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        一類時(shí)間不一致控制問題*

        2022-11-19 02:27:58計(jì)
        關(guān)鍵詞:研究

        計(jì) 偉

        (貴州建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息管理學(xué)院,貴州 貴陽 551400)

        時(shí)間偏好與風(fēng)險(xiǎn)偏好在任何投資和決策問題中都起著至關(guān)重要的作用,二者使得投資和決策問題具有不可預(yù)測性和復(fù)雜性,進(jìn)一步導(dǎo)致問題具有時(shí)間不一致性,且時(shí)間不一致問題遠(yuǎn)多于時(shí)間一致問題.例如,貨幣的通脹與緊縮現(xiàn)象、個(gè)人選擇、股票的購買與出售等.

        事實(shí)上,時(shí)間不一致問題可以追溯到1739年,但直到20世紀(jì)50年代,Strotz[1]才首次對其進(jìn)行數(shù)學(xué)公式化.之后,時(shí)間不一致問題主要劃分為實(shí)證研究和理論研究.時(shí)間不一致問題的理論研究,是金融學(xué)與數(shù)學(xué)的前言交叉課題,近10年應(yīng)用數(shù)學(xué)家和金融學(xué)家對其開展了大量研究,取得了豐富的研究成果[2-12].筆者擬利用Hu等[10]引進(jìn)的均衡控制及其經(jīng)典變分法和極限思想,對一類一般帖現(xiàn)因子的時(shí)間不一致控制問題展開討論,旨在研究經(jīng)典控制問題的最優(yōu)控制與時(shí)間不一致控制問題的均衡控制之間的關(guān)系.

        1 數(shù)學(xué)模型和預(yù)備知識

        本研究從經(jīng)典的最優(yōu)控制問題開始敘述.設(shè)T>0和U?Rm是一個(gè)非空的有界閉凸集.定義可行控制集為

        U[s,t]≡{u:[s,t]→U|u(·)可測} ?0≤s≤t≤T,

        給定y0∈Rn,考慮如下控制系統(tǒng):

        (1)

        (2)

        為了度量控制u的性能指標(biāo),引進(jìn)目標(biāo)泛函

        (3)

        其中h:[0,T]×Rn×[0,T]×Rn×U→R和G:{T}×Rn×Rn→R均為給定的映射.

        考慮如下最優(yōu)控制問題:

        問題1對于系統(tǒng)(2),在控制集U[s,T]中求控制函數(shù)u,使得性能指標(biāo)(3)極小化,即

        問題1是一個(gè)經(jīng)典控制問題,利用Bellman最優(yōu)性原理和Pontryagin極大值原理可對其進(jìn)行求解[13-14].關(guān)于問題1的研究,有一個(gè)前置條件,即時(shí)間一致性.但是,現(xiàn)實(shí)問題因資源的有限性、政策設(shè)施的滯后性、決策制定者文化及能力的限制性等,往往并不是如此簡單,通常表現(xiàn)為時(shí)間不一致性,其數(shù)學(xué)模型可描述如下:

        問題2對于系統(tǒng)(2),在控制集U[s,T]中求控制函數(shù)u,使得

        (4)

        其中

        (5)

        顯然,目標(biāo)泛函(5)依賴于初始對(s,y).于是,這時(shí)的優(yōu)化問題變得復(fù)雜,因?yàn)殡S著時(shí)間s的變化,優(yōu)化的不是一個(gè)問題,而是一族問題,甚至可能是無窮不可數(shù)個(gè)問題.這就意味著不能采用傳統(tǒng)的經(jīng)典方法,甚至不能使用經(jīng)典最優(yōu)控制問題解的定義.

        其中

        引入如下假設(shè)條件:

        (P1)映射g:[0,T]×Rn×Rm→Rn連續(xù)可微,且存在常數(shù)L>0,使得

        |g(t,x1,u1)-g(t,x2,u2)|≤L(|x1-x2|+|u1-u2|) ?t∈[0,T],x1,x2∈Rn,u1,u2∈Rm.

        (P2)映射h:[0,T]×Rn×[0,T]×Rn×Rm→R和H:[0,T]×Rn×Rn→R連續(xù)可微,且存在常數(shù)α>0,β>0和γ>0,使得φ(s,y;t,x,u)=h(s,y;t,x,u),H(s,y;x)滿足

        |φ(s,y;t,x,u)|≥α(|x|+|y|)+β|u|-γ?t∈[0,T],x,y∈Rn,u∈Rm.

        (P3)映射h關(guān)于控制變量是一個(gè)弱下半連續(xù)的凸函數(shù).

        2 主要結(jié)果及其證明

        先引進(jìn)如下記號:T表示矩陣或向量的轉(zhuǎn)置,gx表示g(t,x,u)關(guān)于第2個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù),gu表示g(t,x,u)關(guān)于第3個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù),hs表示h(s,y;t,x,u)關(guān)于第1個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù),hy表示h(s,y;t,x,u)關(guān)于第2個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù),hx表示h(s,y;t,x,u)關(guān)于第4個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù),hu表示h(s,y;t,x,u)關(guān)于第5個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù),Hs表示H(s,y;x)關(guān)于第1個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù),Hy表示H(s,y;x)關(guān)于第2個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù),Hx表示H(s,y;x)關(guān)于第3個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù).

        以及

        定理1假設(shè)條件(P1)~(P3)成立.若y0∈Rn固定,則問題1的最優(yōu)控制是問題2的均衡控制.

        (6)

        于是,

        由假設(shè)條件(P1),(P2)和(6)式,可得

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