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        正方形中的“十字架”形

        2022-11-17 07:24:47劉家良
        數(shù)理天地(初中版) 2022年21期

        劉家良

        【摘要】 將一個(gè)基本圖形的特征及性質(zhì)進(jìn)行遷移,結(jié)合正方形的邊、角性質(zhì),得到正方形中“十字架”形的性質(zhì)及變式圖形(一線三直角)的性質(zhì).由基本圖形到“十字架”形再到“一線三直角”形的系列過(guò)程,啟發(fā)教者要特別關(guān)注基本圖形的特征及性質(zhì)的教學(xué),并要學(xué)會(huì)在復(fù)雜圖形中提煉基本圖形的本領(lǐng).

        【關(guān)鍵詞】 基本圖形;遷移;正方形;“十字架”;變式

        將一個(gè)基本圖形的特征及性質(zhì)進(jìn)行遷移,結(jié)合正方形的邊、角性質(zhì),可得到正方形中“十字架”形的性質(zhì).

        基本圖形:如圖1,若∠ABD=∠EDC=90°,AB=ED,BD=DC,則AD=EC,AD⊥EC.

        簡(jiǎn)證:易證△ABD≌△EDC(SAS),

        于是AD=EC,

        ∠ADB=∠C.

        又∠ADB+∠CDG=90°,

        所以∠C+∠CDG=90°,

        所以∠CGD=90°,

        所以AD⊥EC.

        將圖1及其蘊(yùn)含結(jié)論遷移到正方形中,結(jié)合正方形的邊、角性質(zhì),可得正方形中“十字架”形的性質(zhì):

        如圖2,已知E,F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB與BC上的一點(diǎn),且AE=BF(或BE=CF),AE與DF相交于點(diǎn)P,則AF=DE,AF⊥DE.

        推論:如圖2,在①AE=BF(或BE=CF),②AF=DE,③AF⊥DE三個(gè)條件中,若已知一個(gè)條件,可得另外的兩個(gè)條件,簡(jiǎn)稱“知一求二”.

        應(yīng)用正方形中的“十字架”形的結(jié)論,可解決與正方形相關(guān)的問題.

        1 由垂直到邊等

        例1

        如圖3,正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為12,點(diǎn)F是AD上一點(diǎn),將△CDF沿CF折疊,點(diǎn)D落在點(diǎn)G處,連接DG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E.若AE=5,則GE的長(zhǎng)為.

        分析 設(shè)CF與DE交于點(diǎn)O.點(diǎn)D,G關(guān)于CF對(duì)稱,由軸對(duì)稱性質(zhì)可知CF垂直平分GD,即DO=GO,CF⊥DE,由此想到正方形中的“十字架”形,可得CF=DE,AE=DF.

        解 如圖4,設(shè)CF與DE交于點(diǎn)O.

        因?yàn)辄c(diǎn)D,G關(guān)于CF對(duì)稱,

        所以GO=DO,CF⊥DE,

        即∠FOD=90°,

        所以∠CFD+∠ADE=90°.

        因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,

        所以AD=CD=12,

        ∠A=∠ADC=90°,

        所以∠CFD+∠FCD=90°,

        所以∠ADE=∠DCF,

        所以△ADE≌△DCF,

        所以DE=CF,AE=DF=5.

        在Rt△DAE中,由勾股定理得

        DE=AD2+AE2=144+25=13,

        所以CF=13.

        由S△CDF=12CF·OD=12CD·DF,得

        OD=CD·DFCF=6013,

        所以DG=2OD=12013,

        所以EG=DE-DG=13-12013=4913.

        注 由軸對(duì)稱性質(zhì)得到CF⊥DE,這意味著兩直角三角形的斜邊垂直,由垂直這一條件聯(lián)想到正方形的“十字架”形.

        2 由一直角邊相等到斜邊相等與垂直

        例2 圖4

        如圖4,在邊長(zhǎng)為22的正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接EC,F(xiàn)D,點(diǎn)G,H分別是EC,F(xiàn)D的中點(diǎn),連接GH,則GH的長(zhǎng)度為.

        分析 求GH的長(zhǎng),一般是將其放置在直角三角形中由勾股定理求得.如圖5,若能意識(shí)到DF⊥CE,那么問題的求解之路就會(huì)“一馬平川”,但這需要學(xué)生熟知正方形中的“十字架”形及其結(jié)論.

        解 如圖6,設(shè)CE,DF交于點(diǎn)S.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,

        所以∠A=∠B=∠BCD=90°,

        AB=BC=CD=22.

        因?yàn)辄c(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AB,BC的中點(diǎn),

        所以AE=BE=BF=CF=2,

        所以△BCE≌△CDF(SAS),

        所以CE=DF,

        ∠BCE=∠CDF.

        因?yàn)椤螪CF=90°,

        所以∠CDF+∠CFD=90°,

        所以∠BCE+∠CFD=90°,

        所以∠CSF=∠HSG=90°.

        在Rt△BCE中,由勾股定理得

        CE=BE2+BC2=(2)2+(22)2=10,

        所以DF=CE=10.

        因?yàn)辄c(diǎn)G,H分別是EC,F(xiàn)D的中點(diǎn),

        所以CG=12CE=102,HF=102.

        因?yàn)椤螪CF=90°,CS⊥DF,

        所以S△CDF=CS·DF2=CD·CF2,

        所以CS=CD·CFDF=22×210=410,

        所以GS=CG-CS=102-410=110.

        在Rt△CSF中,由勾股定理得

        FS=CF2-CS2=(2)2-4102=25,

        所以HS=HF-FS=12DF-FS=102-25.

        在Rt△HSG中,由勾股定理得

        HG=HS2+GS2=102-252+1102=1.

        故填:1.

        注 由正方形兩邊的中點(diǎn)想到兩直角三角形的直角邊相等,由直角邊長(zhǎng)相等這一條件聯(lián)想到正方形中的“十字架”形.

        3 “十字架”形的兩種變式

        變式1 圖5

        如圖5,已知E,F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊DA與CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),CE與BF相交于點(diǎn)P,在①AE=DF(或DE=CF),②CE=BF,③CE⊥BF三個(gè)條件中,可由其中的一個(gè)條件得到另外的兩個(gè)條件,也可謂“知一求二”.

        例3 已知四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E在邊DA的延長(zhǎng)線上,連接CE交AB于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CE,垂足為點(diǎn)M,BM的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)F,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

        (1)如圖6,求證:CE=BH;

        (2)如圖7,若AE=AB,連接CF,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖中的四個(gè)三角形(△AEG除外),使寫出的每個(gè)三角形都與△AEG全等.

        分析 (1)欲證兩線段相等,需將這兩條線段分布在兩個(gè)“待證”的全等三角形之中,圖6吻合于圖5中的“十字架”形;

        (2)△AEG為直角三角形,欲尋找與其全等的三角形,需結(jié)合正方形的邊、角性質(zhì)及已知條件,需依據(jù)全等三角形的判定定理.

        解 (1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,

        所以BC=CD=AD=AB,

        ∠BCD=∠EDC=90°.

        因?yàn)锽M⊥CE,

        所以∠HMC=∠ADC=90°,

        所以∠H+∠HCM=∠E+∠ECD=90°,

        所以∠H=∠E.

        在△EDC和△HCB中,

        ∠EDC=∠HCB,∠E=∠H,CD=BC,

        所以△EDC≌△HCB(AAS),

        所以CE=BH.

        (2)△BCG,△DCF,△DHF,△ABF(過(guò)程略).

        變式2 將圖1中的△CED沿ED方向平移ED長(zhǎng)可得到圖8,即“一線三直角”形.這一圖形的結(jié)論常與正方形“結(jié)伴”而行.

        例4 如圖9,點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上的動(dòng)點(diǎn),∠AEF=90°,且EF=AE,F(xiàn)H⊥BH.

        (1)求證:BE=CH;

        (2)若AB=3,BE=x,用x表示DF的長(zhǎng).

        分析 (1)要證BE=CH,需證BC=HE,由正方形邊的相等性,可證AB=EH,由三個(gè)垂直聯(lián)想到“一線三直角”形,證△ABE≌△EHF即可;

        (2)用x表示DF的長(zhǎng),可過(guò)點(diǎn)F作FP⊥CD于點(diǎn)P,將DF置身在直角三角形中.

        解 (1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,

        所以BC=CD=AB,

        ∠ABE=∠BCD=90°,

        所以∠AEB+∠EAB=90°.

        因?yàn)镕H⊥BH,

        所以∠EHF=90°,

        所以∠AEB+∠FEH=90°,

        所以∠FEH=∠EAB.

        在△ABE和△EFH中,

        ∠EAB=∠FEH,∠ABE=∠EHF,AE=EF,

        所以△ABE≌△EHF(AAS),

        所以BE=FH,

        AB=EH,

        所以BC=EH,

        即BE+EC=CH+EC,

        所以BE=CH.

        (2)作FP⊥CD于點(diǎn)P,則四邊形CHFP為矩形.

        由(1)可知CH=FH,

        所以四邊形CHFP為正方形,

        所以CP=CH=FH=FP.

        因?yàn)锽E=CH=x,

        所以CP=FP=x,

        DP=CD-CP=3-x.

        在Rt△DFP中,由勾股定理得

        DF=DP2+FP2

        =(3-x)2+x2

        =2x2-6x+9.

        注 由正方形中的三個(gè)垂直條件想到了“一線三直角”形.

        由基本圖形到“十字架”形再到“一線三直角”形的系列歷程,啟發(fā)教者要特別關(guān)注基本圖形的特征及其性質(zhì)的教學(xué),要學(xué)會(huì)在復(fù)雜圖形中提煉基本圖形的本領(lǐng),這一本領(lǐng)離不開對(duì)基本圖形的熟知和聯(lián)想.

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