張 董，樊 輝，卞春磊

（1.南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，南京 210000；2.上海卓昕醫(yī)療科技有限公司，上海 200000）

能見(jiàn)度，是指視力正常的人能將目標(biāo)物體從所在環(huán)境中識(shí)別出來(lái)的最大距離[1]。目標(biāo)物的能見(jiàn)度，與大氣透明度和目標(biāo)物所在環(huán)境的亮度對(duì)比有關(guān)。當(dāng)天氣晴朗，大氣透明度良好時(shí)，能見(jiàn)度就好；反之，當(dāng)空氣混濁，特別是霧天時(shí)，能見(jiàn)度就差。

眾所周知，航空飛行對(duì)氣象條件要求較高，其安全系數(shù)很大程度上受到氣象因素的影響。低能見(jiàn)度會(huì)使得駕駛員無(wú)法看清機(jī)場(chǎng)跑道，從而無(wú)法確定位置，直接影響航班準(zhǔn)點(diǎn)率、駕駛安全性，其最終結(jié)果是不得不返航、備降，造成經(jīng)濟(jì)損失。因此，大霧天氣下能見(jiàn)度預(yù)測(cè)是航空公司十分關(guān)注的問(wèn)題。利用合適的數(shù)學(xué)模型分析能見(jiàn)度與影響因素直接的關(guān)系，可以預(yù)測(cè)大霧天氣下機(jī)場(chǎng)未來(lái)能見(jiàn)度，幫助航空公司制定更加精確的惡劣天氣應(yīng)對(duì)策略。

1 樣本數(shù)據(jù)及分析

1.1 樣本數(shù)據(jù)

本文根據(jù)某地機(jī)場(chǎng)霧天零點(diǎn)至二十四點(diǎn)共計(jì)1 442組觀測(cè)數(shù)據(jù)（如圖1所示），分析相關(guān)數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，選取影響能見(jiàn)度的溫度[2]、相對(duì)濕度[3]、風(fēng)速[4]和氣壓[5]4種因素。針對(duì)這些因素和能見(jiàn)度之間的影響關(guān)系，建立合適的預(yù)測(cè)模型。

1.2 數(shù)據(jù)分析

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別得出能見(jiàn)度隨溫度、相對(duì)濕度、風(fēng)速和氣壓變化分布圖。

根據(jù)圖2（a）中能見(jiàn)度隨相對(duì)濕度變化的散點(diǎn)圖分布可以發(fā)現(xiàn)，能見(jiàn)度隨濕度的增加呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，即負(fù)相關(guān)關(guān)系。同時(shí)，摒除一些不規(guī)律點(diǎn)，能見(jiàn)度與相對(duì)濕度大致滿足一元二次函數(shù)關(guān)系。

根據(jù)圖2（b）中與溫度相關(guān)的能見(jiàn)度散點(diǎn)圖分布可以發(fā)現(xiàn)，能見(jiàn)度隨溫度的提高呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，即正相關(guān)關(guān)系。縱觀整張圖，能見(jiàn)度7 km處，有很多噪聲點(diǎn)。去除掉這些點(diǎn)，可以觀察得到，能見(jiàn)度與溫度大致滿足對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系。

根據(jù)圖2（c）中能見(jiàn)度隨氣壓變化的散點(diǎn)分布可知，能見(jiàn)度隨氣壓的上升而上升，即正相關(guān)關(guān)系。但是，當(dāng)氣壓到達(dá)一定值后，能見(jiàn)度變化不明顯。所以，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)選取氣壓對(duì)能見(jiàn)度影響較明顯區(qū)域數(shù)據(jù)。通過(guò)觀察，能見(jiàn)度與氣壓大致滿足指數(shù)函數(shù)關(guān)系。

根據(jù)圖2（d）中受風(fēng)速影響的能見(jiàn)度散點(diǎn)分布可以發(fā)現(xiàn)，能見(jiàn)度隨風(fēng)速變大而提高，即正相關(guān)關(guān)系。觀察散點(diǎn)分布的走向，容易得出，能見(jiàn)度與風(fēng)速大致呈對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系。

2 模型建立

綜上，大霧天氣下相對(duì)濕度、溫度、氣壓和風(fēng)速與能見(jiàn)度之間存在一定非線性關(guān)系。當(dāng)考慮多個(gè)自變量與因變量之間的非線性關(guān)系時(shí)，需要對(duì)各個(gè)自變量分別建立一元非線性回歸方程。因此，首先選定一元非線性回歸模型，然后對(duì)自變量做轉(zhuǎn)換，化成一元線性回歸模型求對(duì)應(yīng)參數(shù)，最終采用層次分析法確定各個(gè)因素對(duì)能見(jiàn)度影響權(quán)重系數(shù)，建立自變量與因變量之間的多元非線性回歸模型[6]。

2.1 一元非線性回歸模型

根據(jù)圖2數(shù)據(jù)分析，選用3種常用非線性函數(shù)，分別為對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、一元二次函數(shù)。

2.2 模型擬合求解參數(shù)

令式（1）中y＇=y，x＇=lnx，則式（1）可變?yōu)閥＇=a+bx＇。

令式（2）中y＇=lny，a=lnc，x＇=x，則式（2）可變?yōu)閥＇=a+bx＇。

式（3）可直接擬合求出參數(shù)，故不需要轉(zhuǎn)換。

經(jīng)過(guò)上述轉(zhuǎn)換，非線性函數(shù)模型化為線性函數(shù)模型進(jìn)行分析，可以通過(guò)線性回歸模型，即學(xué)習(xí)一個(gè)線性模型，擬合求出函數(shù)對(duì)應(yīng)參數(shù)，輸出最優(yōu)預(yù)測(cè)值。

2.3 層次分析法

層次分析法是一種多準(zhǔn)則評(píng)價(jià)方法，該方法能將復(fù)雜系統(tǒng)的各種因素分解為若干層次，并建立多級(jí)遞階結(jié)構(gòu)[7]。以上層某一因素為準(zhǔn)則，對(duì)下層因素進(jìn)行分析和比較，按照判斷尺度建立判斷矩陣。再通過(guò)一定計(jì)算，以得到不同因素的優(yōu)先級(jí)權(quán)重，從而為抓住主要因素提供依據(jù)。運(yùn)用層次分析法構(gòu)造系統(tǒng)模型時(shí)，大體可以分為以下4個(gè)步驟。

（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型。按決策的目標(biāo)、考慮的因素和決策對(duì)象之間的相互關(guān)系分成最高層、中間層和最低層，繪制層次結(jié)構(gòu)圖。

（2）構(gòu)造判斷（成對(duì)比較）矩陣。在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性的結(jié)果則常常不容易被別人接受，因此提出一致矩陣法，即對(duì)所有因素進(jìn)行兩兩比較。一致性矩陣的元素Qij表示的是第i個(gè)因素相對(duì)于第j個(gè)因素的比較結(jié)果，利用九級(jí)標(biāo)度法給出。

（3）層次單排序及一致性檢驗(yàn)。層次單排序是指當(dāng)前層次因素對(duì)于上一層次某因素相對(duì)重要性權(quán)值排序，排序后需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，即兩兩比較矩陣，確定不一致的允許范圍。

（4）層次總排序及一致性檢驗(yàn)。層次總排序是指從高到低層次逐層計(jì)算當(dāng)前層次所有因素對(duì)于最高層的相對(duì)重要性權(quán)值并進(jìn)行總排序，同樣需進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。

本文中影響能見(jiàn)度的4個(gè)因素，即溫度、相對(duì)濕度、風(fēng)速和氣壓，其層次結(jié)構(gòu)如圖3所示。

從第二層開(kāi)始，對(duì)每層上的因素兩兩比較，構(gòu)造判斷矩陣A，并滿足下述關(guān)系

式中：aij的值越大，說(shuō)明i的相對(duì)重要程度越高。通常用數(shù)字1到9及其倒數(shù)作為重要程度比較的標(biāo)度，即九級(jí)標(biāo)度法[8]，見(jiàn)表1。

表1 九級(jí)標(biāo)度法

2、4、6、8介于表中2個(gè)相鄰重要程度之間。

為了定量確定4個(gè)因素影響能見(jiàn)度的“輕重程度”，從而消除人為依據(jù)經(jīng)驗(yàn)甚至是主觀感覺(jué)來(lái)給出判斷矩陣元素的不合理性，選用了相關(guān)度系數(shù)[9]來(lái)確定判斷矩陣A元素的方法，相關(guān)度系數(shù)的絕對(duì)值大小決定了目標(biāo)函數(shù)對(duì)某個(gè)影響因素的依賴程度。

相關(guān)度系數(shù)：

計(jì)算得出各因素與能見(jiàn)度之間的相關(guān)度系數(shù)后，根據(jù)排序設(shè)定各個(gè)因素對(duì)能見(jiàn)度影響的重要性的標(biāo)度，得到判斷矩陣A相關(guān)系數(shù)，構(gòu)建判斷矩陣。再通過(guò)一定計(jì)算，得到權(quán)重系數(shù)，最終建立多元非線性回歸模型。

2.4 模型確立

綜上，最終確立數(shù)學(xué)模型如下

式中：U為能見(jiàn)度為相對(duì)濕度對(duì)應(yīng)權(quán)重系數(shù)；R為相對(duì)濕度；f（R）為相對(duì)濕度與能見(jiàn)度之間數(shù)學(xué)關(guān)系為溫度對(duì)應(yīng)權(quán)重系數(shù)；T為溫度；f（T）為溫度與能見(jiàn)度之間數(shù)學(xué)關(guān)系為氣壓對(duì)應(yīng)權(quán)重系數(shù)；P為氣壓；f（P）為氣壓與能見(jiàn)度之間數(shù)學(xué)關(guān)系；為風(fēng)速對(duì)應(yīng)權(quán)重系數(shù)；W為風(fēng)速；f（W）為風(fēng)速與能見(jiàn)度之間數(shù)學(xué)關(guān)系。

根據(jù)圖2，設(shè)定

3 模型求解

3.1 一元非線性回歸模型求解

通過(guò)一元非線性回歸方程轉(zhuǎn)換和線性回歸模型擬合得到相對(duì)濕度、溫度、氣壓、風(fēng)速與能見(jiàn)度之間的函數(shù)關(guān)系。

（1）相對(duì)濕度與能見(jiàn)度函數(shù)關(guān)系為

二者擬合曲線如圖4所示。

根據(jù)圖4擬合曲線可知，相對(duì)濕度與能見(jiàn)度滿足一元二次函數(shù)關(guān)系。但在實(shí)際擬合中，此函數(shù)關(guān)系可直接擬合求出相關(guān)系數(shù)，所以其無(wú)需轉(zhuǎn)換即可具體函數(shù)關(guān)系式。

（2）溫度與能見(jiàn)度函數(shù)關(guān)系為

二者擬合曲線如圖5所示。

根據(jù)圖5擬合曲線可知，不考慮一些差異較大點(diǎn)，溫度與能見(jiàn)度滿足對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系。通過(guò)線性回歸，經(jīng)數(shù)據(jù)集擬合，得到最優(yōu)系數(shù)，求出具體對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系式。

（3）氣壓與能見(jiàn)度函數(shù)關(guān)系為

二者擬合曲線如圖6所示。

由圖6擬合曲線可知，氣壓與能見(jiàn)度之間的關(guān)系符合指數(shù)函數(shù)關(guān)系。實(shí)際擬合過(guò)程中，由于后面近一半的點(diǎn)呈水平線分布，對(duì)能見(jiàn)度基本不產(chǎn)生影響，僅考慮前一半散點(diǎn)分布，擬合函數(shù)曲線，具體公式如上。

（4）風(fēng)速與能見(jiàn)度函數(shù)關(guān)系為

二者擬合曲線如圖7所示。

由圖7擬合曲線可知，風(fēng)速與能見(jiàn)度之間的關(guān)系符合對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系。但從圖中不難發(fā)現(xiàn)，很多散點(diǎn)呈水平線分布，這些點(diǎn)對(duì)擬合效果會(huì)產(chǎn)生一定影響，所以取變化趨勢(shì)相關(guān)的散點(diǎn)對(duì)擬合效果更好。通過(guò)擬合，得出函數(shù)最優(yōu)系數(shù)，得到具體的對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系式。

3.2 權(quán)重系數(shù)求解

根據(jù)提供數(shù)據(jù)計(jì)算，得出各因素與能見(jiàn)度之間的相關(guān)度系數(shù)，見(jiàn)表2。

表2 相關(guān)度系數(shù)

根據(jù)相關(guān)度系數(shù)絕對(duì)值排序：相對(duì)濕度（0.872 0），溫度（0.815 8），氣壓（0.812 4），風(fēng)速（0.770 4）。設(shè)定各個(gè)因素對(duì)能見(jiàn)度影響的重要性的標(biāo)度，得到判斷矩陣A相關(guān)系數(shù)。構(gòu)建判斷矩陣A如下

將矩陣A進(jìn)行特征向量標(biāo)準(zhǔn)化，得到各影響因素權(quán)重系數(shù)見(jiàn)表3。

3.3 最終模型

通過(guò)以上分析計(jì)算，將相關(guān)參數(shù)和函數(shù)關(guān)系代入式（6），得到最終數(shù)學(xué)模型如下

4 模型驗(yàn)證

將樣本數(shù)據(jù)代入模型計(jì)算得到模型數(shù)據(jù)，將模型數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如圖8所示。

由圖8可知，模型計(jì)算得到的能見(jiàn)度數(shù)據(jù)曲線與問(wèn)題一提供能見(jiàn)度真實(shí)數(shù)據(jù)曲線重合度較高，走向一致。

由圖9可知，能見(jiàn)度真實(shí)數(shù)據(jù)與模型數(shù)據(jù)相對(duì)誤差均在0.5以下，且平均相對(duì)誤差在0.14左右，表明所求模型關(guān)系式誤差較小，能滿足能見(jiàn)度預(yù)測(cè)需要。

綜上，所求模型關(guān)系式準(zhǔn)確度較高，能準(zhǔn)確描述能見(jiàn)度與地面氣象觀測(cè)（相對(duì)濕度、溫度、氣壓和風(fēng)速）之間的關(guān)系。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)能見(jiàn)度與機(jī)場(chǎng)地面氣象觀測(cè)之間的關(guān)系，選用3種常用非線性函數(shù)建立一元非線性回歸模型。通過(guò)擬合得到相對(duì)濕度、溫度、氣壓和風(fēng)速與能見(jiàn)度之間的函數(shù)系數(shù)的最優(yōu)解，建立具體函數(shù)關(guān)系式。利用層次分析法求解相對(duì)濕度、溫度、氣壓和風(fēng)速對(duì)能見(jiàn)度影響的權(quán)重系數(shù)，最終建立大霧天氣下機(jī)場(chǎng)能見(jiàn)度預(yù)測(cè)模型。驗(yàn)證結(jié)果表明，本文所建立數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)誤差較小，平均相對(duì)誤差在0.14左右，滿足實(shí)際需要。