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        2021年福建中考數(shù)學(xué)壓軸題的解法探究

        2022-11-17 07:24:47束浩東
        數(shù)理天地(初中版) 2022年21期

        束浩東

        【摘要】2021年福建省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷的壓軸題綜合考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)以及三角形的面積等知識(shí),尤其是最后一問(wèn),蘊(yùn)含豐富的高中數(shù)學(xué)思想,對(duì)思維能力以及運(yùn)算能力要求較高,針對(duì)該問(wèn)的求解在這里和大家共同作一番探討.

        【關(guān)鍵詞】中考數(shù)學(xué);壓軸題;二次函數(shù);勾股定理

        原題再現(xiàn)

        已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

        (1)若拋物線過(guò)點(diǎn)P(0,1),求a+b的最小值;

        (2)已知點(diǎn)P1(-2,1),P2(2,-1),P3(2,1)中恰好有兩點(diǎn)在拋物線上.

        ①求拋物線的解析式;

        ②設(shè)直線l:y=kx+1與拋物線交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)A在直線y=-1上,且∠MAN=90°,過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和l于點(diǎn)B,C.

        求證:△MAB與△MBC的面積相等.

        分析第一題根據(jù)題干拋物線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn),需要我們發(fā)掘出隱藏條件判別式為0,利用Δ=b2-4ac=0,即b2=4ac;又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,1),所以c=1;從而b2=4a,a=b24,即

        a+b=b24+b=14(b+2)2-1.

        因此當(dāng)b=-2時(shí),a+b的最小值為-1.

        第二題第一小問(wèn)需要我們從二次函數(shù)圖象與性質(zhì)等知識(shí)出發(fā),準(zhǔn)確理解圖象上點(diǎn)的特征,最終明確“拋物線上的點(diǎn)只能位于x軸的同側(cè)”.

        由于拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),因此拋物線上的點(diǎn)全部位于x軸的同一側(cè),所以只能是P1(-2,1),P3(2,1)兩點(diǎn)在拋物線的圖象上,代入關(guān)系式可以求得y=14x2.

        前兩問(wèn)不作過(guò)多探討,這里我們主要研究最后一問(wèn).

        該問(wèn)的常規(guī)思路是把M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái),利用已知條件作相應(yīng)轉(zhuǎn)化來(lái)求解點(diǎn)A的橫坐標(biāo).根據(jù)題設(shè)條件我們可以作出相應(yīng)的圖象,如圖1所示.

        圖1

        不妨設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m,則有A(m,-1),B(m,14m2),C(m,km+1).我們的目標(biāo)是證明S△MAB=S△MBC,由圖1我們可以直觀看出△MAB與△MBC的底邊AB,BC位于同一條直線上,因此兩三角形底邊上的高相等,所以我們只需證明底邊AB=BC即可.又因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以它們的橫坐標(biāo)相等,因而線段AB的長(zhǎng)度等于B,A兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差,即AB=14m2-(-1)=14m2+1;同理BC=km+1-14m2.要證明線段AB,BC相等,很顯然我們需要在k(可以視為已知量)和未知量m之間尋找聯(lián)系.

        根據(jù)上述分析,我們的求解目標(biāo)進(jìn)一步明確,接下來(lái)需要解決的就是通過(guò)一系列運(yùn)算將引入的未知量m用k來(lái)表示.

        解由題意可設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

        則y1=kx1+1,y2=kx2+1,

        聯(lián)立方程組y=kx+1,y=14x2,得

        14x2-kx-1=0,(*)

        因?yàn)辄c(diǎn)M,N是直線l:y=kx+1與拋物線y=14x2的交點(diǎn),

        所以兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程(*)的兩根,

        利用韋達(dá)定理我們可以得到

        x1+x2=4k,x1x2=-4.

        方法1構(gòu)造“K”字型,利用線段比例解題

        分別過(guò)點(diǎn)M,N作直線y=-1的垂線,垂足分別為點(diǎn)D,E,如圖2所示.

        因?yàn)椤螹AN=90°,

        所以∠MAD+∠NAE=90°,

        所以∠MAD=∠ANE,

        所以△MAD∽△ANE,

        故MDAE=ADNE.

        圖2

        根據(jù)前面所設(shè)各點(diǎn)的坐標(biāo),我們可以表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度:

        MD=kx1+2,

        AE=x2-m,

        AD=m-x1,

        NE=kx2+2,

        即kx1+2x2-m=m-x1kx2+2,

        所以(kx1+2)(kx2+2)

        =(x2-m)(m-x1).(**)

        化簡(jiǎn)得(m-2k)2=0,

        所以m=2k.

        因此B,C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為

        yB=14·(2k)2=k2,yC=2k2+1,

        所以AB=yB-yA=k2-(-1)=k2+1,

        BC=yC-yB=2k2+1-k2=k2+1,

        所以AB=BC,

        即S△MAB=S△MBC.

        另解由方法1可知∠MAD=∠ANE,

        所以在Rt△MDA和Rt△AEN中有

        tan∠MAD=tan∠ANE,

        即MDAD=AENE.

        后續(xù)過(guò)程同方法1,不再贅述.

        注因?yàn)辄c(diǎn)A在直線y=-1上,且MA⊥MN,所以我們可以分別過(guò)點(diǎn)M,N作直線y=-1的垂線,構(gòu)造出為我們熟悉的“K”字模型(“一線三直角”),進(jìn)一步利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊比例相等來(lái)構(gòu)造方程,將m用直線斜率k進(jìn)行表示.參考解答中通過(guò)求解方程(*)得到x1=2k-2k2+1,x2=2k+2k2+1,這一做法并不值得提倡,況且求解帶有參數(shù)的一元二次方程對(duì)于大部分同學(xué)而言可能有一定的困難.面對(duì)一元二次方程問(wèn)題時(shí)我們更應(yīng)注重韋達(dá)定理的妙用,將x1+x2,x1x2作為整體帶入(**)中化簡(jiǎn),可以大大降低運(yùn)算難度.

        方法2利用勾股定理搭橋

        分析由于本題中涉及的線段長(zhǎng)度均需借助點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示,為了簡(jiǎn)化后續(xù)解題步驟,在這里我們先向大家介紹一個(gè)預(yù)備知識(shí)——“兩點(diǎn)間的距離公式”.

        定義:對(duì)于平面中任意兩點(diǎn)A,B,它們的坐標(biāo)分別記為(a,b)和(c,d),則兩點(diǎn)之間的距離

        AB=(c-a)2+(d-b)2.

        圖3

        證明如圖3所示,分別過(guò)點(diǎn)A,B作x軸的垂線AC,BD.過(guò)點(diǎn)A作線段BD的垂線AE.

        則AE=c-a,

        BE=d-b.

        由勾股定理可知

        AB2=AE2+BE2

        =(c-a)2+(d-b)2,

        所以AB=(c-a)2+(d-b)2.

        說(shuō)明:兩點(diǎn)間的距離公式闡明了兩點(diǎn)之間的距離與它們坐標(biāo)的關(guān)系,其證明過(guò)程也就是套用勾股定理,部分版本的初中數(shù)學(xué)教材在“勾股定理”章節(jié)將它作為一個(gè)拓展內(nèi)容進(jìn)行介紹.

        回歸到原題,利用兩點(diǎn)間的距離公式我們可以得到

        MA2=(m-x1)2+(-2-kx1)2

        =(k2+1)x21+(4k-2m)x1+m2+4,

        NA2=(m-x2)2+(-2-kx2)2

        =(k2+1)x22+(4k-2m)x2+m2+4,

        而MN2=[(kx2+1)-(kx1+1)]2+(x2-x1)2

        =(k2+1)(x2-x1)2,

        又因?yàn)閤1+x2=4k,x1x2=-4,

        結(jié)合完全平方公式可得

        (x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2

        =(4k)2-4×(-4)

        =16(k2+1),

        所以MN2=(k2+1)(x2-x1)2=16(k2+1)2,

        根據(jù)勾股定理有MA2+NA2=MN2,

        化簡(jiǎn)可得8k2+2m2-8km=2(m-2k)2=0,

        解得m=2k.

        后續(xù)過(guò)程同方法1.

        注根據(jù)題設(shè)條件∠MAN=90°可知△MAN為直角三角形,因而回歸到勾股定理是我們的一個(gè)自然想法.本題的難點(diǎn)在于引入較多未知量,許多同學(xué)可能因此產(chǎn)生畏難心理而淺嘗輒止,特別是對(duì)拋物線弦長(zhǎng)MN的求解時(shí)有的同學(xué)或許感到一籌莫展,這時(shí)如果我們能夠注意整體思想的運(yùn)用以及借助完全平方公式作相應(yīng)轉(zhuǎn)化,那將會(huì)在山重水復(fù)疑無(wú)路之際,收獲柳暗花明又一村的驚喜!

        方法3利用輔助圓

        由于∠MAN=90°,

        所以點(diǎn)A在以MN為直徑的圓周上,如圖4所示.

        圖4

        所以線段MN的中點(diǎn)即為圓心(設(shè)為點(diǎn)P),

        則P點(diǎn)坐標(biāo)為

        x1+x22,kx1+1+kx2+12,

        因?yàn)閤1+x2=4k,

        所以P(2k,2k2+1).

        根據(jù)圓的性質(zhì)可知

        PA=PM=PN=12MN,

        而MN2=(k2+1)(x2-x1)2

        =16(k2+1)2,

        PA2=(2k-m)2+(2k+2)2,

        由PA2=12MN2,得

        (2k-m)2+(2k+2)2=4(k2+1)2,

        化簡(jiǎn)得(m-2k)2=0,

        所以m=2k.

        后續(xù)過(guò)程同方法1.

        注當(dāng)試題中出現(xiàn)直角三角形時(shí),我們應(yīng)當(dāng)聯(lián)想到“直徑所對(duì)的圓周角為直角”這一結(jié)論,進(jìn)而以斜邊為直徑構(gòu)造三角形的外接圓.根據(jù)x1,x2,k之間的關(guān)系我們可以表示出圓心的坐標(biāo),最后利用圓的性質(zhì)建立等量關(guān)系來(lái)消除未知量m.可以發(fā)現(xiàn),方法2無(wú)論是在求解思路還是運(yùn)算量上均要比前兩種來(lái)得簡(jiǎn)單,這也是輔助圓的魅力所在.

        練習(xí)

        1.已知直線l:y=kx+1經(jīng)過(guò)第一、二、三象限且與拋物線y=14x2交于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N右側(cè)),線段MN的長(zhǎng)度為8.

        (1)求直線l的解析式;

        (2)設(shè)點(diǎn)A在直線y=-1上且滿足∠MAN=90°,直線l與y軸的交點(diǎn)為F.判斷線段MN與AF之間滿足什么關(guān)系并說(shuō)明理由.

        圖5

        2.如圖5,△MNE的頂點(diǎn)M,N在拋物線y=x2上,點(diǎn)M在點(diǎn)N右邊,兩條直線ME,NE與拋物線y=x2均有唯一公共點(diǎn),ME,NE均與y軸不平行.若△MNE的面積為2,設(shè)M,N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m,n,求m與n的數(shù)量關(guān)系.

        答案

        (1)y=x+1;

        (2)MN⊥AF且MN=AF2.

        m-n=2.

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