王 瑞， 廖明夫， 程榮輝， 叢佩紅， 黃江博

(1.西北工業(yè)大學 動力與能源學院，西安 710072；2.航發(fā)沈陽發(fā)動機研究所，沈陽 110015)

航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)含有2個轉(zhuǎn)子，即高壓轉(zhuǎn)子和低壓轉(zhuǎn)子。通常，高、低壓轉(zhuǎn)子之間設(shè)置有中介軸承，用于支承高壓轉(zhuǎn)子的渦輪端，從而形成結(jié)構(gòu)耦合。雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為一多源激勵系統(tǒng)。由于存在高壓激勵源和低壓激勵源，因此，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)分為高壓轉(zhuǎn)子激勵的模態(tài)和低壓轉(zhuǎn)子激勵的模態(tài)兩類模態(tài)[1]。另外，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)和振動響應(yīng)還與高、低壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)速控制律，包括轉(zhuǎn)動方向緊密相關(guān)[2]。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的確定和清晰的表達是轉(zhuǎn)子動力學設(shè)計的核心任務(wù)，也是轉(zhuǎn)子故障診斷的基礎(chǔ)。目前，在轉(zhuǎn)子動力學設(shè)計時，一般會根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，建立有限元模型，進行數(shù)值計算，確定轉(zhuǎn)子的模態(tài)。在此過程中，需要判斷高壓轉(zhuǎn)子主激勵的正進動模態(tài)和反進動模態(tài)，以及低壓轉(zhuǎn)子主激勵的正進動模態(tài)和反進動模態(tài)，并予以清晰地表達。但對于對轉(zhuǎn)的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在動力學設(shè)計時，模態(tài)的確定和表達往往會出現(xiàn)混淆的情況，造成判斷失誤。因此，建立準確和清晰的模態(tài)確定和表達方法，意義重大。

針對航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)特性，國內(nèi)外許多學者進行了理論分析、計算和實驗驗證。傳遞矩陣法[3-5]和有限元法[6-9]是研究轉(zhuǎn)子模態(tài)特性的基礎(chǔ)，隨著計算機的發(fā)展，兩者的求解精度和計算效率均達到了較高水平，然而對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的雙源激勵和正、反進動的判別依然處于發(fā)展之中。繆輝等[10-11]利用商業(yè)軟件分析了輪盤的陀螺力矩對對轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的影響，指出當輪盤作反進動時，陀螺力矩使轉(zhuǎn)軸當量剛度減小，轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速降低，并基于以上結(jié)論提出了判別高、低壓激勵的振型篩選法。張大義等[12-13]給出了基于振型篩選法的對轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子坎貝爾圖繪制方法，其根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振型中占主導(dǎo)地位的轉(zhuǎn)子對正、反進動曲線進行篩選，當高低壓轉(zhuǎn)子耦合較小時可取得較好的效果，然而在耦合較強時則會造成較大的誤差。王存[14]基于商業(yè)軟件提出了可區(qū)分雙轉(zhuǎn)子坎貝爾圖中正、反進動曲線的完全法，以及在雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有簡單轉(zhuǎn)速關(guān)系時，無需迭代即可求出全部臨界轉(zhuǎn)速的直接法，最后以諧響應(yīng)分析結(jié)果進行了驗證。上述文獻多是利用商業(yè)軟件對雙轉(zhuǎn)子動力學特性進行求解，并根據(jù)振型和坎貝爾圖中臨界轉(zhuǎn)速變化情況進行正、反進動判斷，未給出經(jīng)過理論證明的統(tǒng)一判斷方法。

Gasch等[15]在其轉(zhuǎn)子動力學著作中，引入了正進動和反進動概念。Liao等[16-18]在研究帶裂紋轉(zhuǎn)子振動時，建立了進動分析方法，用于裂紋故障和不平衡故障的診斷，實驗結(jié)果證實了進動分析方法的有效性。針對支承各向異性的轉(zhuǎn)子，Liao等[19-23]又提出了進動比函數(shù)的概念，并利用進動比函數(shù)的特性來診斷轉(zhuǎn)子支座松動、轉(zhuǎn)軸裂紋和轉(zhuǎn)子不平衡故障，建立了利用進動比函數(shù)預(yù)估轉(zhuǎn)子特性參數(shù)的方法，提出了轉(zhuǎn)子進動的4個定理。上述文獻建立了較為完善的進動理論，但未系統(tǒng)性地提出雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)正、反進動模態(tài)的判斷方法。

Ferraris等[24]首次提出了計算坎貝爾圖的方法，之后一直應(yīng)用于轉(zhuǎn)子模態(tài)特性的表達中，在單轉(zhuǎn)子或同轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，其斜率為正的曲線一般代表正進動，斜率為負的曲線一般代表反進動，但在對轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中上述規(guī)律不再適用。張大義等繪制同轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子坎貝爾圖時，將高、低壓激起的各階臨界轉(zhuǎn)速繪制在一起，去掉反進動曲線，并同時代入高、低壓轉(zhuǎn)速關(guān)系曲線，兩條轉(zhuǎn)速線與正進動曲線的所有交點均為臨界轉(zhuǎn)速。由于未對高、低壓激勵進行區(qū)分，因此坎貝爾圖表達較為擁擠，且不適用于對轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子。于超平等[25]繪制了碰摩約束轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率區(qū)間隨轉(zhuǎn)速變化的坎貝爾圖，可觀察發(fā)生碰摩故障時各轉(zhuǎn)速下的臨界轉(zhuǎn)速區(qū)間，但沒有對各階正、反進動進行區(qū)分。羅貴火等[26-28]在研究雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性時，將雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)分別以低壓轉(zhuǎn)子和高壓轉(zhuǎn)子的進動頻率進行了分解，但表達在同一平面內(nèi)，容易混淆。因此，判斷雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)正、反進動，對其響應(yīng)進行分解，不僅需要理論分析，也需要清晰、直觀的表達方法，現(xiàn)階段的研究較少，模態(tài)判斷以及響應(yīng)表達不直觀。

本文以典型的發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子為對象，建立有限元模型，基于進動分析理論，建立雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)正、反進動模態(tài)的判斷方法，同時，建立雙轉(zhuǎn)子自振頻率和臨界轉(zhuǎn)速的“兩面三維”表達方法，既包含轉(zhuǎn)子正、反進動自振頻率，也包含高、低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速控制律，即共同工作線。另外，還建立了雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的“三面三維”表達方法，在2個立面上，分別表示在某一測點測到的轉(zhuǎn)子振動信號中，高壓頻率分量和低壓頻率分量隨轉(zhuǎn)速的變化，平面上則表示轉(zhuǎn)速控制律，即共同工作線。這樣的表達形式，清晰地將雙轉(zhuǎn)子的模態(tài)與轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)向和轉(zhuǎn)速控制律關(guān)聯(lián)在一起，為理解和分析轉(zhuǎn)子動力學特性提供了直觀和準確的圖景。

1 雙轉(zhuǎn)子模型及其模態(tài)特性

圖1表示典型的航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)。低壓轉(zhuǎn)子有3個支承，高壓轉(zhuǎn)子則有2個支承，其中后支承為中介支承。

圖1 典型的航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)Fig.1 Typical dual-rotor structure of aero-engine

以該雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)為原型，基于動力學相似，搭建了一套雙轉(zhuǎn)子模擬實驗器系統(tǒng)，如圖2所示。雙轉(zhuǎn)子模擬實驗器高、低壓轉(zhuǎn)子均通過電機同軸直驅(qū)，轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)范圍為0～6 000 r/min。低壓轉(zhuǎn)子為1-1-1支承方案，由低壓風扇盤、低壓軸以及低壓渦輪盤組成；高壓轉(zhuǎn)子為1-0-1支承方案，考慮到高壓電機占據(jù)了實驗器軸向空間，而高壓轉(zhuǎn)子為剛性轉(zhuǎn)子，在保證雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學相似的基礎(chǔ)上，將發(fā)動機原型中高壓轉(zhuǎn)子的四級壓氣機盤整合為三級，即高壓轉(zhuǎn)子由高壓一級壓氣機盤、二級壓氣機盤、三級壓氣機盤、高壓軸以及高壓渦輪盤組成。實驗器的1,3和5支點為鼠籠式彈性支承結(jié)構(gòu)，帶有擠壓油膜阻尼器。4支點為中介軸承，為避免高轉(zhuǎn)速下軸承游隙增大，其內(nèi)環(huán)安裝在高壓轉(zhuǎn)子上，外環(huán)的軸承座安裝在低壓轉(zhuǎn)子上。雙轉(zhuǎn)子模擬實驗器系統(tǒng)的詳細參數(shù)已在文獻[29]中給出，本文不再贅述。

圖2 雙轉(zhuǎn)子模擬實驗器系統(tǒng)Fig.2 Dual-rotor test rig system

目前，在役和在研的有高、低壓轉(zhuǎn)子同轉(zhuǎn)型的發(fā)動機，也有對轉(zhuǎn)型的發(fā)動機。根據(jù)典型雙轉(zhuǎn)子發(fā)動機結(jié)構(gòu)，建立有限元模型，可得到轉(zhuǎn)子如下的振動微分方程

(1)

式中:M為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量矩陣；C為系統(tǒng)阻尼矩陣；GL為低壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)陀螺力矩矩陣；Gh為高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)陀螺力矩矩陣；K為系統(tǒng)剛度矩陣；ΩL為低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速;Ωh為高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；Q為系統(tǒng)外力向量；q為系統(tǒng)廣義位移向量，由所有節(jié)點的廣義位移向量依次排列，表示為

(2)

式中,下標為節(jié)點編號,N為節(jié)點總數(shù)。

求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動微分方程式(1)對應(yīng)的齊次方程，便可得到雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的自振頻率及對應(yīng)的振型。

(3)

設(shè)h=h0eλt，則方程式(3)變?yōu)槿缦绿卣鞣匠?/p>

(4)

式中：[I]為4N×4N階單位矩陣；[0]為4N×4N階零矩陣。

在一定的主激勵轉(zhuǎn)速下，解方程式(4)得到左邊矩陣的復(fù)特征根λ=α+jΩr，則帶阻尼進動頻率ωr和該模態(tài)下的阻尼比D為

(5)

特征值λ的實部α為衰減指數(shù)，虛部Ωr為轉(zhuǎn)子進動頻率。它們在復(fù)平面中的幾何關(guān)系,如圖3所示。

圖3 復(fù)平面中帶阻尼進動頻率和無阻尼進動頻率的幾何關(guān)系Fig.3 Geometric relationship between damped precession frequency and undamped precession frequency in complex plane

圖3中2個點表示復(fù)特征根總是以共軛形式存在的。

求解各個自轉(zhuǎn)角速度下的進動頻率時，取主激勵轉(zhuǎn)速(進動轉(zhuǎn)速)和高、低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速比，計算方程式(4)的特征值，就是該自轉(zhuǎn)角速度下的進動頻率。一個自轉(zhuǎn)角速度下有8N個特征值，即8N個進動頻率，連接各個自轉(zhuǎn)角速度下相同階進動頻率，得到雙轉(zhuǎn)子坎貝爾圖，如圖4所示。其橫坐標為主激勵自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速Ω，縱坐標為計算出的各階進動頻率Ωr。由不平衡力激起共振時，其特點是激振力的頻率等于自轉(zhuǎn)角速度，在坎貝爾圖上作出Ωr=Ω，即斜率為1的直線，該直線與各進動頻率線的交點即為各階臨界轉(zhuǎn)速。它們對應(yīng)的模態(tài)振型就是臨界轉(zhuǎn)速下的振型。在圖4(a)中Ω=ΩL，即低壓轉(zhuǎn)子主激勵下的坎貝爾圖，從下往上第1個、第3個、第4個和第5個交點對應(yīng)同步反進動，第2個、第6個和第7個交點對應(yīng)同步正進動；圖3(b)中Ω=Ωh，即高壓轉(zhuǎn)子主激勵下的坎貝爾圖，從下往上第1個、第3個、第4個和第7個交點對應(yīng)同步反進動，第2個、第5個和第6個交點對應(yīng)同步正進動。

(a) 低壓轉(zhuǎn)子主激勵

(b) 高壓轉(zhuǎn)子主激勵圖4 雙轉(zhuǎn)子坎貝爾圖Fig.4 Dual-rotor Campbell diagram

雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的2個轉(zhuǎn)子是以各自的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的，而轉(zhuǎn)速又是變化的。有時，高壓轉(zhuǎn)子和低壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速控制律不能用簡單的表達式表示，在求解頻率方程時將遇到困難。在這種情況下，可采用如下的計算方法。

在求解臨界轉(zhuǎn)速時，先給定低壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，計算得到高壓轉(zhuǎn)子同步正進動的各階臨界轉(zhuǎn)速；改變低壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，又可得到一組高壓轉(zhuǎn)子不平衡激起的各階臨界轉(zhuǎn)速。依此方法，求得在低壓轉(zhuǎn)子若干不同的轉(zhuǎn)速下，高壓轉(zhuǎn)子不平衡激起的臨界轉(zhuǎn)速。將同一階臨界轉(zhuǎn)速點連成曲線，得到該雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由高壓轉(zhuǎn)子不平衡激起的臨界轉(zhuǎn)速，隨低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化曲線，即HRE(high pressure rotor excitation)曲線。依照相同的方法，求得該雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)低壓轉(zhuǎn)子不平衡激起的臨界轉(zhuǎn)速，隨高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化曲線，即LRE(low pressure rotor excitation)曲線。在這個圖譜中，繪出2個轉(zhuǎn)子的共同工作線，工作線與臨界轉(zhuǎn)速圖譜中各線的交點便是實際的各階臨界轉(zhuǎn)速。圖5顯示了雙轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速圖譜。點劃線是一條斜率為45°的直線，它與兩組曲線相交，且交點兩兩重合。這是因為，這條直線表示高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速等于低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。這時，低壓主激勵和高壓主激勵是一致的。這條直線可以用來檢驗所計算的雙轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速圖譜是否正確。

圖5 雙轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速圖譜Fig.5 Dual-rotor critical speed diagram

圖5為雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速圖譜，其中共同工作線與LRE曲線的交點為低壓激勵臨界轉(zhuǎn)速，共同工作線與HRE曲線的交點為高壓激勵臨界轉(zhuǎn)速。如果低壓轉(zhuǎn)子和高壓轉(zhuǎn)子的共同工作線發(fā)生變化，圖5中相應(yīng)的各階臨界轉(zhuǎn)速也會發(fā)生變化。

圖5所示的結(jié)果只包含雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)正進動模態(tài)。在轉(zhuǎn)子動力學設(shè)計中還需確定雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的反進動模態(tài)。

2 正、反進動模態(tài)的判斷

如第1章所述，由狀態(tài)方程對應(yīng)的特征方程求得的特征根以復(fù)共軛的形式成對出現(xiàn)。此時需要判斷，對于給定的高、低壓轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)速比，若以高壓轉(zhuǎn)速或以低壓轉(zhuǎn)速為參考基準，所求得的自振頻率對應(yīng)的是正進動還是反進動。

根據(jù)轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速與公轉(zhuǎn)(進動)轉(zhuǎn)速的方向，可以將轉(zhuǎn)子進動分為正進動和反進動。利用有限元法計算出進動頻率后，需要根據(jù)對應(yīng)的振型，即以上特征值問題的特征向量來判斷轉(zhuǎn)子的進動形式。

對于同轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，正、反進動自振頻率比較容易判斷。一般情況下，高、低壓轉(zhuǎn)子同轉(zhuǎn)時，正進動自振頻率隨轉(zhuǎn)速升高而升高，反進動自振頻率隨轉(zhuǎn)速升高而降低。

但對于對轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，上述變化規(guī)律并不完全成立。這是由于高、低壓轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向相反，所產(chǎn)生的陀螺效應(yīng)也是相互反向的。例如，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)某階模態(tài)是以高壓轉(zhuǎn)速反進動為主的模態(tài)，此時，高壓轉(zhuǎn)子的運動形式為協(xié)調(diào)反進動。而低壓轉(zhuǎn)子則發(fā)生的是非協(xié)調(diào)正進動。若此模態(tài)下，低壓轉(zhuǎn)子應(yīng)變能占優(yōu)，則隨轉(zhuǎn)速升高，對應(yīng)的以高壓轉(zhuǎn)速反進動的自振頻率會升高。因此，對于對轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子，正、反進動自振頻率的判斷易出現(xiàn)混淆。為此，建立如下統(tǒng)一的判斷方法。

在第i階模態(tài)處，轉(zhuǎn)子的振動(狀態(tài)向量)則為

hi=a0i(h0eλit+h0i+1eλi+1t)

(6)

式中，a0i為常數(shù)，由初始條件決定。

將特征根代入式(6)，可得

(7)

式中，括號外的時變系數(shù)a0eαt決定了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而模態(tài)的進動特性則由特征向量來確定。

特征向量h0i包含了轉(zhuǎn)子所有節(jié)點的振動速度和振動位移。設(shè)特征向量在轉(zhuǎn)子某一截面沿x和y方向的分量分別為

xi=xi,re+jxi,im

(8)

yi=yi,re+jyi,im

(9)

轉(zhuǎn)子的進動為

(10)

將式(8)和式(9)代入式(10)，并將單位進動量ejΩrit和e-jΩrit的系數(shù)合并，得到如下的結(jié)果

(11)

式中:括號內(nèi)第一項為正進動分量;第二項為反進動分量。

當如下條件成立時

(xi,re-yi,im)2+(xi,im+yi,re)2>

(xi,re+yi,im)2+(yi,re-xi,im)2

(12)

或進一步，當

xi,imyi,re-xi,reyi,im>0

(13)

轉(zhuǎn)子發(fā)生正進動，第i階模態(tài)為正進動模態(tài)。反之，當

xi,imyi,re-xi,reyi,im<0

(14)

轉(zhuǎn)子進動為反進動，第i階模態(tài)則為反進動模態(tài)。

上述判據(jù)中的量xi,re，xi,im，yi,re和yi,im在求解模態(tài)時可直接獲得，利用式(13)或式(14)就可很容易地判斷出模態(tài)的進動性質(zhì)。

對于正進動模態(tài)，振型由轉(zhuǎn)子不同截面處正進動幅值和相位確定；而對于反進動模態(tài)，振型則由反進動幅值和相位確定。

3 正、反進動自振頻率的“兩面三維”表達方法

如第2章所述，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)包含高壓轉(zhuǎn)子主激勵的正進動模態(tài)和反進動模態(tài)，以及低壓轉(zhuǎn)子主激勵的正進動模態(tài)和反進動模態(tài)。每一模態(tài)不僅與主激勵頻率相關(guān)，還與高、低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速比，即共同工作線相關(guān)。圖4 表示的雙轉(zhuǎn)子坎貝爾圖描述了轉(zhuǎn)子自振頻率與主激勵轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的關(guān)系。但圖4無法確定每一個自振頻率所對應(yīng)的轉(zhuǎn)速比，或另一個轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速。轉(zhuǎn)子共振發(fā)生的條件是：激振頻率與當前高、低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速所對應(yīng)的自振頻率相等。另外，圖4將轉(zhuǎn)子正、反進動自振頻率隨主激勵轉(zhuǎn)速變化的曲線畫在同一象限，與主激勵頻率均有交點，容易混淆臨界轉(zhuǎn)速。圖5只描述了雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)正進動模態(tài)對應(yīng)的自振頻率。

為更清晰地表達雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)正、反進動自振頻率和臨界轉(zhuǎn)速，建立如圖6所示的“兩面三維”表達方法。

(a) 低壓轉(zhuǎn)子主激勵

(b) 高壓轉(zhuǎn)子主激勵圖6 雙轉(zhuǎn)子自振頻率和臨界轉(zhuǎn)速的“兩面三維”表達方法Fig.6 “2 plane 3 dimension” interpretation method of the dual-rotor self-vibration frequency and the critical speed

圖6(a)中，圓圈“°”為低壓主激勵的臨界轉(zhuǎn)速及其對應(yīng)的高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；圖6(b)中，圓圈“°”為高壓主激勵的臨界轉(zhuǎn)速及其對應(yīng)的低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速

圖6中，在垂直面(面1)上同時畫出主激勵下的正進動和反進動自振頻率，垂直軸為自振頻率，水平軸為主激勵轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，同時，它將正進動和反進動自振頻率上下分開。在水平面(面2)上，畫出另一轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速坐標和共同工作線。這種“兩面三維”的表達方法物理意義非常清晰。圖6中自振頻率曲線上的任一點，都清晰地與高、低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和共同工作線相關(guān)聯(lián)。不妨以低壓轉(zhuǎn)子主激勵的自振頻率曲線來說明。給定共同工作線，選擇一低壓轉(zhuǎn)速，就可通過共同工作線得到一高壓轉(zhuǎn)速。在此條件下，可計算得到轉(zhuǎn)子的各階自振頻率。以此類推，逐點求解，直到低壓轉(zhuǎn)子最高轉(zhuǎn)速，就可得到圖6中的曲線。而臨界轉(zhuǎn)速直接由直線ωL=ΩL與正進動自振頻率曲線的交點確定。直線ωL=ΩL與反進動自振頻率曲線無交點。自振頻率曲線是與給定的共同工作線關(guān)聯(lián)的。當共同工作線變化時，自振頻率曲線會隨之變化。

4 穩(wěn)態(tài)不平衡響應(yīng)求解與“三面三維”表達方法

在雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，高壓轉(zhuǎn)子、低壓轉(zhuǎn)子均存在不平衡激振力。由于氣動性能要求，高壓轉(zhuǎn)子/低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速必須符合特定的關(guān)系，即轉(zhuǎn)速控制律，或稱共同工作線。兩轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速不同，因而高、低壓轉(zhuǎn)子不平衡力激振頻率不相等。兩轉(zhuǎn)子的不平衡力都能激起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的共振，共振時的轉(zhuǎn)速都是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。通過中介軸承以及支承和機匣，載荷將由一個轉(zhuǎn)子傳遞給另一個轉(zhuǎn)子。在發(fā)動機上測得的振動包含低壓和高壓轉(zhuǎn)子的頻率成分(主要分量)。低壓轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)是由低壓轉(zhuǎn)子不平衡量引起，高壓轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)是由高壓轉(zhuǎn)子不平衡量引起，其運動形式有所不同。當?shù)蛪恨D(zhuǎn)子不平衡力為主激勵時，低壓轉(zhuǎn)子作同步正進動，即自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)同步，并強迫高壓轉(zhuǎn)子以低壓轉(zhuǎn)速作公轉(zhuǎn)運動，使得高壓轉(zhuǎn)子公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速不一樣，因此，高壓轉(zhuǎn)子作非同步正進動。如果高壓轉(zhuǎn)子與低壓轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向相反，高壓轉(zhuǎn)子則作非同步反進動。反之，高壓轉(zhuǎn)子不平衡量為主激勵激起的振動時，高壓轉(zhuǎn)子作同步正進動，低壓轉(zhuǎn)子作非同步正進動(或非同步反進動)。發(fā)動機上測得的響應(yīng)是這兩種不平衡響應(yīng)的疊加。

主激勵轉(zhuǎn)速(選定高壓轉(zhuǎn)速或者低壓轉(zhuǎn)速)為Ω，低壓轉(zhuǎn)速和高壓轉(zhuǎn)速分別為ΩL和Ωh，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡力可以表示為

Q=QccosΩt+QssinΩt

(15)

則雙轉(zhuǎn)子運動微分方程的穩(wěn)態(tài)解可設(shè)為

q=qccosΩt+qssinΩt

(16)

代入式(1)，并推導(dǎo)、整理得到

(17)

從而

q=qcos(Ωt-?)

(18)

其中

(19)

由以上推導(dǎo)可以看到，每給定一個主激勵轉(zhuǎn)速以及高壓轉(zhuǎn)速和低壓轉(zhuǎn)速的關(guān)系，即共同工作線，可以求出在給定不平衡量作用下雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各節(jié)點的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

如上所述，雙轉(zhuǎn)子具有高、低壓轉(zhuǎn)子主激勵的臨界轉(zhuǎn)速。在實際中，高、低壓轉(zhuǎn)子會同時存在不平衡量。在機匣上某一測點所測得的振動為高、低壓轉(zhuǎn)子不平衡激振力共同作用下的響應(yīng)，同時還與轉(zhuǎn)速控制律相關(guān)。分析結(jié)果中，不易辨識高、低壓轉(zhuǎn)子主激勵的臨界峰值。為此，建立圖7所示的“三面三維”表達方法來描述雙轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)。

圖7 雙轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)的“三面三維”表達方法Fig.7 “3 plane 3 dimension” interpretation method of the dual-rotor unbalanced response

圖7表征的是雙轉(zhuǎn)子模擬實驗器低壓渦輪測點的不平衡響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速和共同工作線的變化。實驗之前在高壓轉(zhuǎn)子和低壓轉(zhuǎn)子上分別添加了20 g·cm的不平衡量。雙轉(zhuǎn)子實驗器按照共同工作線增速，設(shè)計點1的低壓轉(zhuǎn)速為2 600 r/min，高壓轉(zhuǎn)速為4 810 r/min，設(shè)計點2的低壓轉(zhuǎn)速為4 000 r/min，高壓轉(zhuǎn)速為6 000 r/min。

當高、低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速按照共同工作線變化時，可從振動信號中分解出高壓基頻和低壓基頻分量，分別描繪在2個立面上，得到高壓轉(zhuǎn)子不平衡激勵下的響應(yīng)曲線和低壓轉(zhuǎn)子不平衡激勵下的響應(yīng)曲線。響應(yīng)曲線上的峰值就分別對應(yīng)高、低壓轉(zhuǎn)子主激勵的臨界峰值。圖7的水平面(面3)上畫出了轉(zhuǎn)速控制律，即共同工作線。還可以在水平面上將振動總量隨轉(zhuǎn)速的變化表達出來，即圖中的黑色曲線?！叭嫒S”表達方法，將雙轉(zhuǎn)子的振動與轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)向和轉(zhuǎn)速控制律清晰地描繪在一起，便于理解和分析轉(zhuǎn)子的振動特性。

5 結(jié) 論

本文以典型的發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為對象，分析了雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)特性，理論上證明了判斷正、反進動模態(tài)的條件，建立了雙轉(zhuǎn)子自振頻率和臨界轉(zhuǎn)速的“兩面三維”表達方法，以及雙轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)的“三面三維”表達方法，并應(yīng)用于雙轉(zhuǎn)子模擬實驗器，效果顯著。本文結(jié)論如下：

(1) 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高、低壓轉(zhuǎn)子主激勵的正、反進動模態(tài)除與主激勵轉(zhuǎn)速相關(guān)外，還與高、低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速控制律(共同工作線)有關(guān)。利用常規(guī)的方法不能清晰表達雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)特征。

(2) 本文建立的雙轉(zhuǎn)子自振頻率和臨界轉(zhuǎn)速“兩面三維”表達方法，是在垂直面(面1)上同時畫出主激勵下的正進動和反進動自振頻率，垂直軸為自振頻率，水平軸表示主激勵轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，同時，它將正進動和反進動自振頻率上下分開。在水平面(面2)上，畫出另一轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速坐標和共同工作線。這樣的表達方法能將自振頻率與高、低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和共同工作線清晰地關(guān)聯(lián)在一起。

(3) 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)是高、低壓轉(zhuǎn)子不平衡激勵的共同作用結(jié)果，同時還與轉(zhuǎn)速控制律相關(guān)。在對振動信號的分析中，不易辨識高、低壓轉(zhuǎn)子主激勵的幅頻特性。

(4) 本文建立的雙轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)“三面三維”表達方法利用3個垂直面分別表示高、低壓轉(zhuǎn)子主激勵下的幅頻特性，利用水平面表示高、低壓轉(zhuǎn)子共同工作線和振動總量隨高、低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化?！叭嫒S”表達方法，將雙轉(zhuǎn)子的振動與轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)向和轉(zhuǎn)速控制律清晰地描繪在一起，便于理解和分析轉(zhuǎn)子的振動特性。