266700 山東省平度市第九中學(xué) 張 杰 姜尚鵬

276000 臨沂大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 薛 兵

2020年山東省實(shí)行了新高考，試卷中的導(dǎo)數(shù)題作為倒數(shù)第二道大題難住了不少學(xué)生，究其原因在于面對(duì)這種求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，一旦不能分離參數(shù)，或直接求導(dǎo)時(shí)找不到分類標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生就無(wú)從下手.筆者對(duì)這道題進(jìn)行深入研究，發(fā)現(xiàn)入手方法多樣.

1 試題分析

(2020全國(guó)新高考Ⅰ卷-21) 已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

命題立意分析：本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，考查綜合分析求解能力、分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，所占分值為12分.

審題及解題分析：(1)先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，求出與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得出結(jié)果.(2)條件給出f(x)≥1，即研究f(x)的最值問(wèn)題.先討論特殊情況即當(dāng)01時(shí)的取值范圍.

(2)①當(dāng)0

③當(dāng)a>1時(shí)，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.

綜上所述，a的取值范圍為a≥1.

2 其他解法

因?yàn)樾?wèn)(1)比較簡(jiǎn)單，所以只對(duì)小問(wèn)(2)的解法進(jìn)行探討.

2.1 隱零點(diǎn)法

解法1:①當(dāng)0

綜上所述，a的取值范圍為a≥1.

評(píng)注：官方正解中通過(guò)對(duì)a的取值范圍進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化成上文討論的情況，這樣的解決方法是較難想到的，借助隱零點(diǎn)的方法解題是大部分普通層次的學(xué)生較易想到的方法，這種思路入手容易，通過(guò)隱零點(diǎn)滿足的等式代換解決問(wèn)題即可.

2.2 放縮法

解法2(利用切線放縮法，先不確定a的范圍)：由f(x)≥1得aex-1-lnx+lna≥1.由ex≥x+1,lnx≤x-1，得ex-1≥x,-lnx≥1-x，又a>0，可得aex-1-lnx+lna≥ax+1-x+lna≥1，即(a-1)x+lna≥0恒成立.

①當(dāng)a=1時(shí)，滿足0≥0，所以a=1符合題意.

綜上所述，a的取值范圍為a≥1.

所以a的取值范圍為a≥1.

所以a的取值范圍為a≥1.

評(píng)注：放縮法適合水平高一些的學(xué)生使用，畢竟放縮到什么程度是放縮法的難點(diǎn).建議優(yōu)先考慮最簡(jiǎn)單的利用切線放縮，如ex≥x+1,lnx≤x-1，這也是放縮最常用的兩個(gè)不等式，本題就可以采用切線放縮.利用a的取值范圍放縮也不容易想到，建議采用更換主元的思想，將其看成關(guān)于a的函數(shù)進(jìn)而放縮.

2.3 構(gòu)造同構(gòu)式法

所以a的取值范圍為a≥1.

所以a的取值范圍為a≥1.

評(píng)注：構(gòu)造同構(gòu)式法是少部分高水平學(xué)生才能掌握的方法，此方法的難點(diǎn)在于變形構(gòu)造出結(jié)構(gòu)相同的函數(shù)模型，建議學(xué)生熟練掌握指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及基本的函數(shù)模型，如ex與x進(jìn)行四則運(yùn)算以及l(fā)nx與x進(jìn)行四則運(yùn)算得到的函數(shù)模型.

3 題目溯源

實(shí)際上,2018年全國(guó)高考Ⅰ卷(文科)第21題就是與上述試題類似的題目.2018年高考題為已知參數(shù)的取值范圍，要求證明不等式，題目如下.

(2018全國(guó)高考Ⅰ卷文科-21) 已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn).求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷第21題的小問(wèn)(2)，實(shí)際上是2018年全國(guó)高考Ⅰ卷(文科)第21題小問(wèn)(2)的逆向問(wèn)題.如果教師在講授時(shí)有意識(shí)地對(duì)2018年試題進(jìn)行改編，就可以變成2020年的試題.下面展示2018年試題的改編題.

(2018全國(guó)高考Ⅰ卷文科-21改編) 已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn).求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)≥0，求a的取值范圍.

改編后的2018年試題與2020年試題，兩者給出的函數(shù)驚人地相似.所以教師在講解高考題時(shí)，應(yīng)研究得再深入一些，說(shuō)不定下一道高考題就出自教師之手.同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，改編后的2018年試題也有三個(gè)角度的方法可供三種不同水平的學(xué)生選擇，所以2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷第21題是不可多得的好題，對(duì)教師平時(shí)的課堂教學(xué)具有良好的價(jià)值引領(lǐng)作用.因此，教師在高三復(fù)習(xí)時(shí)不能就題論題，而要將這道題蘊(yùn)含的思想方法講透，讓不同水平的學(xué)生都能有所收獲.如果教師一節(jié)課只講這一道題的話，建議講解時(shí)做如下改編.

(2020全國(guó)新高考Ⅰ卷-21改編) 已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.

(2)證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)≥1.

(3)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

這樣改編后，這道題對(duì)兩道高考題蘊(yùn)含的思想方法都進(jìn)行了考查，同時(shí)也通過(guò)小問(wèn)(2)為初次接觸該題目的學(xué)生搭建了臺(tái)階，以便學(xué)生解決小問(wèn)(3).思維層層遞進(jìn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)螺旋上升，試題的育人功能得到提升.課后鞏固時(shí)可以采用以下題目，此時(shí)不再需要搭建過(guò)渡的臺(tái)階，讓學(xué)生課后的學(xué)習(xí)不再是簡(jiǎn)單的模仿，而是提升一個(gè)層級(jí)，將學(xué)生的學(xué)習(xí)從課堂延伸到課后，以落實(shí)學(xué)生課堂的聽(tīng)課效果.

鞏固練習(xí)已知函數(shù)f(x)=aexlnx(其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)=x2+xlna，a>0.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)，若h(x)>0對(duì)任意的x∈(0,1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.