰摩時(shí)間減少約100%，這表明在支撐框架剛度增加到一定程度后，將有效抑制地震載荷對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，轉(zhuǎn)子不會與限位器發(fā)生碰摩。

從圖7看出，隨著支撐框架質(zhì)量增加，最大振幅持續(xù)增大，呈現(xiàn)出先慢后快的趨勢，碰摩時(shí)間整體形勢也是增大，但在500～600 kg內(nèi)有一定波動；支撐框架質(zhì)量增大約一倍后，最大振幅增加6倍，碰摩時(shí)間從0增加到約13 s，這表明支撐框架質(zhì)量對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的地震動響應(yīng)有顯著影響，需要在工程設(shè)計(jì)中加以控制，否則要考慮在增加質(zhì)量的同時(shí)提高支撐框架剛度。

由于圖7中碰摩時(shí)間的曲線不是單調(diào)上升，產(chǎn)生了支撐框架基頻是否影響地震動響應(yīng)的關(guān)鍵因素的想法，于是在保證支撐框架基頻不變(支撐框架剛度與質(zhì)量之比不變)的情況下，進(jìn)行了計(jì)算分析，得到圖8，圖8以質(zhì)量作為橫坐標(biāo)。從圖8看出，在基頻不變時(shí)，最大振幅和碰摩時(shí)間基本保持不變，其中最大振幅增大約7%，碰摩時(shí)間增大約3%；這表明如果要保持同樣的地震動響應(yīng)，簡單設(shè)計(jì)的話可以在質(zhì)量增加的同時(shí)同比增加剛度，嚴(yán)格設(shè)計(jì)的話，剛度還需要多增加一部分。

從圖9看出，隨著支撐框架阻尼增加，最大振幅持續(xù)降低，碰摩時(shí)間持續(xù)降低；阻尼系數(shù)增大6倍后，最大振幅降低約19%，碰摩時(shí)間降低約18%，這表明支撐框架阻尼對抑制地震動響應(yīng)有一定的作用，但與支撐框架剛度相比較差。

綜合圖6～圖8的結(jié)果來看:圖6可以認(rèn)為是基頻逐步增大對地震動響應(yīng)的影響;圖7可以認(rèn)為是基頻逐步減小對地震動響應(yīng)的影響;圖8則是基頻保持不變時(shí)的影響。在工程設(shè)計(jì)中應(yīng)該先從保持基頻不變的思路出發(fā)，如果支撐框架質(zhì)量增加不可避免，而剛度又增無可增，就需要增加支撐框架上的阻尼，這樣才能保證系統(tǒng)的地震動響應(yīng)處于安全的范圍內(nèi)。

4 結(jié) 論

本文針對工作在柔性支承上的高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子，在地震動模型、碰摩力模型分析的基礎(chǔ)上，建立了考慮支撐架的轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程，形成了瞬態(tài)計(jì)算方法，計(jì)算并分析了支撐框架對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)地震動響應(yīng)的影響，得到如下結(jié)論：

(1) 轉(zhuǎn)子和支撐框架地震動響應(yīng)呈現(xiàn)出一致的規(guī)律，轉(zhuǎn)子左右兩端的振幅基本相同，約是支撐框架振幅的1.5倍。

(2) 最大振幅和碰摩時(shí)間隨支撐框架剛度單調(diào)增長、隨質(zhì)量單調(diào)減小、隨阻尼單調(diào)減小；支撐框架基頻是影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)地震動響應(yīng)的關(guān)鍵因素。

(3) 在工程設(shè)計(jì)中應(yīng)該先從保持基頻不變的思路出發(fā)，如果支撐框架質(zhì)量增加不可避免，而剛度又增無可增，則增加支撐框架上的阻尼。