朱冬梅，劉偉，劉海平，魯光陽

（北京科技大學 機械工程學院，北京 100083）

在振動工程領域，傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器不僅可以有效抑制諧振峰值，并且在高頻范圍的衰減率可達-40 dB/dec，因此，得到廣泛應用[1].

為了改善三參數(shù)隔振器的減隔振性能，研究人員開展了大量研究. 劉海平等[2]建立了雙層高阻尼隔振器，可實現(xiàn)無諧振峰值的振動控制效果；SILVA[3]和WANG[4]分別嘗試采用立方剛度替換主彈簧剛度Ka和輔助彈簧剛度Kb，計算結(jié)果表明，諧振頻率及高頻范圍的傳遞特性得到改善. 但是，立方剛度在實際中很難實現(xiàn). 近年，基于仿生原理，X 形結(jié)構(gòu)被引入減隔振領域并提出多種新穎的理論模型,如針對含X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)開展研究并發(fā)現(xiàn)其優(yōu)良的減隔振性能[5-10]. 在此基礎上，LIU 等[11]嘗試將傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器和X 形結(jié)構(gòu)相結(jié)合提出改進三參數(shù)隔振器，指出新型隔振器不僅可以有效抑制諧振峰值且對高頻傳遞特性沒有影響. 劉國勇等[12]提出了一種4 桿鉸接的放大機構(gòu)，其隔振系統(tǒng)的絕對位移傳遞率得到明顯衰減. 上述模型針對X 形結(jié)構(gòu)的討論較少，尤其，當剛性連接桿桿長變化時產(chǎn)生的影響尚未研究.顯然，變桿長X 形結(jié)構(gòu)模型更具普適性.

綜上，文中提出含變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)模型. 研究表明，含變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)不僅可以顯著降低諧振頻率的峰值，而且在高頻范圍的傳遞特性不受影響. 相關的研究成果可為新型隔振器的設計提供理論參考.

1 變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)建模

含變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)模型如圖1 所示. 其中，Ka為主彈簧，水平輔助彈簧Kc和阻尼元件Ca并聯(lián)安裝在X 形結(jié)構(gòu)中，該X 形結(jié)構(gòu)上端連接豎直輔助彈簧Kb、下端連接基礎. 未受載荷時，隔振系統(tǒng)的初始狀態(tài)用虛線部分表示；實線部分則為隔振系統(tǒng)在受到載荷時的靜平衡狀態(tài)；X 形結(jié)構(gòu)是由長度為L1、L2、2L1、2L2的剛性桿鉸接而成；n為X 形結(jié)構(gòu)的層數(shù)；在外部載荷Fe的作用下，θ1、θ2分別為剛性桿L1、L2對應于水平軸y的初始夾角，φ1、φ2則分別為剛性桿L1、L2對應于水平軸y的變化量；定義慣性質(zhì)量安裝面的中點位置為坐標原點，x、y軸正方向分別為垂直向上和水平向右. 由于文中的重點為運動機理研究，即考慮X形結(jié)構(gòu)、層數(shù)變化對隔振器動態(tài)特性的影響，故暫未考慮桿的質(zhì)量、慣性和鉸接處的摩擦作用.

圖1 含n 層變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)模型Fig. 1 Vibration isolation system model of X-shaped structure with n-layer variable rod length

由圖1 所示的力學模型，假設慣性質(zhì)量所受的力激勵為Fe=F0cosωt，可得隔振系統(tǒng)沿x軸方向的運動方程：

為了便于計算，通過定義函數(shù)f1（x）、f2（x）、f3（x）和f4（x）來進行化簡.

考慮函數(shù)f1（x）、f2（x）、f3（x）和f4（x）在x2=0 處連續(xù)并進行二階泰勒級數(shù)展開，可得：

式中，泰勒展開式系數(shù)為

為了便于計算，在式（6）中引入量綱一的參數(shù)，且定義為

式中：ωn為隔振系統(tǒng)固有頻率；τ為量綱一的時間；γ1為隔振系統(tǒng)的水平剛度比；γ2為隔振系統(tǒng)的豎直剛度比；ξ為阻尼比；f0為量綱一的激勵力幅值；λ為桿長比.

利用諧波平衡法可求解系統(tǒng)的位移幅頻響應和相頻響應.

假設x1、x2的穩(wěn)態(tài)解為

采用諧波平衡法計算得到位移幅頻響應為

2 驗證與對比分析

2.1 數(shù)值驗證和Adams 仿真驗證

利用四階龍格庫塔法求出該模型的數(shù)值解與含變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)模型解析解進行對比，驗證其正確性.

暫定隔振系統(tǒng)的初始設計參數(shù)為Ca=5 Ns/m，L2=0.1 m，λ=0.5，θ1=60°，m=1 kg，F(xiàn)e=1 N，Ka=2 000 N/m，γ1=0.05，γ2=3，n=1.文中選取30 s 計算時間，利用四階龍格庫塔法在定頻激勵下得到隔振系統(tǒng)x10、x20的數(shù)值解；然后，選取穩(wěn)態(tài)解最大值作為響應幅值并通過歸一化處理得到如圖2 所示的數(shù)值解曲線. 圖中，數(shù)值解用“NS”來表示，解析解用“AS”來表示. 對比可見，數(shù)值解與解析解曲線保持一致，表明文中給出的解析解正確有效.

為了進一步驗證所建模型及解析解的正確性，在多體動力學軟件Adams 中建立含變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)模型. 由如圖3 可知，兩種方法所得計算結(jié)果曲線吻合良好.

圖3 Adams 仿真解與解析解對比Fig. 3 Comparison between simulation solution and ADAMS simulation solution

3 等效剛度系數(shù)和等效阻尼系數(shù)

3.1 等效剛度系數(shù)分析

常規(guī)剛度系數(shù)為系統(tǒng)主剛度系數(shù)Ka. 定義剛度比為含變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)等效剛度系數(shù)與常規(guī)剛度系數(shù)的比值：

如圖4 所示，實線為含X 形結(jié)構(gòu)隔振器的等效剛度系數(shù)與常規(guī)剛度系數(shù)的比值，即剛度比. 隨著位移x2由0 增大到2×10-3m 的過程中，其剛度比逐漸增大，表明在分析位移范圍內(nèi)，含X 形結(jié)構(gòu)隔振器的等效剛度系數(shù)要大于常規(guī)剛度系數(shù).

圖4 剛度比-位移曲線Fig. 4 Comparison of stiffness ratio and displacement curve

3.2 等效阻尼系數(shù)分析

如圖5 所示，實線為的含X 形結(jié)構(gòu)隔振器的等效阻尼系數(shù)隨著位移x2由0 增大到2×10-3m 的過程中呈現(xiàn)不斷增大的規(guī)律. 虛線為線性隔振器的常規(guī)阻尼系數(shù)在隨著位移x2由0 增大到2×10-3m 的過程中始終為一定值. 在分析位移x2范圍內(nèi)，含X 形結(jié)構(gòu)隔振器的等效阻尼系數(shù)要大于常規(guī)阻尼系數(shù).

圖5 等效阻尼系數(shù)-位移曲線Fig. 5 Comparison of equivalent damping coefficients and displacement curve

4 隔振性能評估

4.1 力傳遞率

文中采用力傳遞率作為評價指標來驗證含變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)的隔振性能. 定義傳遞到基礎的力幅值與外部力激勵幅值比為力傳遞率：

式中:ftr為通過含變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)傳遞到基礎的力;f0為外部激勵力;T為力傳遞率.

傳遞到基礎的力ftr可表示為由圖6 可知，與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器、傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器對比，含變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振器的諧振峰值會從9.0 減小為6.2，而且，其諧振頻率比會從1 增加到1.03.這表明，含X 形結(jié)構(gòu)隔振器能夠在保持系統(tǒng)剛度不減小的情況下顯著增大系統(tǒng)的阻尼，實現(xiàn)理想阻尼特征，即：諧振頻率阻尼增大，其他頻率范圍阻尼不變化.

圖6 與其他隔振器模型對比Fig. 6 Comparison with other isolator models

4.2 時域響應

為了進一步驗證含變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)的隔振效果，并與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器和傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器模型進行比較，在時域展開討論.

在實際工作環(huán)境中，動態(tài)系統(tǒng)往往受到多頻寬帶激勵，為了近似模擬實際工作環(huán)境，在低頻、中頻和高頻段分別取點，在這里假設隔振系統(tǒng)受到的力激勵為

由圖7 可知，在多頻寬帶激勵下，含變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)的振動控制效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器和傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器.

圖7 時域多頻激勵傳遞到基礎的力Fig. 7 force transferred to the base under multi-frequency excitations in time domain

5 設計參數(shù)

根據(jù)前面的公式可知，含變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振器的主要設計參數(shù)為λ、θ1、Ca、n、γ1和γ2，以下重點針對這些參數(shù)進行分析. 為了便于討論，第二節(jié)中設置的初始設計參數(shù)為初始參數(shù).

5.1 桿長比λ

因為當L1≥L2時的幾何關系對模型的影響與L1≤L2時一樣. 因此，假設桿長L1≤L2，保持其它參數(shù)不變，將桿長比λ分別取0.2、0.5、0.8、1，得到力傳遞率曲線，如圖8 所示.

圖8 不同桿長比λ 對應的力傳遞率Fig. 8 Force transmissibility with different rod length ratio λ

由圖8 可知，當λ=0.2 時，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.03 和6.56；當桿長比λ增大到1 時，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.06 和3.78，這表明桿長比增大會逐漸降低諧振峰值且諧振頻率比幾乎不變. 當λ=1 時，即L1=L2時，系統(tǒng)諧振處的峰值最小，即隔振效果最好. 其中，變桿長X 形結(jié)構(gòu)更加完善了X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)的分析.

5.2 初始傾角θ1

將其他設計參數(shù)固定，選擇初始傾角θ1分別為30°、45°、60°、70°，分析初始傾角變化對隔振性能的影響. 由圖9 可知，當初始傾角θ1=30°時，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.01 和45.3，隨著初始傾角θ1逐漸增大到70°時，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.08 和3.16.這表明隨著初始傾角θ1增大，諧振頻率的峰值得到明顯抑制.

圖9 不同初始夾角θ1 對應力傳遞率Fig. 9 Force transmissibility with different initial angle θ1

5.3 水平剛度比γ1

將其他設計參數(shù)固定，選擇水平剛度比γ1分別為-0.05、0、0.05、1 對應力傳遞率曲線，如圖10 所示. 由圖可知，當水平剛度比為-0.05 時，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.44 和18.78，當水平剛度比逐漸增大到1 時，其諧振頻率比和諧振峰值分別為0.99 和5.4.這表明隨著水平剛度比γ1減小，其諧振頻率顯著減小且對應諧振峰值被有效抑制. 因此，可以選擇合適的水平剛度比γ1來實現(xiàn)“低剛度、高阻尼”的隔振效果.

圖10 不同剛度比γ1 對應力傳遞率Fig. 10 Force transmissibility with different stiffness ratio γ1

5.4 豎直剛度比γ2

將其他設計參數(shù)固定，選擇豎直剛度比γ2分別為-0.05、1、3 的力傳遞率曲線如圖11 所示. 由圖可知，當豎直剛度比為-0.05 時，其諧振頻率比和諧振峰值分別為0.97 和58.93，當豎直剛度比逐漸增大到3 時，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.04 和6.22.這表明隨著豎直剛度比γ2逐漸增大，其諧振峰值會顯著降低. 這表明，通過選擇合適的豎直剛度比γ2，可以實現(xiàn)良好的減隔振效果.

圖11 不同剛度比γ2 對應力傳遞率Fig. 11 Force transmissibility with different stiffness ratio γ2

5.5 阻尼系數(shù)Ca

將其他設計參數(shù)固定，選擇阻尼系數(shù)Ca分別為1、3 和5 的力傳遞率曲線，如圖12 所示. 由圖可知，當阻尼系數(shù)為1 時，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.04 和30.34，當阻尼系數(shù)逐漸增大到5 時，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.03 和6.21. 這表明隨著阻尼系數(shù)Ca的增大，其諧振峰值會顯著降低. 這表明，通過選擇合適的阻尼系數(shù)，可以實現(xiàn)良好的隔振效果.

圖12 不同阻尼系數(shù)Ca 對應力傳遞率Fig. 12 Force transmissibility with different damping coefficient Ca

5.6 n 層X 形結(jié)構(gòu)

將其他設計參數(shù)固定，選擇X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)n分別為1、3 和5 的力傳遞率曲線，如圖13 所示. 由圖可知，當X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)為1 時，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.04 和6.22；當X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)逐漸增大到5 時，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.06 和5.8.這表明隨著X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)的增大，其諧振峰值會顯著降低. 這表明，通過選擇合適的X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)，可以實現(xiàn)良好的隔振效果.

圖13 不同X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)n 對應力傳遞率Fig. 13 Force transmissibility with different n-layered X-shaped structure

6 試驗驗證

為了驗證模型解析解的正確性，加工了如圖14所示等效于解析模型的試驗件. 其中，慣性質(zhì)量m=0.65 kg；初始傾角θi=55°；桿長L1= 0.05 m；桿長比λ=0.5；Ka=5 000 N；Kb=8 000 N；Kc=1600N；X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)n=1.在這里需要說明的一點是隔振系統(tǒng)中的阻尼部分包括空氣阻尼，結(jié)構(gòu)材料阻尼以及各部件相對運動產(chǎn)生的摩擦阻尼.

圖14 變桿長X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)Fig. 14 Vibration isolation system of X-shaped structure with n-layer variable rod length

測試系統(tǒng)主要包括：信號發(fā)生器、功率放大器、激振器、加速度傳感器、信號采集儀和計算機.

試驗狀態(tài)圖如圖15 所示，在試驗件下端施加激勵，表征理論模型中的加速度激勵，在上下板分別連接一個加速度傳感器，用于測量輸入以及輸出的加速度. 設置采樣頻率256 Hz，信號發(fā)生器的掃頻頻率為1 Hz 至100 Hz，采用線性掃頻以及掃頻時間為100 s.

圖15 試驗測試狀態(tài)Fig. 15 Test status

如圖16 所示，試驗所得的結(jié)果與解析結(jié)果總體上趨于一致，但在共振區(qū)域附近以及高頻段，曲線的擬合有誤差. 可能產(chǎn)生誤差的原因是為了讓試驗件模型中的上下板能夠保證沿垂向運動，在上板安裝了四個直線軸承，但由于上下兩個板存在加工誤差以及軸承的安裝誤差較大，不能嚴格按照垂向的直線運動，所以導致摩擦力較大. 這種情況導致實測出來隔振器的位移不穩(wěn)定，導致了試驗曲線與解析曲線存在誤差. 由于試驗所得的結(jié)果曲線與解析結(jié)果曲線總體上趨于一致，表明所建模型的正確性. 在高頻段，高頻局部模態(tài)導致了試驗傳遞率曲線出現(xiàn)波動，由于隔振系統(tǒng)主要是用于中低頻段的減隔振效果，不包含高頻段的模態(tài)影響，所以對高頻段不作分析. 綜上所得，解析結(jié)果是正確的.

圖16 試驗與解析傳遞率曲線對比Fig. 16 Comparison of test and analytical transfer rate curves

7 結(jié) 論

文中重點考慮X 形結(jié)構(gòu)變桿長特征對隔振系統(tǒng)動態(tài)特性的影響. 首先，根據(jù)所建模型利用諧波平衡法得出解析解，并將其與四階龍格庫塔法給出的數(shù)值解和多流體動力學Adams 仿真得到的數(shù)據(jù)進行對比. 其次，分別求出系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)和等效阻尼系數(shù)；并采用力傳遞率作為評價指標對隔振系統(tǒng)的隔振效果進行分析. 最后，對系統(tǒng)中的一些重要設計參數(shù)帶來的影響進行研究. 根據(jù)計算結(jié)果可知：

通過選取合適的設計參數(shù)桿長比λ、初始傾角θ1、水平剛度比γ1、豎直剛度比γ2、阻尼Ca和X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)n，可以改善諧振頻率以及減隔振性能. 與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器和傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器相比，在保證隔振系統(tǒng)等效剛度的前提下，可顯著提高其等效阻尼；在時域多頻寬頻力激勵下，相比于傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器和傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器，含X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)從慣性質(zhì)量傳遞到基礎的力得到大幅衰減；通過試驗驗證，表明求解理論模型的正確性.