程衛(wèi)健，林順富，許亮峰，劉持濤，李東東，符 楊

（1. 上海電力大學 電氣工程學院，上海 200090；2. 國網上海市電力公司青浦供電公司，上海 201700）

0 引言

隨著電力系統中新能源滲透率的不斷提高與非線性負荷的大量增加，諧波污染問題愈發(fā)嚴重，電力諧波已成為公共電網亟待解決的問題之一［1-2］。為了實現對電力諧波的有效治理，有必要合理量化供用電雙方的諧波責任。而系統側諧波阻抗估計是諧波責任劃分的關鍵步驟之一，對于諧波治理具有重要意義［3］。

典型的諧波阻抗估計方法包括波動量法［4-5］、協方差法［6］、盲源分離法［7-9］、回歸分析法［10-12］等。以上方法多基于一定的前提，例如：①系統側諧波阻抗在分析時段內恒定；②用戶側諧波阻抗遠大于系統側諧波阻抗；③背景諧波波動較小。隨著現代電網新能源滲透率的不斷增加，以上前提逐漸難以被滿足。系統運行方式的改變、設備的投切和無功補償方式的變化都可能導致系統側諧波阻抗發(fā)生大幅度突變。當用戶側存在新能源并網時，由于并網側多配置濾波器和無功補償設備，可能導致用戶側諧波阻抗不再遠大于系統側諧波阻抗。此外，新能源的諧波發(fā)射具有更強的隨機性和波動性，當系統側存在新能源并網時，背景諧波電壓將具有更大的波動性?；谝陨弦蛩?，系統側諧波阻抗估計問題面臨巨大的挑戰(zhàn)。

文獻［13］和文獻［14］分別采用斜率比較法和小波變換模極大值法辨識阻抗突變的時間點，從而分段求解系統側諧波阻抗，但這2 種方法均未考慮背景諧波波動的影響。文獻［15］篩選出諧波電壓和電流間的弱相關時刻，從而削弱背景諧波波動的影響；文獻［16］構造最小背景諧波波動能量目標函數，篩選出背景諧波波動最平穩(wěn)的樣本點，在此基礎上估計系統側諧波阻抗。但當背景諧波電壓在分析時段內始終保持較大的波動時，這2 種方法難以篩選出滿足要求的樣本點。文獻［17］根據背景諧波電壓的大小對諧波數據進行分組，使得每組數據對應的背景諧波波動平緩，比數據篩選類方法具有更大的適用范圍。然而文獻［17］的方法對公共連接點PCC（Point of Common Coupling）處的復數諧波相量進行實虛部分解，從而在實數域上求解系統側諧波阻抗，不可避免地引入了一定誤差；且該方法在尋優(yōu)過程中采用固定步長尋優(yōu)策略，易陷入局部最優(yōu)解。文獻［11］直接在復數域上求解系統側諧波阻抗，避免了實虛部分解所帶來的誤差影響，但該方法所得估計值的準確性基于背景諧波恒定的前提。

考慮到系統側諧波阻抗估計結果對背景諧波波動敏感和實虛部分開求解影響估計精度的問題，本文結合文獻［11］和文獻［17］的相關思想，直接在復數域對諧波數據進行分組并求取系統側諧波阻抗；同時，考慮到尋優(yōu)過程對系統側諧波阻抗估計值的結果影響較大，采用改進自適應蝙蝠算法進行尋優(yōu)操作。蝙蝠算法可實現全局搜索到局部搜索的自動轉換，具備模型簡單、進化效率高、魯棒性強等優(yōu)點，被廣泛應用于工程實踐。改進自適應蝙蝠算法克服了標準蝙蝠算法后期收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等缺點，進一步提高了系統側諧波阻抗估計的準確性。多個算例分析結果驗證了本文所提方法的有效性和適用性。

1 方法原理

當僅關注單一諧波源的諧波發(fā)射問題時，可將關注用戶等效為用戶側，其他部分都等效為系統側，單用戶諧波分析模型可以等效為圖1 所示的等效電路。圖中：Upcc和Ipcc分別為PCC 處的諧波電壓和諧波電流；Zs和Zc分別為系統側和用戶側的等效諧波阻抗；Us為背景諧波電壓；Ic為用戶側等效諧波電流。

圖1 諧波分析等效電路Fig.1 Equivalent circuit for harmonic analysis

基于圖1分析可得等效電路方程如式（1）所示。

基于式（1）構建回歸方程，可通過回歸分析法求解Zs［10］。由于式（1）中各變量均為復數，傳統的回歸分析法將式（1）按實虛部展開為2 個方程，分別求解Zs的實部和虛部。文獻［18］指出，實虛部分開進行回歸求解得到的使得各自方程誤差平方和最小的最小二乘解并非原問題的整體最小二乘解。而在復數域直接進行回歸計算，其回歸結果誤差模的平方和具有更小值?；诖?，文獻［11］采用復最小二乘法求解Zs，其估計結果更接近真實值。復最小二乘法的計算步驟如下。

首先，將式（1）改寫為式（2）所示的矩陣形式。

回歸系數矩陣X在復數域上的最小二乘解可由式（4）得到。

式中：inv（·）表示矩陣求逆運算；上標H 表示共軛轉置。

在得到回歸系數的前提下，可由式（5）得到系統側諧波阻抗估計值?s。

復最小二乘法進一步提高了線性回歸的估計精度，但其準確求解的前提是分析時段內系統側諧波阻抗和背景諧波電壓值基本不變，而實際情況下背景諧波電壓具有一定的波動性。當背景諧波電壓波動較大時，該方法的計算結果與實際值偏差較大，難以滿足實際應用需要。

考慮到背景諧波波動性對系統側諧波阻抗估計的影響，若能將PCC 諧波采樣數據按照背景諧波電壓的大小進行分組，使得每組數據的背景諧波電壓值波動平緩，則各組數據采用復最小二乘法求得的系統側諧波阻抗估計值將更接近真實值。由于在復數域內無法直接通過大小排序等方法對背景諧波電壓值進行分組，本文通過K-means 聚類算法進行聚類處理使得每簇內的Us波動較小，K-means 聚類算法的具體流程如附錄A圖A1所示。

K-means聚類算法要求提前給定聚類數目m，可采用手肘法、DBI 法或輪廓系數法確定m值。文獻［19］給出了一種簡便的經驗公式來確定m值，其表達式如式（6）所示。

式中：n為樣本個數。

考慮到若聚類后簇內數據量過少，回歸算法難以得到準確的估計值，設定m值的上限為n/50，則m值的最終取值為：

式中：floor（·）表示向下取整運算。

以上分析是基于背景諧波電壓Us已知的前提，而實際情況下Us為未知量，需要通過間接的方式進行分析。首先，可隨機給定系統側諧波阻抗初值Zs0，根據式（1）求解其對應的背景諧波電壓值Us。對Us進行K-means 聚類操作，并根據聚類結果將對應的PCC 諧波樣本數據劃分為m簇。對于每簇數據，分別采用復最小二乘法求得相應的系統側諧波阻抗估計值（i=1，2，…，m），定義與Zs0之間的偏差Vdev如式（8）所示。

偏差Vdev與系統側諧波阻抗初值Zs0之間并非光滑函數關系，如果尋優(yōu)策略不合適，則極易陷入局部最優(yōu)解，使得誤差增大。因此，本文選用改進自適應蝙蝠算法進行尋優(yōu)計算以得到更精確的系統側諧波阻抗估計結果，圖2 給出了本文所提方法的基本流程。

圖2 本文所提方法的流程圖Fig.2 Flowchart of proposed method

2 改進自適應蝙蝠算法

蝙蝠算法在尋優(yōu)過程中可實現從全局搜索到局部搜索的自動轉換，具備模型簡單、進化效率高、魯棒性強等優(yōu)點，適用于復雜目標函數下的尋優(yōu)運算。但標準蝙蝠算法存在后期收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等缺點，限制了其進一步應用［20］。

為克服標準蝙蝠算法的固有缺陷，提高尋優(yōu)結果的精確度，本文對標準蝙蝠算法進行優(yōu)化，提出了一種改進自適應蝙蝠算法：首先，通過混沌映射策略提高蝙蝠初始種群的多樣性，并采用自適應步長控制機制提高算法的求解精度［21-22］；為了避免算法在尋優(yōu)過程中過早陷入局部收斂，引入自適應變異機制以及時跳出局部最優(yōu)解［23］。改進自適應蝙蝠算法的具體運算過程如附錄B所示。

本文以系統側諧波阻抗初值Zs0為變量，以偏差Vdev為適應度值，采用改進自適應蝙蝠算法進行迭代尋優(yōu)，得到使Vdev最小的Zs0值，從而進一步得到系統側諧波阻抗的精確估計值。在尋優(yōu)過程中，設定蝙蝠個體維度為2，分別代表Zs0的實部和虛部。設置蝙蝠種群規(guī)模Nbat=40，最大迭代次數tmax=100。算法終止條件為最優(yōu)解的凝滯步數達到10 或迭代次數t=tmax。

3 算例分析

3.1 諾頓等效模型算例分析

參考文獻［17］建立諾頓等效仿真模型以驗證本文所提方法的有效性，具體仿真參數設置如下。

1）用戶側等效諧波電流源：Ic的幅值Ic=100 A；Ic的相角∠Ic=-60°；在Ic上疊加±15%Ic的隨機擾動和±20%Ic的正弦波動，在∠Ic上疊加±40%∠Ic的隨機擾動。

2）系統側等效諧波電流源：系統側等效諧波電流Is的幅值Is=kIc，其中k的取值為0.1、0.3、0.5、0.8、1，且k值越大，背景諧波波動越大；Is的相角∠Is=60°；在Is上疊加±15%Is的隨機擾動，在∠Is上疊加±40%∠Is的隨機擾動。

3）諧波阻抗：Zs=5+j10 Ω；Zc=pZs，其中p的取值為1、1.5、3、5、7、9；Zs與Zc的實、虛部均添加±10%的隨機擾動。

按照以上設置仿真得到3000個數據點，分別采用4種方法估算系統側諧波阻抗：方法1為復最小二乘法［11］；方法2 為主導波動量法［5］；方法3 為文獻［17］所提方法；方法4 為本文方法，且由式（7）計算得到m=38。利用式（10）計算各方法的系統側諧波阻抗相對估計誤差Erel（下文簡稱相對估計誤差）以評價各方法的估計精度。

附錄C圖C1給出了不同阻抗初值Zs0條件下，偏差Vdev的計算結果。圖中，k、p取值分別為0.5 和3。由圖可見，當系統側諧波阻抗初值Zs0與Zs的真實值相近時，偏差Vdev接近最低值。可以Vdev最小為尋優(yōu)目標，得到接近Zs真實值的最優(yōu)系統側諧波阻抗初值，從而進一步計算更精確的系統側諧波阻抗估計值。

為了評估背景諧波的波動大小對4 種方法的估計效果的影響，固定p值以給出不同k值下4 種方法的相對估計誤差。固定p=7的情況下，Zc=35+j70 Ω，此時用戶側諧波阻抗遠大于系統側諧波阻抗，4 種方法的相對估計誤差如圖3 所示。固定p=1.5 的情況下，Zc=7.5+j15 Ω，兩側諧波阻抗相近，此時4 種方法的相對估計誤差如附錄C圖C2所示。由圖3和圖C2 可以看出，在這2 種場景下，隨著k的增大，4 種方法的相對估計誤差都增大，但誤差的大小和增長率有所不同：方法1、2 對k值非常敏感，其相對估計誤差隨著k值的增長而急劇增大；與方法1、2 相比，方法3、4 具有更小的相對估計誤差且誤差增長更平緩；方法4 的相對估計誤差始終低于其他3 種方法，且對于背景諧波波動的變化具有更強的魯棒性，具有更好的系統側諧波阻抗估計效果。

圖3 p=7時4種方法的相對估計誤差對比Fig.3 Comparison of relative estimation errors among four methods when p is 7

為了進一步驗證各方法對兩側諧波阻抗比p的敏感程度，分別固定k值為0.3和1，分析背景諧波波動較小和較大時，各方法在不同p值下的有效性。k=0.3和k=1時，4種方法的相對估計誤差分別如圖4和附錄C 圖C3所示。由圖4和圖C3可以看出：隨著p值的減小，4 種方法的相對估計誤差都增大；方法1、2對p值敏感，其估計結果隨p值的變化波動較大。方法3、4 對p值的變化具有更強的魯棒性，在p值較小的情況下仍能保持較低的相對估計誤差，且方法4的估計結果始終更接近真實值。

圖4 k=0.3時4種方法的相對估計誤差對比Fig.4 Comparison of relative estimation errors among four methods when k is 0.3

為了更直觀地展現所提方法的優(yōu)越性，以p為X軸，以k為Y軸，以Erel為Z軸，繪制三維對比圖如附錄C圖C4所示。由圖可見：在不同場景下，方法4的相對估計誤差小于其他3 種方法的相對估計誤差；方法4對k、p的變化具有更強的魯棒性，在背景諧波波動較大和用戶側諧波阻抗非遠大于系統側諧波阻抗的情況下可得到更精確的系統側諧波阻抗估計結果。

3.2 三饋線模型算例分析

本節(jié)建立典型三饋線模型以分析4 種方法在多諧波源場景下進行系統側諧波阻抗估計的有效性，仿真電路模型如附錄D 圖D1 所示。圖中：Zci和Ii（i=1，2，3）分別為用戶側饋線i的等效諧波阻抗和等效諧波電流源；Ici為饋線i所在支路的量測電流相量。仿真電路模型的具體參數設置如附錄D表D1所示。仿真中在系統側、用戶側各諧波源的幅值和相角中均添加±40%的隨機波動，仿真共采樣3 000 個數據點。

分別采用4 種方法估計PCC 和各饋線的等效系統側諧波阻抗值，結果如表1 所示。由表中的數據可以看出，在多諧波源場景下，方法4 的估計值更接近理論值，說明本文方法的估計結果比其他3 種方法更準確。

表1 4種方法的系統側諧波阻抗估計結果Table 1 Estimation results of system-side harmonicimpedance with four methods

為了更清晰地體現各方法的系統側諧波阻抗估計性能，采用圖5所示的柱狀圖來展示4種方法在系統側和各饋線處的相對估計誤差。由圖可見，方法4 在系統側和各饋線的相對估計誤差始終是4 種方法中最小的，說明本文方法在多諧波源場景下依然具有較高的準確性。

圖5 各方法的相對估計誤差柱狀圖Fig.5 Histogram of relative estimation error with each method

3.3 典型中／低壓電網基準測試系統算例分析

諧波分析、諧波責任劃分等方向的研究需要一個一致的測試系統以驗證各類方法的有效性。鑒于這一需求，IEEE-PES 提供了一個為工業(yè)負荷供電的典型中／低壓電網基準測試系統以進行諧波建模和算例分析，該基準測試系統的基本模型見附錄E 圖E1。圖中，負荷1 和負荷2 建模為三相晶閘管整流器，分別為PCC 處用戶側和系統側的主要諧波源。本節(jié)基于該基準測試系統進行算例分析以進一步驗證本文方法在系統側諧波阻抗估計中的有效性，對該系統的具體參數設置詳見文獻［24］。在PCC處進行諧波數據收集，其11、13 次諧波電壓和電流幅值的變化趨勢分別如附錄E 圖E2、E3 所示，共采樣5000個數據點。

分別采用4 種方法進行系統側諧波阻抗估計，表2 給出了各方法的估計結果和相對估計誤差。由表可見：方法1、2 受到背景諧波波動的影響，其估計結果與理論值偏離較遠，估計性能較差；方法3、4 通過尋優(yōu)計算得到最優(yōu)阻抗初值，從而得到背景諧波電壓值，并進一步分段估計以在背景諧波波動較大的場景下得到更接近理論值的系統側諧波阻抗估計值；且與方法3 相比，方法4 直接在復數域進行系統側諧波阻抗估計值計算，并利用改進自適應蝙蝠算法提高尋優(yōu)性能，從而進一步提高了系統側諧波阻抗估計精度；另外，方法4 在估計該基準測試系統PCC 處的11次和13次系統側諧波阻抗值時，具有比其他3 種方法更高的估計精度。綜上所述，該算例分析結果進一步驗證了本文所提方法的有效性和適用性。

表2 基準測試系統PCC處系統側諧波阻抗估計結果Table 2 Estimation results of system-side harmonic impedance at PCC of benchmark test system

3.4 實例分析

本節(jié)采用現場實測數據進行分析計算以驗證本文所提方法的有效性。數據源自給某工業(yè)電弧爐供電的35 kV 母線（即PCC），采樣頻率為12 800 Hz?；讷@得的實測錄波數據，每秒采用快速傅里葉分解計算得到各次諧波數據。附錄F 圖F1 展現了其11 次諧波電壓以及電流的幅值變化趨勢，共采樣3 000個數據點。

分別采用4 種方法對PCC 對應的系統側諧波阻抗值進行滑窗迭代計算，滑動窗口大小為300 個數據點，計算結果如附錄F 圖F2 所示。由圖可見，4 種方法計算得到的系統側諧波阻抗估計值較為接近，具有較高的一致性?？紤]到實際電網中的系統側諧波阻抗在短時間內波動不大，可通過系統側諧波阻抗估計結果的穩(wěn)定性評價各方法的性能［16］。從圖F2 可以看出，方法4 得到的系統側諧波阻抗估計值曲線更為平穩(wěn)。4 種方法的系統側諧波阻抗估計值的方差如表3所示。由表可見，方法4的系統側諧波阻抗估計結果具有最小的方差，由此可知，相比于其他3 種方法，本文所提方法的估計結果更為平穩(wěn)。綜上所述，實例分析結果證明了本文所提方法在實際工程應用中的適用性和有效性。

表3 4種方法的系統側諧波阻抗估計值方差對比Table 3 Comparison of variance of system-side harmonic estimation value among four methods

4 結論

針對現有系統側諧波阻抗估計方法對背景諧波波動敏感的問題，提出一種系統側諧波阻抗估計新方法。該方法基于阻抗偏差最小判據，采用改進自適應蝙蝠算法迭代尋優(yōu)得到最優(yōu)阻抗初值，從而得到接近真實值的背景諧波電壓值。通過對求得的背景諧波電壓值進行聚類分析，將樣本數據按照聚類結果分為多簇，從而減少每一簇數據的背景諧波波動水平。在此基礎上，利用復最小二乘法求得更精確的系統側諧波阻抗估值。算例分析結果表明，本文所提方法對背景諧波波動和兩側諧波阻抗比的變化具有更高的魯棒性，所得系統側諧波阻抗估計值與理論值更接近。

本文所提方法能有效估計系統諧波阻抗值的前提是系統諧波阻抗在分析時段內基本不變。當系統諧波阻抗值時變或發(fā)生大幅度突變場景下，如何進行準確的估計系統諧波阻抗，尚需進一步研究。

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