索若淇，李 輝，2

（1.呂梁學院礦業(yè)工程系，山西 呂梁 033001；2.中北大學機械工程學院，山西 太原 030051）

1 引言

少自由度并聯(lián)機構因其承載力大、速度快、慣量小、相比六自由度并聯(lián)機構控制簡單等特點，被廣泛應用于各個行業(yè)領域［1-5］。

3-RSS/S機構是一種常見的少自由度并聯(lián)機構，具有3個轉動自由度，通過對其進行運動學、靜力學和動力學的研究，證明該機構適合用于康復訓練［6-8］。但目前還沒有文獻對3-RSS/S并聯(lián)機構的性能進行研究，無法評價機構在工作時的性能表現(xiàn)，無法評估其工作效率，也有礙于之后對機構進行尺度優(yōu)化工作，因此有必要對該機構進行性能研究。

在進行并聯(lián)機構的性能研究時，通常使用雅克比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)局部條件數(shù)指標來評價并聯(lián)機構的運動性能［9-11］。但該方法由于雅克比矩陣元素量綱的不一致，會導致局部條件數(shù)指標具有不一致性［12］。

此外，文獻［13］基于旋量理論，通過瞬時功率的概念提出的運動/力性能分析方法，該方法定義了局部傳遞指標和優(yōu)質傳遞工作空間用于評價機構性能。文獻［14］采用能效系數(shù)法定義和求解機構傳遞性能相關的評價指標。文獻［15-16］對用于外科手術領域的2PURR-PUR機構和包含4R平行四邊形閉環(huán)支鏈遠中心運動的并聯(lián)機構進行了性能分析，通過定義局部傳遞指標和全局傳遞指標表明機構在工作空間內(nèi)傳遞性能良好，能夠滿足外科手術的任務要求。

采用運動/力性能傳遞指標研究3-RSS/S并聯(lián)機構的性能表現(xiàn)，使用旋量理論建立其數(shù)學模型，通過閉環(huán)矢量法得出其運動學逆解方程，在此基礎上推導出機構的運動/力輸入、輸出傳遞性能指標和局部傳遞指標，并給出兩組數(shù)值算例從機構性能方面證明了3-RSS/S適用于康復訓練，為之后進行尺度優(yōu)化奠定基礎。

2 機構的數(shù)學模型

3-RSS/S并聯(lián)機構的初始位姿，如圖1所示。圖中：Ai（i=1，2，3）、Bi、Ci—第i條支鏈的R、S和S副；C4—約束支鏈約束動平臺的S副；li1—第i條支鏈的桿AiBi的長度；li2—第i條支鏈的桿BiCi的長度；l4—約束支鏈OC4的長度；e1、e2—定、動平臺外接圓的半徑；Ai—定平臺外接圓上（A1、A2和A3軸線的夾角分別為120°）；Ci—動平臺外接圓上；θi—第i條支鏈R副的轉角；O-XYZ—固定在定平臺外接圓圓心的定坐標系；o-xyz—固定在動平臺外接圓圓心的動坐標系，在初始位姿下，定、動坐標系的軸線方向相同。

圖1 3-RSS/S并聯(lián)機構Fig.1 3-RSS/S Parallel Mechanism

根據(jù)圖1所示，建立3-RSS/S并聯(lián)機構的旋量模型。支鏈1的許動運動旋量系在坐標系O-XYZ中表示為：

式中：xB1，yB1，zB1—B1的x，y，z坐標；xC1，yC1，zC1—C1的x，y，z坐標；其值不影響反旋量的求解。

支鏈具有7個許動運動旋量，但只有6個線性無關旋量，是一個具有6自由度的支鏈，其中與這6個旋量線性相關的旋量表示桿B1C1繞兩S副軸線旋轉的局部自由度，不影響機構整體的性能。故支鏈1的許動運動旋量不存在反旋量，即不存在約束力旋量。

支鏈2的許動運動旋量系為：

式中：xA2，yA2，zA2—A2的x，y，z坐標；xB2，yB2，zB2—B2的x，y，z坐標；xC2，yC2，zC2—C2的x，y，z坐標；其值不影響反旋量的求解。

同樣，支鏈2是一個具有6自由度的支鏈，無約束力旋量。將R副作為驅動，則支鏈2的輸入運動旋量為：

同理可得，支鏈3的許動運動旋量系為：

式中：xA3，yA3，zA3—A3的x，y，z坐標；xB3，yB3，zB3—B3的x，y，z坐標；xC3，yC3，zC3—C3的x，y，z坐標；其值不影響反旋量的求解。

約束支鏈OC4的許動運動旋量系為：

約束支鏈的約束力旋量系為：

3 3-RSS/S機構的運動學逆解

通過機構的運動學逆解能夠得到動平臺在各個位姿下各支鏈的輸入角，從而能夠得到機構各個關節(jié)的坐標，這是求解機構運動/力傳遞性能指標的基礎。

使用閉環(huán)矢量法求解3-RSS/S的運動學逆解。如圖1所示，定義支鏈的R副Ai在定坐標系中的坐標為列向量Ai，由幾何關系可得Ai為：

各支鏈與動平臺相連的S副在定平臺中的坐標為列向量Ci，由于動平臺只能繞o點沿x、y、z軸轉動，轉角分別定義為α、β、γ，由幾何關系可得Ci為：

式中：R（α，β，γ）—動平臺的旋轉矩陣，表示為：

式中：c—cos的縮寫；

s—sin的縮寫。

各支鏈中，兩連桿相連的S副在定平臺中的坐標為列向量Bi，由幾何關系可得Bi為：

由于桿li2的長度不變，可得：

當給定動平臺位姿（給定轉角α，β，γ的值），式（16）為一個三元方程組，共有三個方程，且每個方程中只有一個未知量θi，因此式（16）是可解的，即各支鏈的輸入角θ1，θ2，θ3可解，并且可單獨求解某一輸入角θi。

通過式（16）得到各支鏈的輸入角，即得到機構各個關節(jié)的坐標。求解機構運動學逆解時，結果通常不唯一，動平臺在某一位姿下存在多組解，即機構存在多種構型。在離散的多個位姿下，如何確定每個位姿下每組解屬于何種構型，還需確定機構構型的判別方法。采用MATLAB的fsolve函數(shù)求解機構的運動學逆解，設定一組機構輸入角的初值，使函數(shù)從這組初值附近迭代，通過數(shù)值算法確定該種構型下的唯一的逆解。

4 局部傳遞指標的求解

運動/力傳遞性能可從輸出和輸出兩個方面進行研究，即輸入傳遞指標和輸出傳遞指標。

輸入傳遞指標表示傳遞力對輸入關節(jié)運動的傳遞效率，基于能效系數(shù)法將其定義為：

輸出傳遞指標表示傳遞力對機構輸出運動作功的功率，基于能效系數(shù)法將其定義為：

取輸入傳遞指標和輸出傳遞指標的最小值作為機構的局部傳遞指標，定義為：

當機構的動平臺在某一可達區(qū)域內(nèi)的ρ＞0.7時，認為該區(qū)域為機構的優(yōu)質工作空間。

4.1 機構的輸入傳遞指標

以支鏈1為例研究RSS支鏈的運動/力輸入傳遞指標，如圖2所示。圖中：f1—沿桿B1C1的一個單位力向量；v1—B1點S副中心的單位速度向量；φ1—f1與v1的夾角；ω1—R副轉動的單位角速度。

圖2 支鏈1的旋量分析Fig.2 Analysis of the Screw of Limb 1

式中：OB1—B1點在定坐標系中的坐標。

將式（20）和式（21）帶入式（17），則支鏈1 的輸入傳遞指標λ1為：

故，式（18）可化簡為：

由式（24）可得，RSS 支鏈的輸入傳遞指標只與支鏈的傳遞力向量和Bi點S副中心速度向量的夾角φ1有關，即支鏈的逆壓力角。同理可得支鏈2和支鏈3的輸入傳遞指標λ2和λ3為：

式中：φ2—支鏈2傳遞力旋量與B2點S副中心速度向量的夾角；

φ3—支鏈3傳遞力旋量與B3點S副中心速度向量的夾角。

4.2 機構的輸出傳遞指標

圖3 與的位置Fig.3 The Position of and

同理可得，支鏈2和支鏈3的輸出傳遞指標η2和η3為：

5 數(shù)值算例

以文獻［7］提出的平衡康復訓練為背景，設定期望的優(yōu)質工作空間范圍：動平臺的三個方向的轉動范圍均不小于30°。

5.1 算例1

定義機構的一組設計參數(shù)，如表1所示。

表1 設計參數(shù)Tab.1 Design Parameters

定義機構的一組運動參數(shù)，如表2所示。

表2 運動參數(shù)Tab.2 Movement Parameters

在給定的在機構參數(shù)下，求解動平臺處于不同γ轉角的位姿時機構的LTI，如圖4所示。

圖4 機構的性能圖譜Fig.4 Performance Atlas of the Mechanism

由圖4可知，當γ=20°，30°，40°，50°時，在給定的一組機構參數(shù)下，3-RSS/S并聯(lián)機構的優(yōu)質工作空間范圍較大，但并不符合康復訓練所需的運動空間。

5.2 算例2

只改變機構l4的長度，定義另一組設計參數(shù)，如表3所示。

表3 設計參數(shù)（2）Tab.3 Design Parameters（2）

定義另一組運動參數(shù)，如表4所示。

表4 運動參數(shù)（2）Tab.4 Movement Parameters（2）

則在不同γ轉角位姿時求解機構的LTI，如圖5所示。

圖5 機構的性能圖譜（2）Fig.5 Performance Atlas of the Mechanism（2）

相比于圖4可知，l4長度的改變，顯著改善了3-RSS/S機構的局部傳遞指標，機構的優(yōu)質工作空間明顯得到擴大，符合期望的工作空間。本組機構參數(shù)是否為平衡康復訓練背景下3-RSS/S機構的最優(yōu)尺寸還需后續(xù)研究，但為以3-RSS/S機構傳遞性能為目標函數(shù)的尺度優(yōu)化工作奠定基礎。

6 結論

對3-RSS/S 機構的運動/力性能傳遞指標進行研究，使用閉環(huán)矢量法求解的運動學逆解，基于能效系數(shù)法定義并求解機構的局部傳遞指標。得到以下主要結論：（1）采用閉環(huán)矢量法求解3-RSS/S的運動學逆解，并通過數(shù)值算法能夠判定動平臺某位姿下多組解屬于何種構型。（2）基于旋量理論，使用能效系數(shù)法推導得到3-RSS/S機構的性能傳遞指標，其運動/力輸入傳遞指標只與支鏈的逆壓力角有關。（3）機構設計參數(shù)l4的改變能夠顯著影響機構的局部傳遞指標，改善機構的運動/力傳遞性能。為之后對機構進行尺度優(yōu)化奠定基礎。