胡勇健 鄭俊鋒 李 莉

(合肥市軌道交通集團(tuán)有限公司，230601，合肥∥第一作者，高級(jí)工程師)

0 引言

規(guī)劃建設(shè)干線鐵路、城際鐵路、市域(郊)鐵路和城市軌道交通的多層次軌道交通、推進(jìn)“四網(wǎng)融合”發(fā)展，是推進(jìn)國(guó)家新型城鎮(zhèn)化戰(zhàn)略實(shí)施，促進(jìn)城市群、都市圈一體化發(fā)展的重要舉措。目前，我國(guó)多層次軌道交通仍然面臨功能分工不合理、網(wǎng)絡(luò)布局不完善、樞紐銜接不順暢等現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。接續(xù)優(yōu)化不同層次軌道交通在“四網(wǎng)”樞紐換乘站和線間換乘站的末班車(chē)時(shí)刻表，是提高多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)時(shí)效性與可達(dá)性的重要途徑。本文研究不同層次軌道交通末班車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化，主要是通過(guò)調(diào)整末班車(chē)的始發(fā)站發(fā)車(chē)時(shí)間與換乘站到達(dá)時(shí)間，實(shí)現(xiàn)不同線路末班車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)區(qū)域OD(起訖點(diǎn))可達(dá)。

單一層次軌道交通(如城市軌道交通)時(shí)刻表的既有研究已較為完善，其大致將末班車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化目標(biāo)分為乘客換乘量最大和網(wǎng)絡(luò)可達(dá)性最大兩類(lèi)。文獻(xiàn)[1]以區(qū)域 OD 可達(dá)客流比例最大和各線路收車(chē)延時(shí)最小為目標(biāo)，以列車(chē)開(kāi)行間隔及停站時(shí)分為約束，構(gòu)建了雙目標(biāo)優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[2-3]基于Logit模型計(jì)算乘客路徑選擇概率，以時(shí)空可達(dá)性為目標(biāo)，構(gòu)建了雙層規(guī)劃模型。文獻(xiàn)[4]基于線網(wǎng)拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)構(gòu)建復(fù)雜度計(jì)算指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)末班車(chē)協(xié)同優(yōu)化。文獻(xiàn)[5]通過(guò)遺傳算法，通過(guò)調(diào)整列車(chē)發(fā)車(chē)間隔及停站間隔等減少乘客換乘等待時(shí)間。文獻(xiàn)[6]參考城市軌道交通末班車(chē)時(shí)刻表優(yōu)化方法，實(shí)現(xiàn)了公交車(chē)末班車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化。

城市軌道交通末班車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化問(wèn)題常以滯留乘客數(shù)量最小為目標(biāo)，但末班車(chē)時(shí)段OD間不同路徑存在可行性差異，因此乘客的路徑選擇將直接影響末班車(chē)時(shí)段乘客滯留數(shù)量。而乘客面對(duì)多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)和單一層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)時(shí)，其路徑選擇行為存在差異：在單一層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)中，乘客僅以出行總時(shí)間最小為目標(biāo)；而在多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)中，乘客的出行路徑涉及不同層次軌道交通間的換乘，除考慮出行時(shí)間最小外，乘客還會(huì)考慮換乘的復(fù)雜度及困難度。本文分別以乘客路徑總的軌道交通復(fù)雜度及不同層次軌道交通間收車(chē)延時(shí)值差異對(duì)其進(jìn)行量化，通過(guò)MML模型計(jì)算乘客選擇OD間不同路徑的概率，使多層次軌道交通末班車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化到達(dá)一定程度，以增強(qiáng)長(zhǎng)距離出行客流需求的匹配度。

本文設(shè)計(jì)了算法來(lái)分析、判斷區(qū)域OD可達(dá)性，從區(qū)域OD可達(dá)性和運(yùn)營(yíng)部門(mén)成本出發(fā)，構(gòu)建多目標(biāo)優(yōu)化模型，以實(shí)現(xiàn)不同層次軌道交通末班車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化。

1 不同層次軌道交通末班車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化問(wèn)題描述

不同層次軌道交通末班車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化問(wèn)題可分為2個(gè)子問(wèn)題：區(qū)域OD可達(dá)性判別問(wèn)題和末班車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化問(wèn)題。前者為評(píng)價(jià)后者質(zhì)量的重要指標(biāo)，后者為乘客需求及運(yùn)營(yíng)部門(mén)效益的集中體現(xiàn)。

區(qū)域OD可達(dá)與否取決于乘客換乘過(guò)程中的冗余時(shí)間，如圖1所示。若換乘冗余時(shí)間大于或等于零，則該次換乘可行。若乘客選擇路徑中不存在換乘不可行狀態(tài)，則判斷OD可達(dá)；反之，則不可達(dá)。

圖1 換乘冗余時(shí)間示意圖Fig.1 Diagram of transfer redundancy time

單一層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)OD間常存在多條可行路徑，當(dāng)最佳路徑因線路收車(chē)而失效后，乘客亦可選擇替代方案完成出行。如圖2所示，OD間同時(shí)包含O—H1—H2—H4—D和O—H1—H3—H4—D(H代表?yè)Q乘站)兩條可行路徑，當(dāng)其中一條路徑因收車(chē)失效后，乘客可選擇另一條路徑。多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)OD間會(huì)存在更多可行路徑，然而隨著乘客出行路徑涉及的交通方式和線路的增多，使線路換乘和收車(chē)信息愈加復(fù)雜。如圖3所示，圖中空心點(diǎn)為不同層次軌道交通間的換乘點(diǎn)；其OD間途經(jīng)3種交通方式，可行路徑有9條，包含不同層次軌道交通間的5個(gè)換乘點(diǎn)，乘客難以在出行路徑失效時(shí)選擇當(dāng)前狀態(tài)的最佳替代方案。

圖2 單一層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)換乘示意圖Fig.2 Diagram of single-level rail transit network interchange

圖3 多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)換乘示意圖Fig.3 Diagram of multi-level rail transit network interchange

2 不同層次軌道交通末班車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

2.1 模型假設(shè)

為簡(jiǎn)化模型，增加求解效率，本文多模型做出以下假設(shè)：① 列車(chē)區(qū)間運(yùn)行時(shí)分、停站時(shí)分、間隔時(shí)間恒定；② 末班車(chē)時(shí)段內(nèi)OD已知，乘客換乘時(shí)間恒定且不低于平均值；③ 乘客對(duì)于單一層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)熟悉度恒定且已知；④ 乘客出行需求不因?qū)嶋H交通條件而改變。

2.2 模型構(gòu)建

設(shè)θ為乘客對(duì)不同層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)及服務(wù)信息的熟悉度，為乘客對(duì)不同層次軌道交通間換乘點(diǎn)、線路覆蓋區(qū)域及收車(chē)時(shí)刻差異的量化指標(biāo)。乘客對(duì)網(wǎng)絡(luò)及服務(wù)的熟悉度隨θ增大而增大。出行路徑涵蓋多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)的乘客常具有較低的熟悉度值。本文在文獻(xiàn)[7]研究基礎(chǔ)上，結(jié)合本文研究背景，增加了多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)中各線路列車(chē)收車(chē)時(shí)刻差異值。本文構(gòu)建的具體熟悉度計(jì)算公式為：

ωe=np+nc+hp+γewi，i∈[1,na]

(1)

式中：

ωe——乘客對(duì)各層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)的熟悉度；

γe——收車(chē)時(shí)刻差異影響系數(shù)；

na——網(wǎng)絡(luò)中交通方式數(shù)量；

np、nc、hp——分別為單一層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)中換乘節(jié)點(diǎn)數(shù)量、不同層次軌道交通間換乘節(jié)點(diǎn)數(shù)量、單一層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)中的線路數(shù)量；

wi——多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)中i交通方式列車(chē)收車(chē)時(shí)刻差異指標(biāo)。

wi=(Dmax-Dmin)τi

(2)

式中：

τi——時(shí)刻差異校正系數(shù)；

Dmax、Dmin——分別表示線網(wǎng)中的最晚和最早收車(chē)時(shí)間。

多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)OD間線路信息復(fù)雜度計(jì)算公式為：

(3)

式中：

ωOD——OD間線路信息復(fù)雜度；

δi——乘客最短出行路徑上交通方式Si的被選擇線路是否存在已收車(chē)的情況，如已收車(chē)，取值為1，反之，取值為0。

文獻(xiàn)中常將θ控制在[0.05,5.00]。本文在θ基礎(chǔ)上根據(jù)影響因素進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整后的乘客對(duì)多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)的熟悉度θd計(jì)算公式為：

θd=θ(1-f1ωOD)

(4)

式中：

f1——網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度對(duì)熟悉度的影響因子。

以乘客出行時(shí)間為效用值，利用MML模型，構(gòu)建乘客在出行條件限制下的路徑選擇概率模型：

(5)

其中：

(6)

式中：

Pr,OD——按OD間出行時(shí)間從小到大排列的第r條可行路徑被乘客選擇概率(不包含OD間的最短路徑)；

cr,OD——OD間第r條路徑的效用值；

Lr,OD,i——交通方式Si該路徑上的里程；

vi——交通方式Si的列車(chē)運(yùn)行速度。

未選擇其他可行路徑的乘客成為滯留乘客，總滯留乘客qna計(jì)算公式式為：

式中：

tmax——多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)中的最晚發(fā)車(chē)時(shí)間；

ξo,d,t——末班車(chē)時(shí)段乘客選擇軌道交通的比例；

qOD,t——時(shí)刻tOD間客流量；

Pr,m,OD——OD間出行時(shí)間最短路徑的選擇概率；

Rr,OD,t,min——時(shí)刻tOD間第r條可行路徑上列車(chē)定員數(shù)最小值。

模型目標(biāo)1總滯留乘客最小數(shù)量Z1為：

因運(yùn)營(yíng)計(jì)劃調(diào)整而造成的多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)中各線路收車(chē)最小延時(shí)Z2計(jì)算公式即目標(biāo)2為：

(8)

式中：

Di,j——交通方式Si的第j條線路的收車(chē)延時(shí)值。

模型的約束條件為：

(9)

式中：

xc,i,j,v、xc,m,i,j,v——第Si種制式軌道交通的第j條線路倒數(shù)第c次列車(chē)在車(chē)站v的到、發(fā)時(shí)刻；

v——各制式間換乘節(jié)點(diǎn)中的制式內(nèi)換乘節(jié)點(diǎn)；

gi,j,v——第Si種制式軌道交通的第j條線路上車(chē)站v至v+1間運(yùn)行時(shí)間；

hi.n——線路Si停站時(shí)間；

Tl,i——第Si種制式軌道交通的最晚發(fā)車(chē)時(shí)間；

hi.m——線路Si發(fā)車(chē)間隔時(shí)間；

Di,j、Di,j,max——分別表示第Si種制式軌道交通的第j條線路的收車(chē)延時(shí)值、延時(shí)值最大值。

3 多制式軌道交通末班車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化的算法設(shè)計(jì)

本文基于乘客出行需求及運(yùn)營(yíng)部門(mén)效益構(gòu)建了多目標(biāo)優(yōu)化模型。對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行處理時(shí)，常引入權(quán)重系數(shù)實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)向單目標(biāo)的轉(zhuǎn)化。但這種方式的主觀性較大，結(jié)果形式較單一。本文提出嵌套Dijkstra搜索法的NSGA-II求解算法。Dijkstra算法用以求解末班車(chē)時(shí)段區(qū)域OD是否可達(dá)，基于NSGA-II算法搜索決策空間中的最優(yōu)解集合，協(xié)調(diào)、組合后確定分目標(biāo)最佳方案。

3.1 改進(jìn)Dijkstra算法

本文以O(shè)D間乘客最晚乘車(chē)時(shí)間量化區(qū)域OD可達(dá)性，基于最晚到達(dá)時(shí)間問(wèn)題(K-LAP)，從乘客終點(diǎn)站最晚到達(dá)時(shí)間向前推，以確定最晚乘車(chē)時(shí)間，設(shè)定以下變量：

Xc,i,j,u,v——交通方式Si第j條線路倒數(shù)第c次列車(chē)在車(chē)站u的到達(dá)時(shí)間；

Xc,m,i,j,u,v——交通方式Si第j條線路倒數(shù)第c次列車(chē)在車(chē)站u的出發(fā)時(shí)間；

M(u,v,w)——從有向邊e(u,v)至邊e(v,w)的換乘時(shí)間；

tc,r,i,j,w,u,v——有向邊e(w,u)至邊e(u,v)的換乘冗余時(shí)間；

e(u,v)-——有向邊的上一可行邊；

E*——不同層次軌道交通的換乘節(jié)點(diǎn)與單一層次軌道交通換乘節(jié)點(diǎn)組成邊的集合(利用標(biāo)記法計(jì)算時(shí)僅考慮E*，其余邊利用E*內(nèi)涉及的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)進(jìn)行推算)。

具體算法步驟如下：

步驟1：標(biāo)記值初始化。針對(duì)每一終到點(diǎn)D，搜索其與不同層次軌道交通的換乘節(jié)點(diǎn)與單一層次軌道交通換乘節(jié)點(diǎn)組成邊的集合，標(biāo)記c(u,v)=X1,m,i,j,u,v，其余邊標(biāo)記為0。

步驟2：若E*內(nèi)所有c(o,v)≥c(u,v)，算法轉(zhuǎn)至步驟6。o節(jié)點(diǎn)標(biāo)記值即為起訖點(diǎn)OD間的最晚乘車(chē)時(shí)間，不滿(mǎn)足則繼續(xù)。

步驟3：記E*內(nèi)c(u,v)最大的邊為e(u*,v*)，標(biāo)記值記為c(u*,v*)。

步驟4：搜索e(u*,v*)的起點(diǎn)v*的所有鄰接邊e(w,u*)，確定換乘可行的邊，即滿(mǎn)足tc,r,i,j,w,u,v≥0，記搜索的列車(chē)為c*，tc,r,i,j,w,u,v=c(u*,v*)-M(u,v,w)-Xc,i,j,u,v，基于初始出行路徑客流qOD，以路徑選擇概率Pr,OD計(jì)算可行路徑選擇客流量。

步驟5：針對(duì)以u(píng)*為有向邊的邊e(u,v)更新其標(biāo)記值c(u,v)，判斷e(u,v)倒數(shù)c*列車(chē)在u的發(fā)車(chē)時(shí)間Xc,m,i,j,u,v與c(u,v)的大小關(guān)系。若Xc,m,i,j,u,v>c(u,v)，則c(u,v)=Xc,m,i,j,u,v、e(u*,v*)-=e(u*,v*)，返回步驟2。

步驟6：算法停止。輸出OD間乘客最晚乘車(chē)時(shí)間，c(o)=maxc(w,u),依順序輸出c(w,u)，不可行的上一條可行邊即為OD間最晚可達(dá)路徑。

3.2 NSGA-II算法

NSGA-II算法為基于Pareto最優(yōu)解架構(gòu)建立的優(yōu)化算法，一定程度避免了多目標(biāo)優(yōu)化算法中權(quán)重取值的主觀性。本文將各OD間列車(chē)始發(fā)時(shí)刻作為算法基因，以染色體表征各方案，染色體數(shù)目為多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)內(nèi)線路數(shù)總和。在算法進(jìn)化階段，利用距離大小與各基因支配關(guān)系對(duì)個(gè)體進(jìn)行篩分，最后基于融合變異隨機(jī)法與單點(diǎn)交叉法的混合進(jìn)化法處理個(gè)體，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值波動(dòng)范圍在閾值內(nèi)時(shí)，算法停止。

4 實(shí)例分析

多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)常包含高速鐵路、城際鐵路、市域鐵路、城市軌道交通。本文以高速鐵路與城市軌道交通的末班車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化為例進(jìn)行實(shí)力驗(yàn)證，以合肥地鐵、合福高鐵、合武高鐵、合蚌高鐵、商杭高鐵構(gòu)成的多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)為例分析模型算法的合理有效性。截止2022年5月，合肥地鐵共開(kāi)通5條線路，共有122座車(chē)站投入使用；線路內(nèi)部共設(shè)8座換乘站，其中與高速鐵路換乘的換乘站共有2座?；诙鄬哟诬壍澜煌ňW(wǎng)絡(luò)特征構(gòu)建城市軌道交通、高速鐵路的雙層復(fù)合拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)，換乘信息如表1所示。

表1 合肥地鐵各線與合肥各高鐵線的換乘信息表

城市軌道交通與高速鐵路的列車(chē)收車(chē)時(shí)間有差異，本文僅選取城市軌道交通末班車(chē)時(shí)段內(nèi)的列車(chē)進(jìn)行時(shí)刻表優(yōu)化?，F(xiàn)僅對(duì)2022年2月1日—28日的22:00—23:50時(shí)段內(nèi)日平均客流量進(jìn)行分析。表2為合肥地鐵末班車(chē)OD日均客流量。表3為各高鐵線路部分末班車(chē)日均客流量。部分模型參數(shù)取值見(jiàn)表4。

表2 合肥地鐵2022年2月1日—28日部分末班車(chē)22:00—23:50時(shí)段內(nèi)日均客流量

表3 合肥各高鐵線路2022年2月1日—28日部分列車(chē)22:00—23:50時(shí)段內(nèi)日均客流量

利用Matlab軟件編程求解模型。NSGA-II 算法參數(shù)設(shè)置為：初始種群規(guī)模為150個(gè)，最大迭代次數(shù)為250次，最優(yōu)前段個(gè)體系數(shù)為0.32。算法運(yùn)行結(jié)束后共生成15個(gè)Pareto最優(yōu)解。

表4 模型參數(shù)取值表Tab.4 Model parameter value

算法生成的Pareto front圖及Pareto分析表分別如圖4和表5所示。

圖4 Pareto front圖Fig.4 Diagram of Pareto front

由圖4可見(jiàn)：末班車(chē)收車(chē)總延時(shí)值與區(qū)域OD不可達(dá)比例呈現(xiàn)近似反比的關(guān)系。當(dāng)區(qū)域OD不可達(dá)比例為最小值0.149 6與最大值0.155 7時(shí)，末班車(chē)收車(chē)總延時(shí)值分別取得最大值12.715 min與最小值-10.272 min(負(fù)值表示優(yōu)化方案末班車(chē)收車(chē)時(shí)間早于現(xiàn)行方案的)。

表5展示了部分Pareto解集合，其目標(biāo)函數(shù)包含末班車(chē)收車(chē)最小延時(shí)值和不可達(dá)最小客流量2個(gè)子目標(biāo)；方案序號(hào)從小到大表示末班車(chē)收車(chē)最小延時(shí)值目標(biāo)的權(quán)重從小到大，不可達(dá)最小客流量目標(biāo)的權(quán)重從大到小。序號(hào)1的方案具有最小的不可達(dá)比例，同時(shí)其具有最大的末班車(chē)收車(chē)延時(shí)值，可達(dá)比例較原方案增加了24.29 %。最優(yōu)方案集合中，客流不可達(dá)比例隨末班車(chē)延時(shí)值減少而提高，這是由于提前收車(chē)致使乘客的出行路徑大量失效，產(chǎn)生大量不可行客流。第7個(gè)方案后，具有比現(xiàn)有開(kāi)行方案更早的收車(chē)時(shí)間，在此條件下運(yùn)營(yíng)部門(mén)成本較低，同時(shí)具有比現(xiàn)行方案更低的不可達(dá)比例,因此運(yùn)營(yíng)部門(mén)可根據(jù)不可達(dá)比例與末班車(chē)收車(chē)延時(shí)值側(cè)重于解集中選擇合適的方案。

表5 部分Pareto最優(yōu)解分析表Tab.5 Partial Pareto optimal solution analysis

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究了多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)末班車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化問(wèn)題，并以合肥地鐵、合福高鐵、合武高鐵、合蚌高鐵、商杭高鐵組成的多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)為例進(jìn)行了實(shí)例分析。結(jié)果表明：最優(yōu)方案集均在一定程度優(yōu)于現(xiàn)行方案，其中不可達(dá)比例最低的方案可達(dá)客流增加24.29%，發(fā)車(chē)時(shí)間推后56 s；不可達(dá)比例優(yōu)于現(xiàn)行計(jì)劃的方案中，末班車(chē)收車(chē)延時(shí)最小值為-10.272 min，城市軌道交通在10:50的不可達(dá)客流數(shù)量達(dá)到峰值，因此需增加相應(yīng)時(shí)段的列車(chē)開(kāi)行頻率。實(shí)例分析表明模型具有有效性，為多層次軌道交通網(wǎng)絡(luò)協(xié)調(diào)及決策提供了一定的理論支撐。