200433 復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué) 肖恩利

在利用滬教版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》(新教材)實(shí)施教學(xué)的過程中，圍繞單元教學(xué)設(shè)計(jì)，特別是在新知構(gòu)建的過程中，怎樣開展學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)？筆者以籌備復(fù)旦附中張建國老師的展示課“事件的關(guān)系和運(yùn)算”為契機(jī)，在概率單元的教材內(nèi)容、教學(xué)方法和活動(dòng)設(shè)計(jì)等方面進(jìn)行深入學(xué)習(xí)和探討，形成以下思考.

一、始于困惑和問題

困惑1新教材在講授概率之前并沒有給出計(jì)數(shù)的內(nèi)容，這與之前的處理方式有較大區(qū)別，怎樣理解這種變化？教師怎樣教？學(xué)生怎樣學(xué)？

困惑2新教材中，“古典概率模型” “古典概率” “經(jīng)典概率”和“幾何概率”等名詞交替出現(xiàn).怎樣理解“古典概率模型”在本單元中的作用？

困惑3新教材用兩節(jié)的篇幅介紹了“等可能性”，并且在第98頁提到“在古典概率模型中，隨著觀察角度的不同，并非所有的樣本空間都是等可能的……雖然取什么樣本空間不影響所考察的隨機(jī)事件的概率，但只有選取等可能的樣本，才能使得事件的概率如定義所示，等于事件元素個(gè)數(shù)與樣本空間元素個(gè)數(shù)之比，進(jìn)而使有關(guān)計(jì)算變得簡單”，那么，“等可能性”的意義是什么？

困惑4怎樣理解教材第103頁提到的“概率最本質(zhì)的性質(zhì)就是可加性”？

困惑5從知識(shí)體系來看，必修一教材以函數(shù)為中心，必修二以幾何與代數(shù)為中心，那么必修三的中心是什么？

問題1從正整數(shù)集中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是1的“概率”是多少？

李繼根教授所著《概率與統(tǒng)計(jì)》一書中提到了問題2的三種解法.

圖1

圖2

圖3

二、教師的“研學(xué)”

為解決這些困惑和問題，筆者查閱了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)解讀》，這些文件解決了“教什么”的問題，但是具體的“怎么教”“為什么這么教”等問題則需要通過教師的實(shí)踐才能解決.經(jīng)過認(rèn)真學(xué)習(xí)編寫者的培訓(xùn)內(nèi)容，仔細(xì)研讀新教材和一些概率論教材，困惑2的答案浮出水面.新教材中的概率內(nèi)容是建立在集合論基礎(chǔ)上的公理化體系，即概率是事件域上的廣義函數(shù)，但囿于高中數(shù)學(xué)中“函數(shù)”的定義，教材沒有以明確的公理形式呈現(xiàn)概率定義，而是借助古典概率中的古典概率模型，形成了概率的四條性質(zhì)(如圖4所示).因此，“古典概率模型”在本教材中起到了“拐杖”的作用，教與學(xué)都要借助于這個(gè)“拐杖”逐步展開.

圖4

因此，困惑1和困惑5也迎刃而解.

對(duì)困惑1的認(rèn)識(shí)：傳統(tǒng)的計(jì)數(shù)內(nèi)容(乘法原理、加法原理、排列組合等)中有較多難點(diǎn)，如果仍然以這部分內(nèi)容作為教授概率的開端，會(huì)沖淡新教材中“公理化”的主題，不利于幫助學(xué)生體會(huì)公理化思想的價(jià)值和意義.因此，教師要在充分理解概率公理化結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過對(duì)學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)的“經(jīng)典概率”進(jìn)行深度挖掘，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到集合在描述隨機(jī)事件、刻畫隨機(jī)事件的概率中的功能，認(rèn)識(shí)對(duì)“經(jīng)典概率”進(jìn)行數(shù)學(xué)化和科學(xué)化的必要性，了解公理化的意義(如圖5所示).這就是張建國老師在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)的出發(fā)點(diǎn).相應(yīng)地，教師可以設(shè)計(jì)豐富多彩的學(xué)習(xí)活動(dòng)，既可以圍繞“經(jīng)典概率”中的著名問題展開討論，如教材中提到的“賭徒分獎(jiǎng)金問題”等，也可以圍繞概率的發(fā)展史進(jìn)行學(xué)習(xí).張建國老師的教學(xué)設(shè)計(jì)中充分加入了這方面的思考，設(shè)計(jì)了課后學(xué)習(xí)活動(dòng)內(nèi)容，要求學(xué)生查閱概率的定義發(fā)展過程中與公理化形成有關(guān)的資料，從中體驗(yàn)和感悟公理化體系的思想.

圖5

對(duì)困惑5的認(rèn)識(shí)：課標(biāo)中，除了選修課程專設(shè)的“邏輯推理初步”中有明確的“公理化思想”內(nèi)容之外，僅在“學(xué)業(yè)質(zhì)量水平劃分”和“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分”中提及了“公理化思想”.反觀中學(xué)數(shù)學(xué)中，體現(xiàn)“公理化思想”的內(nèi)容包括整數(shù)、集合、平面幾何與立體幾何、概率，與它們相對(duì)應(yīng)的公理體系分別是皮亞諾算術(shù)公理體系、策梅洛—弗蘭克爾集合論公理體系、歐幾里得幾何公理體系(以及希爾伯特幾何公理體系)、柯爾莫哥洛夫概率論公理體系(如圖6所示).這也為認(rèn)識(shí)和理解新教材必修三的教學(xué)內(nèi)容提供了一個(gè)角度.當(dāng)然，限于中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)范疇，除了平面幾何與立體幾何因其直觀性可以給出明確的、經(jīng)過適當(dāng)改造的公理內(nèi)容之外，其他三方面的內(nèi)容并不適合直接將公理內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生，例如概率的公理化結(jié)構(gòu)必須借助古典概率模型滲透到學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)中.

圖6

從以上分析中可以看到，新教材的概率單元對(duì)教師的知識(shí)結(jié)構(gòu)、教學(xué)方法甚至教育理念都提出了比較高的要求.從知識(shí)結(jié)構(gòu)來看，教師不僅要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，也要對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及的數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)文化有充分了解，這樣在設(shè)計(jì)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)過程中，才能做到“心中有數(shù)，脈絡(luò)清晰”.從教學(xué)方法看，教師要對(duì)學(xué)生的認(rèn)知能力、認(rèn)知習(xí)慣有細(xì)致的把握，對(duì)單元內(nèi)容進(jìn)行充分、深度學(xué)習(xí)，從單元整體、知識(shí)整體進(jìn)行完善的教學(xué)設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生思考，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)意識(shí).從教育理念看，教師也應(yīng)處于不斷的學(xué)習(xí)中，把自身對(duì)數(shù)學(xué)的“學(xué)習(xí)活動(dòng)”轉(zhuǎn)化為學(xué)生的“學(xué)習(xí)活動(dòng)”.

三、對(duì)教材和公理化的再認(rèn)識(shí)

從新教材的概率內(nèi)容看，新教材實(shí)際上給出了三種形式的概率定義，即拉普拉斯的古典定義、米澤斯(基于大數(shù)定律)的統(tǒng)計(jì)定義和柯爾莫哥洛夫的公理化定義.其中古典定義的核心是“等可能性”，“等可能性”源于人們對(duì)未知領(lǐng)域的合理假設(shè)，教材以“為什么硬幣的兩面出現(xiàn)是等可能的”為例闡述了這種思想的來源.歷史上，拉普拉斯在《概率的分析理論》中，將“平等”這個(gè)理念數(shù)學(xué)化為“等可能性”，他指出“當(dāng)沒有什么使我們相信一個(gè)事件比其他任何事件更應(yīng)該發(fā)生時(shí)，這些事件對(duì)我們來說就是等可能的”.而公理化定義的核心是“可加性”，也就是說公理化定義不再拘泥于學(xué)生熟悉的“等可能性”，正如教材所說，“作為度量某事件發(fā)生可能性大小的量，概率最本質(zhì)的性質(zhì)就是可加性，它在計(jì)算概率時(shí)非常重要”.在古典概率模型中，“可加性”的實(shí)質(zhì)是“有限可加性”，而對(duì)于含有無窮多個(gè)基本事件的概率模型(如幾何概率)，“可加性”的實(shí)質(zhì)是“可列可加性”.

從以上的認(rèn)識(shí)來看問題1和問題2，就會(huì)得到一些有趣的現(xiàn)象.

問題2提到的貝特朗悖論更讓人疑惑，根據(jù)似乎是顯然的“等可能性”，竟然可以得到同一個(gè)問題的多個(gè)不同的答案，關(guān)鍵是這些答案似乎都是正確的.產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因又是什么呢？

實(shí)際上，上述兩個(gè)問題中，看似反常的現(xiàn)象產(chǎn)生的原因就在于對(duì) “隨機(jī)”“等可能”等術(shù)語的使用，即僅僅依靠直覺，沒有明確地指出是在哪個(gè)樣本空間上的“隨機(jī)”，也沒有驗(yàn)證“等可能性”是否符合概率論的公理化體系.作為一門成熟的數(shù)學(xué)學(xué)科，概率論不能夠僅僅依靠直覺，更需要一種簡明的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)使得一些現(xiàn)實(shí)的與概率有關(guān)的現(xiàn)象能夠被推導(dǎo)和證明，因此概率公理化體系的建立是一個(gè)數(shù)學(xué)史上里程碑式的進(jìn)步.

在最開始進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，復(fù)旦附中數(shù)學(xué)備課組內(nèi)有教師認(rèn)為從教材內(nèi)容來看，“事件的關(guān)系和運(yùn)算”一節(jié)的內(nèi)容似乎有些單薄，可以考慮將這一節(jié)與下一節(jié)“可加性”合并為一節(jié)課.在備課組充分討論的基礎(chǔ)上，這一方案被否定了，原因在于這兩節(jié)課的主題是完全不同的.“事件的關(guān)系和運(yùn)算”的主題是利用集合語言描述隨機(jī)事件，通過古典概率模型體會(huì)這種描述方式的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性；而“可加性”的主題是凸顯概率的度量特征，通過古典概率模型研究概率的運(yùn)算性質(zhì).如果把“可加性”比喻為要到達(dá)的“目的地”的話，“事件的關(guān)系和運(yùn)算”就是通往這個(gè)“目的地”的必經(jīng)“橋梁”.到達(dá)“目的地”意味著公理化定義的完全形成；而“橋梁”的意義在于它可以到達(dá)多個(gè)“目的地”.張建國老師在他的教學(xué)設(shè)計(jì)中設(shè)置了一項(xiàng)課后的學(xué)習(xí)活動(dòng)，要求學(xué)生通過查找資料，研究是否可以通過事件的運(yùn)算來理解集合的其他運(yùn)算，也正是基于這樣的考慮.

四、思考與總結(jié)

在“關(guān)注單元學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)，注重基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累”教研活動(dòng)的準(zhǔn)備過程中，筆者形成以下認(rèn)識(shí).

第一，完備的單元教學(xué)設(shè)計(jì)需要教師深入學(xué)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)、深度閱讀教材，基于學(xué)生實(shí)際情況，以學(xué)生的終身發(fā)展為目標(biāo).

第二，有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)源于教師對(duì)課標(biāo)、教材和數(shù)學(xué)知識(shí)的深入思考.

第三，扎實(shí)的知識(shí)構(gòu)建活動(dòng)基于完備且有針對(duì)性的單元教學(xué)設(shè)計(jì)和豐富有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì).